Энтропия Больцмана термодинамическая

Феноменологическая энтропия была введена Клаузиусом для сплошной среды. Больцман дал статистическую интерпретацию энтропии, предполагая среду дискретной. В формулировке Больцмана второй закон термодинамики гласит природа стремится перейти из менее вероятного состояния в более вероятное и термодинамическое равновесие соответствует состоянию с максимумом энтропии. [c.8]

Вероятностная трактовка энтропии. Вершиной творчества Больцмана является полученная им в 1877 г. вероятностная интерпретация энтропии. Генеральная идея решения — определение наиболее вероятного с термодинамической точки зрения состояния системы материальных точек. Больцман вводит в рассмотрение новую для физики величину — термодинамическую вероятность состояния системы. Для этого он располагает все частицы по группам, внутри которых они имеют одинаковую энергию. Перестановки частиц внутри группы не меняют термо- [c.85]

Поведение Я-функции Больцмана с точностью до знака сходно с изменением термодинамической энтропии изолированной системы, которая по второму началу термодинамики при приближе- [c.120]

Формула Больцмана. Между значением энтропии 3 системы в данном равновесном состоянии и максимальной термодинамической вероятностью которая, как было показано выше, характеризует равновесное состояние системы, существует вполне определенное соотношение. Чтобы Установить это соотношение, рассмотрим равновесный изотермический процесс изменения состояния системы. В результате этого процесса произойдет, во-первых, увеличение объема системы от Е до Е + (IV, что приведет к изменению внутренней энергии системы на величину произведенной при этом работы йВ = рдУ, взятой с обратным знаком во-вторых, изменится распределение молекул по энергиям, что вызовет некоторое дополнительное изменение внутренней энергии системы. [c.89]

Выражение (2.51) называется формулой Больцмана. Таким образом энтропия изолированной системы в любом состоянии пропорциональна натуральному логарифму термодинамической вероятности данного состояния. Так как ), (,> 1. то энтропия всегда имеет положительный знак. Вместо в формулу для S можно подставлять значение вероятности (о для данного состояния системы, так как в изолированной системе вследствие неизменности внутренней энергии U значения ш и ш,, , различаются только постоянным множителем. Таким образом, [c.113]

Благодаря проникновению в акустику, гидродинамику, оптику и в явления капиллярности, механика некоторое время как бы преобладала над всеми этими областями. Труднее было ей вобрать в себя новую область науки, возникшую в XIX в., — термодинамику. Если один из двух основных принципов этой науки — принцип сохранения энергии — может быть легко объяснен на основании понятий механики, то этого нельзя сказать о втором — о возрастании энтропии. Работы Клаузиуса и Больцмана по изучению аналогии термодинамических величин с некоторыми величинами, играющими роль в периодических движениях, работы, которые и сейчас вполне современны, не смогли все-таки связать обе точки зрения. Но замечательная кинетическая теория газов Максвелла и Больцмана и более общая доктрина — так называемая статистическая механика Больцмана и Гиббса — показали, что динамика, если дополнить ее понятиями теории вероятности, позволяет интерпретировать основные положения термодинамики. [c.641]

Энтропия пропорциональна логарифму термодинамической вероятности (т. е. числу w микросостояний, которыми данное макросостояние может быть реализовано). Коэффициент — постоянная Больцмана — имеет определенный физический смысл он равен отношению универсальной газовой постоянной R l к числу Авогадро Л а- [c.137]

Позиционная энтропия дается уравнением Sp=k nWp, где k — постоянная Больцмана, а — соответствующая термодинамическая вероятность, т. е. число различных способов пространственного размещения атомов, необходимых для получения данного макросостояния. Если атомы видов 1 и 2 распределены в различных узлах решетки в соответствии с законом вероятности и если соблюдается энергетическое условие идеального раствора = О (т. е. пары 1—2 энергетически не предпочитаются парам [c.44]

Ранее мы предположили, что состояние тела задано нам его объемом и промежутком энергии 2, E2+dE2- Но можно также предполагать, что его состояние задано этим промежутком и любым геометрическим или механическим параметром. Можно, например, взять за тело С 2 закрученный металлический стержень, кручение которого действовало бы на поршень, регулирующий объем газа. Угол кручения а играет здесь роль объема V2 предыдущего примера, и можно показать, что термодинамическая энтропия стержня, выраженная как функция а и Е, дается формулой Больцмана, если в фазовой протяженности для этого тела область, соответствующая определенному значению <у и интервалу , + dE имеет величину П dE. [c.30]

Благодаря этим аргументам представляется разумным постулировать, что с точностью до постоянного множителя термодинамически определенная энтропия совпадает с величиной а. Если выбрать численный коэффициент равным постоянной Больцмана А = 1,38 10 Дж/К, т. е. определить энтропию формулой [c.179]

Для нахождения термодинамического смысла параметров а, ,у введем физический постулат, аналогичный принципу Больцмана в теории идеальных газов ( 35). Мы будем отождествлять выражение Е nW = о / Е с термодинамической энтропией [c.315]

Таким образом, абстрактно теоретическая обратимость сочетается с практической необратимостью макроскопических процессов, если речь идет о сколько-нибудь существенных отклонениях от термодинамического равновесия. Эта практическая необратимость макроскопических процессов проявляется в отсутствии симметрии по отношению к отражению во времени (замена / на —/) некоторых кинетических уравнений, например, уравнения Больцмана. Указанное свойство следует уже из того факта, что уравнение Больцмана описывает процессы, идущие только с возрастанием энтропии, но не с ее убыванием. Можно показать, что таким же свойством обладает и уравнение Фок-кера - Планка. Тем более это относится к уравнениям газовой динамики, при выводе которых используются феноменологические (необратимые) законы диффузии, теплопроводности, вязкости. Так, например, из уравнения диффузии [c.546]

Постоянная Планка h определяет соотношение между энергией Е и частотой v квантов (Е = hv), а постоянная Больцмана h — соотношение между энтропией системы S и вероятностью w нахождения ее в данном термодинамическом состоянии (S = k n w). [c.6]

В соответствии с принципом Больцмана энтропия системы пропорциональна термодинамической вероятности состояния [c.233]

Параллельно с термодинамикой шло развитие молекулярно-кинетической теории. Решающий шаг здесь был сделан Дж. Максвеллом, который впервые применил вероятностно-статистические методы для изучения движения микрочастиц. Большое значение имеют также труды одного из основоположников статистической физики Л. Больцмана, относяш,иеся ко второй половине XIX в. Выведенное Больцманом кинетическое уравнение для газа (1872 г.) позволило дать вероятностное толкование важнейшей термодинамической величине — энтропии. Благодаря этому была вскрыта статистическая природа второго начала, открылась возможность статистического обоснования всей термодинамики. [c.6]

Мы вводим энтропию S как безразмерную величину. В этом случае температура Т имеет размерность энергии, что наиболее удобно для статистической механики. С другой стороны, термодинамическая температура, как правило, измеряется в Кельвинах. Соответствующая термодинамическая энтропия равна S = kS, где к = 1,38-10 Дж/К — постоянная Больцмана. [c.45]

Как было показано, максвелловское движение соответствует изоэнтропическому изменению термодинамического состояния. Условие равновесия может быть выведено как при помощи функции Н Больцмана, так и при помощи термодинамической функции энтропии 5. Таким образом, существует некоторая связь между Н к S. [c.50]

Гл. 10 Энтропия и полезная энергия . В этой главе прежде всего методом Клаузиуса выводится энтропия, затем дается формула максимальной работы. После этого говорится о свободной энергии и трактовке второго закона по Больцману с обоснованием соответствующего уравнения s = k vi W). При рассмотрении этого вопроса записано Большим успехом в направлении физической интерпретации энтропии и систематизации необратимых процессов явились работы Больцмана (1878), который, следуя мысли Гиббса, показал, что определение энтропии можно рассматривать как вопрос теории вероятностей . После этого рассматриваются характеристические функции (внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия и термодинамический изобарный потенциал) и выводятся соответствующие дифференциальные соотношения. Заканчивается эта глава рассмотрением условий равновесия. [c.260]

Раздел 2 — Термодинамика квазистатических (обратимых) процессов и состояний равновесия (обратимые изотермические процессы свободная энергия системы математические теоремы об интегрирующем множителе линейных форм в полных дифференциалах основное уравнение термодинамики обратимых процессов энтропия равенство Клаузиуса следствия основного уравнения термодинамики обратимых процессов, относящиеся к равновесным состояниям общие формулы, относящиеся к свободной энергии абсолютная термодинамическая температурная шкала цикл Карно следствия второго начала,. касающиеся обратимых процессов расширения и нагревания газа или жидкости связь эффекта Джоуля—Томсона с уравнением состояния применение этого эффекта для охлаждения газов магнитный метод охлаждения термодинамика гальванического элемента равновесное излучение закон Кирхгофа закон Стефана—Больцмана для равновесного излучения характеристические функции). [c.364]

Такое определение энтропии не связано с определением Клаузиуса, которое годится для равновесного и близкого к нему состояний. Определение Больцмана пригодно и для состояний, далеких от равновесия, ибо оно исходит только из атомистической структуры термодинамических систем и статистических закономерностей механики движения атомов. И это, кстати, сыграло решающую роль в неравновесной термодинамике. Таким образом, Больцман впервые доказал, что второе начало тер- [c.269]

Задача 12.1. Формула Больцмана для энтропии. Исходя из положения о том, что энтропия системы 8 зависит от вероятности термодинамического состояния системы П, показать, что эта зависимость имеет вид формулы Больцмана 1п П. [c.290]

В кинетической теории газов энтропия термодинамической системы рассматривается как функция вероятности (р) состояния этой системы (гипотеза Л. Больцмана). Сопоставление этой предпосылки с принципом аддитивности энтропии (следствие И1 второго начала термостатики, 7) приводит к выводу, что энтропия изолированной системы является линейной функцией логарифма вероятности состояния этой системы [c.72]

При чисто механических движениях энтропия остается все время постоянной (в действительности, согласно принципу Больцмана, она равна нулю см. 5), при термодинамических же процессах энтропия системы может меняться. Говоря об обратимом процессе, мы имеем в виду, что это изменение в любой момент в точности компенсируется противоположным по знаку изменением энтропии окружающих систему тел. Однако в случае адиабатических обратимых процессов это различие между механической и термодинамической системами исчезает, так как в этом случае не только но и 5 = 0. [c.49]

В оригинальной работе Плаика 1900 г. средняя энергия осциллятора находилась путем вычисления средней энтропии на основе соотношения Больцмана 5 = — Л 1п и/ между энтропией и термодинамической вероятностью U . [c.430]

Заканчивая разговор о постоянной Больцмана, хочется еще раз подчеркнуть ее фундаментальное значение в науке. Она содержит в себе громадные пласты физики—атомистика и молекуля-рно-кинетическая теория строения вещества, сгатистическая теория и сущность тепловых процессов. Исследование энтропии открыло путь от технологии (тепловая машина) к космологии (направление времени и судьба Вселенной) [58]. Изучение необратимости тепловых процессов раскрыло природу физической эволюции, сконцентрировавшейся в замечательной формуле Больцмана 5=Л In W. Следует подчеркнуть, что положение, согласно которому замкнутая система рано шш поздно придет в состояние термодинамического равновесия, справедливо лишь для изолированных систем и систем, находящихся в стационарных внешних условиях. В нашей Вселенной непрерывно происходят процессы, результатом которых является изменение ее пространственных свойств. Нестационарнос гь Вселенной неизбежно приводит к отсутствию в ней статистического равновесия. Тепловая смерть не грозит Вселенной, ее судьбы определяют иные факторы, обусловленные гравитацией. [c.92]

При термодинамическом выводе закона Стефана—Больцмана было использовано взятое из электродинамики выражение для давления Р = ы/3. В статистической физике, получив и из формулы Планка (14.101), величину давления можно вычислить. Так как изменение энтропии в единице объема райно [c.254]

Подробное и строгое исследование этого eoitpo a приводит к доказательству существования прямой связи между термодинамической вероятностью и энтропией, выражаемой формулой Больцмана [c.144]

Даже Планк — активный противник Маха и Оствальда— не разделял и взглядов Больцмана Это имело свою основу, — говорил он позже, — так как я в го время приписывал принципу возрастания энтропии такое же абсолютное значение, как и закону сохранения энергии . И это тот самый Планк, который с горечью писал в своей научной автобиографии, что никогда в жизни ему не удавалось доказать что-либо новое, как бы строго ни было это доказательство Только в 1900 году он изменил свои взгляды и присоединился к теории Больцмана. Тогда он и придал статистическому выражению энтропии известную теперь форму 5 = / lnW, где к — постоянная Больцмана, а W — термодинамическая вероятность. (число микросостояний — расположение частиц, их скорости, энергия, — с помощью которых может быть осуществлено данное макросостояние системы, характеризующееся давлением, температурой и т. д.). [c.166]

Пусть Е — значение заданной полной энергии, и пусть D и D — два возможных распределения, причем энергии i и С2 равны Ei и Е2 для распределения D, Е[ и Е при распределении Di. Если мы хотим пользоваться методом Эйнштейна, то следует себе представить (система предоставлена самой себе) осуществленными все возможные распределения. Если D существует в продолжении промежутка времени т и D в продолжение промежутка г, то отношение т к т равно отношению вероятностей D и D. Против этого нельзя ничего возразить такой способ рассмотрения, как мы уже указали, представляется совершенно естественным. Появляется следующее затруднение совсем не видно, почему вероятность данного распределения, например распределение можно рассматривать как произведение двух множителей Ui и 772, из которых один относится к С, а другой к 62-Для того чтобы формула Больцмана дала величину, тождественную с термодинамической энтропией, нужно, чтобы г было пропорционально произведению /Ti772, ri — произведению 77 772, причем величины 77i и П[ зависят исключительно от состояния С, Л2 и Лз — от состояния 2- [c.46]

Рассмотрим сначала одномерную цепочку спинов (з = 1/2) в отсутствие магнитного поля и сравним два ее состояния первое, в котором все спины имеют одинаковое направление, и второе, когда все спины, начиная с некоторого, изменили направление на противоположное (рис. 106, а). Энергия второй конфигурации по сравнению с первой больше на А1/ = е — е (возникла одна пара соседних противоположно направленных моментов). Энтропия второй конфигурации с учетом того, что границу между противоположно направленными спинами можно выбрать N способами согласно формуле Больцмана, больше, чем у первой, на 1п N. Отсюда для изменения свободной энергии получим АГ = е — е — Т п М, так что при любых Т Ои макроскопических значениях N величина АР отрицательна, и термодинамически выгодно разупорядочивание спинов. [c.440]

Приведенный в этом разделе вывод уравнений баланса, основанный на кинетических уравнениях Больцмана и Ландау, справедлив лишь для доста-тотао разреженного газа, в котором давление, внутренняя энергия, энтропия и т. д. совпадают с термодинамическими функциями идеального газа. (См. книгу Ю. Л. Климонтовича, цитироваш1ую на стр. 33.) — Прим. ред. [c.69]

Напомним еще, что из общих проблем, возникающих в этом круге представлений, огромную известность получила задача Больцмана, т. е. противоречие, имеющееся между термодинамической необратимостью ( закон возрастания энтропии ) п пoлнo обратимостью во времени всех чисто механических процессов ( обратимость законов движения ). Эта проблема (правильная постановка которой достигается уже и у Гиббса введением понятия вероятности и рассмотрением соотношения двух упомянутых аспектов) и в наши дни является предметом многих работ. Отметим, в частности, недавнее исследование (193Э г.) Вейцзекера и фундаментальные работы Биркгофа и Нейманна (1930 и 1931 гг.). [c.9]

Рассмотрим теперь энтропию смешения 5с еш- Пусть п —число атомов А, входящих в общее число N атомов. Так как 5 = ftlntiy (А — постоянная Больцмана, ш — термодинамическая вероятность), [c.170]

Данное термодинамическое состояний можно осуществить громадным числом динамических состояний или комплексий. Число комплексий определяет статистическую вероятность w данного состояния. Из всех возможных состояний в статистической системе осуществляется наиболее вероятное. Равновесию системы отвечает состояние с максимумом вероятности. Таков статистический подход нахождения состояния равновесия. Энтропия связана с вероятностью формулой Больцмана [c.183]

Формула Больцмана для термодинамической энтропии S = AjlogVK приведена на его надгробии. [c.55]

Исследования Планка отличаются глубиной проникновения в физическую сущность изучаемых явлений, широтой охвата, строгостью обоснований и выводов. Его острый, критический ум, большой талант исследователя, прекрасные знания современного состояния науки и истории ее развития неоднократно приводили его к исключительно важным открытиям. Они позволяли ему находить новые особенности и неоткрытые стороны явлений, которые до того, казалось, были полностью изучены. Так было даже с первыми его исследованиями, посвященными закону сохранения энергии, установлению основных особенностей необратимых процессов, развитию второго начала термодинамики и выявлению свойств энтропии. Эти исследования привели Планка к установлению термодинамического метода изучения процессов — метода термодинамических потенциалов. Это можно видеть также в его работах, посвященных исследованиям Арениуса, Больцмана, Нернста и др. И всюду Планк, применяя термодинамический метод исследования, находит основания для углубления и развития высказанных законов, научных положений, выявления еще не открытых их особенностей. Так, в уравнении Больцмана 5 = й1п IV Планк показал сущность величины к и вычислил [c.604]

В этйх условиях, при не слишком низких температурах, Не в растворе можно рассматривать как идеальный одноатомный газ, подчиняющийся классической статистике Больцмана. При этом легко рассчитываются все термодинамические функции (энтропия, теплоемкость, нормальная плотность и др.)— в основном как добавки, обусловленные примесными возбуждениями, к соответствующим функциям чистого гелия II. Так, например, энтропия и теплоемкость, согласно вычислениям И. Я. Померанчука, выражаются формулами [c.699]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...