Сфера в вдоль линии центров

Две сферы, движущиеся вдоль линии центров. Рассмотрим две сферы с центрами в точках Л, 5 и радиусами а, Ь соответственно пусть эти сферы движутся одна навстречу другой с соответствующими скоростями и, У (рис. 312). [c.471]

Явления, в основе которых лежит инерция жидкости, конечно, не описываются уравнениями Стокса. Например, две од ина-ковые сферы, падаюш,ие вдоль линии центров, испытывают одинаковое сопротивление и движутся с одинаковой скоростью. Следовательно, при их падении расстояние между ними должно оставаться фиксированным [60]. Однако можно показать, что при любом ненулевом числе Рейнольдса верхняя сфера испытывает меньшее сопротивление, чем нижняя, и, следовательно, верхняя сфера в конце концов догонит нижнюю [24]. Другой пример соответствует нейтрально плавающей сфере, центр которой смещен относительно оси вертикального кругового цилиндра, в котором вязкая жидкость течет по закону Пуазейля. В соответствии с уравнениями Стокса [7] сфера будет находиться все время в постоянном положении относительно оси. Если, однако, принять во внимание инерционные члены, то боковая сила будет стремиться передвинуть сферу поперек линий тока [53]. Чем меньше число Рейнольдса, тем меньше при прочих равных условиях инерционные эффекты. Но так как течения, для которых число Рейнольдса тождественно равно нулю, не могут существовать, инерционные эффекты должны проявляться в некоторой степени во всех реальных системах. [c.60]

Общее решение для полей составляющих скорости и давления было дано Ламбом [24] (см. также разд. 3.2). При движении сфер вдоль линии центров решение не зависит от угла ф = Ф, а компоненты скорости Уф из-за осевой симметрии тождественно обращаются в нуль. [c.289]

Соответствующие преобразования более громоздки, чем в случае движения сфер вдоль линии центров, однако все же возможно и здесь получить рекуррентные формулы, аналогичные (6.3.25) и (6.3.26). Они имеют следующий вид [c.300]

Следовательно, две одинаковые сферы, движущиеся с одной и той же скоростью в противоположном направлении вдоль линии центров, оказывается, будут отталкивать одна другую, когда расстояние между ними будет увеличиваться или уменьшаться. Заметим, что в этом рассуждении речь идет только об относительной скорости, так что сферы могут иметь любые скорости вдоль линии центров. Отмеченное явление уменьшает возможность лобового столкновения между плывущими телами. [c.474]

Соотношения, полученные для течений вдоль и перпендикулярно линии центров двух сфер, можно просто применить для вывода общих соотношений. Следуя обозначениям, принятым в последнем разделе, для двух сфер, лишенных возможности вра-щаться получаем вместо (6.2.15) (обратите внимание на изменение [c.309]

По упомянутым выше причинам поучительно сначала рассмотреть случай несжимаемой жидкости. Возьмем начало координат в среднем положении центра сферы, а ось X направим вдоль линии ее колебаний обозначим скорость сферы через II. Проекция в направлении нормали к сфере скорости частиц жидкости, соприкасающихся со сферой в какой-либо точке Р, должна быть равна нормальной составляющей скорости точки Р, принадлежащей самой сфере, т. е. /сов в, где О—угол РОх. Отсюда получаем [c.292]

Третий элемент задает ориентацию орбиты в ее плоскости. На орбите каждой планеты есть точка, расположенная ближе других к Солнцу. Она называется перигелием. В случае эллиптической орбиты имеется, кроме того, наиболее удаленная от Солнца точка, называемая афелием. Орбита симметрична относительно линии, проходящей через центр Солнца и перигелий, или, в случае эллиптических орбит, относительно линии апсид, соединяющей перигелий А и афелий А1. Эта линия проходит через центр Солнца 5. Таким образом, направление линии апсид определяет ориентацию орбиты. Угловое расстояние от у до (т. е. й) плюс угловое расстояние (о от N до проекции В перигелия А на небесную сферу называется долготой перигелия й (= й + со). Заметим, что долгота перигелия измеряется вдоль эклиптики от у до Л , а затем вдоль линии пересечения плоскости орбиты с небесной сферой до точки В. [c.39]

Движение двух сфер вдоль линии, проходящей через их центры. В стоксовом приближении точное аналитическое решение осесимметричной задачи о движении двух сфер с одинаковой скоростью вдоль линии, проходящей через их центры, было получено в [300]. Это решение имеет практическое значение и может быть использовано для оценки точности приближенных методов, применяемых для решения более сложных задач о гидродинамическом взаимодействии частиц. [c.88]

Параллельные лучи, идущие справа налево вдоль N0 (см. рис. 12.11), сойдутся в фокусе Р[, расположенном на линии N0 и лежащем также на расстоянии [Д от преломляющей поверхности. Геометрическое место точек. .. образует сферическую поверхность с радиусом 1/ —Д (для случая, показанного на рис. 12.11, /1<0), концентрическую с преломляющей сферой (с центром в точке О). [c.283]

Снова рассмотрим рис. 4.9, т. е. изменения, на которые воздействует оптическая разность хода лучей D (как в п, 4.1.1), когда наблюдатель находится в фиксированной позиции R и смотрит на полосы, которые соответствуют нескольким предметным точкам Р. Таким образом, Z) = > является функцией только одной векторной переменной, а именно, радиуса-вектора г точки Р или направления наблюдения к, как это следует из (4,23), (4.24), Отметим, что поскольку имеет место линеаризация, то Ь является постоянной вдоль прямой линии RP следовательно, эта функция определена как на поверхности предмета, так и на единичной сфере с центром на которой изменяется к. Поэтому для D/ , которая принадлежит линии RP, расположенной рядом с RP, можем рассматривать два следующих разложения в ряд, аналогичные (2,60) [c.165]

Жесткая плоскость бесконечного размера разделяет на две части неограниченную-жидкость. Некоторая сфера движется в направлении, перпендикулярном к этой плоскости. Объяснить из общих соображений эффект образования в этой плоскости кругового отверстия с центром на линии, вдоль которой движется сфера. Рассмотреть случай, когда скорость сферы направлена к плоскости и когда скорость направлена от плоскости. [c.485]

Второй способ получения каркасных моделей основан на понятии определителя поверхности. Совокупность условий, определяющих каркасную модель поверхности, называется определителем поверхности. Различают геометрическую и алгоритмическую части определителя. Геометрическая часть включает некоторое множество фигур, сохраняющих положение, форму и размеры. Алгоритмическая часть определителя представляет алгоритм построения точек и линий поверхности, занимающих на ней переменное положение. Например, сфера может быть образована вращением окружности около прямой, проходящей через ее центр. В геометрическую часть определителя войдет уравнение окружности, в алгоритмическую — закон перемещения фигуры, в данном случае вращения окружности вокруг прямой, проходящей через ее центр. Перемещением окружности вдоль прямой линии можно получить цилиндр, при этом изменится только алгоритмическая часть определителя. [c.246]

Для того чтобы учесть геометрическую и физическую либрации Луны, в астрономии была введена так называемая селенографическая система координат. Начало этой системы совпадает с центром Луны. Если Луна находится в среднем восходящем узле своей орбиты в момент времени, когда узел совпадает либо со средним перигеем, либо со средним апогеем, то точка пересечения линии, соединяющей центры Земли и Луны, с поверхностью Луны считается средним центром видимого диска. Эта точка, подобно гринвич>-скому меридиану на Земле, определяет главный лунный меридиан, от которого отсчитывается селенографическая долгота К объекта на Луне. За положительное выбирается направление к Морю Кризисов (т. е. на запад на геоцентрической небесной сфере). Селенографическая широта Р отсчитывается от лунного экватора вдоль меридиана, причем положительной считается широта в северном полушарии Луны (т. е. в том полушарии, где расположено Море Ясности). [c.290]

Здесь индекс ai указывает на то, что сопротивление сферы рассчитано для случая, когда сферы движутся вдоль линии центров. и а и Ufj — положительные числа, обозначающие абсолютные величины скоростей сфер а и Ь. Если принять направление падения сфер в качестве положительного, то знак Fai будет отрицательным. Сила, действующая на сферу Ь, получается из (6.3.51) путем перемены ролей символов Ь и а независимо от того, означает ли ссГответствующий символ индекс или размер. [c.297]

Идеи, выдвинутые в упоминавшейся работе Смолуховского 29], были развиты Факсеном [14], который применил процедуру отражений, аналогичную использованной выше, к случаю двух сфер, движущихся вдоль линии центров. Его результат совпадает с приведенным в (6.3.51). Метод Факсена слегка отличается от метода, принятого в данной книге, и от метода Смолуховского. Переход в выражениях для отраженных полей от координат, связанных с центром одной сферы, к координатам, связанным с центром другой сферы, в методе Факсена осуществляется путем конформного преобразования, представляющего собой известное преобразование инверсии относительно сферической поверхности. У Смолуховского же этот переход выполняется приближенно при помощи разложений в ряды Тейлора в окрестностях точек, соответствующих началам двух координатных систем. [c.297]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Он полагает, что достаточно ограничиться членами до седьмой степени включительно по величинам all и b/Z, представляющим отношения радиусов частиц к расстоянию между ними, и устанавливает, что следующие три степени дают малую поправку, даже когда сферы близки друг к другу. Численные расчеты коэффициента сопротивления Tq = X для двух равных касающихся сфер, движущихся перпендикулярно линии центров, которые выполнены по итоговым формулам Хокинга, находятся в хорошем согласии с другими результатами. Однако для двух равных касающихся сфер, падающих вдоль линии центров, коэффициент сопротивления Ti = X равен лишь 0,256, в то время как точное значение, данное Стимсоном и Джеффри, равно 0,645. Кинч [23] и Хокинг [20] указывают, что точность можно было бы улучшить, учитывая дополнительные отражения. Как мы уже видели, для обеспечения сходимости задачи о двух касающихся сферах, следующих друг за другом, необходимо было бы учитывать очень большое число членов (см. (6.3.52) и (6.3.54)). [c.311]

На рис. 408 построен горизонтальный очерк детали, ось которой параллельна плоскости проекций V и наклонена к плоскости проекций Я. Поверхность детали состоит из цилиндра вращения и поверхности вращения, производящей линией которой является дуга окружности радиусом R с центром в точке /с/с. Для построения кривой линии горизонтального очерка заданной поверхности применяем метод вспомогательных сфер. Вспомогательные сферы выбирают касающимися заданной повмхности вращения вдоль ее параллелей. Плоскости, перпендикулярные к плоскости проекций Я и касательные к заданной поверхности, являются касательными плоскостями и вспомогательных сфер. Эти плоскости касаются сфер в точках пересечения экваторов сфер параллелями их соприкасания. [c.284]

Кинч [22] также получил выражения для скорости каждой из двух сфер, медленно движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. В некотором отношении его метод подобен методу Вакии, поскольку он, как и Вакия, также выражает решения для второй сферы непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы. Однако вместо сферических гармоник он использует представление решения через производные фундаментального решения. В результате получается бесконечная система уравнений, связывающих неизвестные константы, которая решается методом последовательных приближений. Для задач о движении сфер под действием сил, направленных соответственно вдоль и перпендикулярно линии центров, решение доведено до числовых значений. [c.309]

Задача о движении двух твердых сфер, равных или неравных, движущихся с одинаковыми малыми постоянными скоростями вдоль своей линии центров, была решена Стимсоном и Джеффри [30] и представляет собой удобный эталон для оценки точности других более приближенных методов, которые обсуждались раньше в этой главе. Решение основано на определении стоксовой функции тока для движения жидкости, а из нее — сил, необходимых для поддержания движения сфер. Такое упрощение оказывается возможным вследствие осесимметричности движения. [c.311]

Возможно, наиболее точными являются данные Барта, полученные при числах Рейнольдса менее 0,05, поскольку отношение диаметра сферы к диаметру цилиндра составляет в этом случае 0,0163, что для достаточно близких частиц дает поправочный коэффициент KjIKii = 0,99. На рис. 6.5.1 дан график зависимости к от отношения расстояния между центрами сфер к их диаметру в области значений этого отношения от 1 (сферы касаются) до 6 для двух равных сфер, падаюш их вдоль своей линии центров. Согласие со значением, вычисленным теоретически Стимсоном и Джеффри [30], очень хорошее. Когда сферы касаются, получен- [c.316]

Ивсон и др. приводят также данные для сфер, падающих при различных углах между линией центров и горизонтальной плоскостью. Хотя эти данные и не столь обширны, как для случая падения сфер вдоль и перпендикулярно линии центров, они находятся в хорошем согласии с теоретической предпосылкой о том, что такое движение может быть определено как суперпозиция этих двух предельных случаев. Итак, показано, что общие теоретические выражения, выведенные из уравнений медленного течения, [c.318]

Случай жесткой стенки был рассмотрен Лоренцом, о чем говорилось в разд. 3.5, в предположении, что радиус сферы мал по сравнению с мгновенным расстоянием от ее центра до плоскости. Решения, не связанные этим ограничением ), были получены Бреннером [7] с использованием общего решения уравнений медленного течения в биполярных координатах, примененного Стимсоном и Джеффри [54] в их решении задачи о двух сферах, падающих вдоль своей линии центров (разд. 6.4). [c.379]

В качестве неэвольвентных рабочих поверхностей зубьев кониче" ских передач с точечным зацеплением распространение получили круговые винтовые поверхности Новикова, образованные отрезками дуг окружностей. На боковой поверхности начального конуса с углом при вершине (рис. 12.4) проведем винтовую линию СС, установим в точке С образующую сферу Q с радиусо.м г и будем перемещать ее вдоль винтовой линии таким образом, чтобы центр С сферы все время находился на этой винтовой линии. Круговые винтовые поверхности будут огибающими семейства поверхностей сферы Сечения поверхности начального конуса н винтовой круговой поверхности сферой радиусом В и центром в точке О представляют собой окружности, пересекающиеся в точках и Л1 . Для профилирования рабочих поверхностей зубьев можно взять участок М1М2 и диаметральной окружности сферы Q (тогда получи . [c.130]

Как в общем случае происходит действительное образование боковой поверхности, видно из фиг. 169-17, б. Изображение дается на сфере с радиусом / и с центром в точке М. Получаемая путем развертывания боковой поверхности плоского профиля плоского колеса F боковая поверхность конического колеса называется октоидой, так как ее линия зацепления имеет форму восьмерки. Двойная точка линии зацепления находится в точке С. Эволюта октоиды немного отклоняется от кругового конуса и, следовательно, от основного конуса сферической эвольвенты. Соприкасающаяся нормаль СР — дуга большого круга на сфере К, расположенного нормально к соприкасающейся касательной. Боковая поверхность, описываемая сферической эвольвентой, которая получается как линия сечения кругового конуса (основного конуса) вдоль его образующей, может быть обработана только при применении эвольвентных шаблонов и инструмента фасонной формы. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...