Энтропия Больцмана

В отличии от термодинамики, синергетика оперирует с принципами, базирующимися на микроскопических (или мезоскопических) теориях с предсказанием макроскопического поведения системы. Г. Хакен [6] показал, что принцип максимума информационной энтропии, являющийся аналогом принципа максимума энтропии Больцмана позволяет даже для сложных систем, находящихся вдали от равновесия, использовать макроскопические свойства системы для предсказания микроскопических свойств системы, если в процессе ее эволюции образуются макроструктуры. [c.11]

Эти трудности связаны с тем, что метод, основанный на внешнем сходстве между выражением количества информации и формулой энтропии Больцмана, распространяется на области, на которые последняя при ее выводе не рассчитывалась. Поэтому теоретикам легче установить связь между энтропией и информацией, чем показать ее практически на численных примерах. [c.172]

Первый член совпадает с энтропией Больцмана для идеального газа [78], а дополнительная постоянная nZ появилась из-за того, что мы использовали нормировку, которая соответствует правильному квазиклассическому пределу. [c.94]

Вообще говоря, истинная неравновесная Д/ -частичная функция распределения не является мультипликативной функцией, как (2.2.32). Тем не менее, энтропию Больцмана все равно можно определить для любой системы формулой (2.2.35), где fi x,t) находится из истинной неравновесной функции распределения с помощью операции интегрирования (2.2.23). Отметим, однако, что в таком случае выражение (2.2.35) определяет только часть неравновесной энтропии (как говорят, — некоррелированную энтропию). Чтобы учесть вклад корреляций на уровне квазиравновесного распределения, необходимо расширить набор базисных динамических переменных. Подробнее этот аспект кинетической теории обсуждается в параграфе 3.3. [c.94]

Электрохимический потенциал 408 Энтропия Больцмана 94 [c.295]

Автор, широко образованный педагог, прекрасно сознавая огромное значение статистической термодинамики для решения технических задач, показал формы и методы использования основных результатов статистики Больцмана и квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака при рассмотрении важнейших понятий термодинамики, как например внутренней энергии, теплоемкости, энтропии и т. д. [c.7]

Полученное уравнение и есть уравнение Больцмана, связывающее энтропию системы с вероятностью ее состояния. Энтропия S замкнутой системы в равновесном и неравновесном состоянии пропорциональна натуральному логарифму вероятности данного состояния. [c.130]

Уравнение Больцмана, связывающее энтропию системы и вероятность ее состояния. [c.136]

Феноменологическая энтропия была введена Клаузиусом для сплошной среды. Больцман дал статистическую интерпретацию энтропии, предполагая среду дискретной. В формулировке Больцмана второй закон термодинамики гласит природа стремится перейти из менее вероятного состояния в более вероятное и термодинамическое равновесие соответствует состоянию с максимумом энтропии. [c.8]

Понятие энтропия информации ввел один из авторов теории информации - Шеннон. Поводом для этого послужил чисто формальный признак функция Шеннона, связывающая информацию с числом N возможных событий в поведении системы, математически оказалась сходной с Н-функцией Больцмана. Мерой энтропии информации I по Шеннону служит не само число N, а его логарифм по основанию 2 [c.10]

Вероятностная трактовка энтропии. Вершиной творчества Больцмана является полученная им в 1877 г. вероятностная интерпретация энтропии. Генеральная идея решения — определение наиболее вероятного с термодинамической точки зрения состояния системы материальных точек. Больцман вводит в рассмотрение новую для физики величину — термодинамическую вероятность состояния системы. Для этого он располагает все частицы по группам, внутри которых они имеют одинаковую энергию. Перестановки частиц внутри группы не меняют термо- [c.85]

Этот результат имеет громадное физическое значение. Переход системы из неравновесного в равновесное состояние сопровождается возрастанием энтропии. Позднее М. Планк установил, что коэффициент пропорциональности в (б5) равен к, и формула Больцмана приобрела свой окончательный вид [c.86]

Идеи Больцмана намного опережали свое время. Сведение статистических закономерностей к динамическим предопределяло бы повторяемость, неизменность одних и тех же видов движения, форм жизни. Случайности же, допускаемые природой, означают развитие, эволюцию. Больцман не случайно называл XIX век веком Дарвина. В биологии законы случая являются основными, наследственная изменчивость (случайные отклонения характеристик организма от наиболее часто встречающихся, средних) не затухает, если наследуемые признаки обеспечивают организму лучшие условия существования и размножения. Физическая система также эволюционирует в сторону максимума энтропии. [c.87]

Связь Н-функции Больцмана с энтропией. Неравновесная энтропия [c.120]

Поведение Я-функции Больцмана с точностью до знака сходно с изменением термодинамической энтропии изолированной системы, которая по второму началу термодинамики при приближе- [c.120]

Таким образом, энтропия газа 5 и Я-функция Больцмана связаны соотношением [c.122]

Эта больцмановская энтропия подчиняется закону возрастания энтропии, если f q, р, () удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана. Однако такое определение неравновесной энтропии дает правильное выражение для равновесной энтропии лишь для идеального газа и в общем случае непригодно, так как соотношение (7.61) при учете корреляций в неидеальном газе не выполняется. [c.123]

Необратимое возрастание энтропии в замкнутых системах по второму началу термодинамики обусловливает отличие будущих событий от прошедших. Это привело Больцмана к мысли об использовании второго начала для определения роста времени. Наше время, по Больцману, растет в том направлении, в котором возрастает энтропия в обитаемой нами части Вселенной в той части Вселенной, в которой протекают отклонения от равновесия (флуктуации), время течет в обратную сторону. [c.84]

Предполагая, что между энтропией S и вероятностью W состояния системы существует некоторая функциональная зависимость (принцип Больцмана), и используя общие свойства энтропии и вероятности, установить соотношение Больцмана 5= 1п W. [c.89]

По принципу Больцмана S=f(W). Если система состоит из двух частей, то i=/((Fi), 52=/ ( 2) и на основании аддитивности энтропии 5=5 i + 52=/(f i) [c.330]

Необратимое возрастание энтропии в замкнутых системах по второму началу термодинамики обусловливает отличие будущих событий от прошедших. Это привело Больцмана к мысли об использовании второго начала для определения роста времени. [c.73]

Формула Больцмана. Между значением энтропии 3 системы в данном равновесном состоянии и максимальной термодинамической вероятностью которая, как было показано выше, характеризует равновесное состояние системы, существует вполне определенное соотношение. Чтобы Установить это соотношение, рассмотрим равновесный изотермический процесс изменения состояния системы. В результате этого процесса произойдет, во-первых, увеличение объема системы от Е до Е + (IV, что приведет к изменению внутренней энергии системы на величину произведенной при этом работы йВ = рдУ, взятой с обратным знаком во-вторых, изменится распределение молекул по энергиям, что вызовет некоторое дополнительное изменение внутренней энергии системы. [c.89]

Величина I характеризует какое именно состояние системы реализовалось. Шенноновская информация относится к замкнутым системам. Г. Хакен [15] расширил предстаяления об информационной энтропии он показал, что с формальной точки зрения различие в интерпретации энтропии Больцмана и информационной энтропии по Шеннону обусловлено различием в ограничениях, используемых для замкнутых и открытых систем. Это позволило придать универсальность информационной энтропии и расширить ее использование также и для открытых систем, если в процессе самоорганизации в системе образуются макроскопические структуры. Хакен представил соогношение (1.4) в виде [c.10]

ЭНТРОПИЯ ВСЕЛЁННОЙ—величина, характеризующая степень неупорядоченности и тепловое состояние Вселенной. Количественно оценить полную Э. В. как энтропию Клаузиуса (см. Энтропия) нельзя, поскольку Вселенная не является термодинамич. системой. Действительно, из-за того, что гравитационное взаимодействие является дальнодействующим и неэкранируемым, грави-тац. энергия Вселенной (в той степени, в какой её вообще можно определить) не пропорциональна её объёму. Напр., в ньютоновском приближении гравитац. энергию сферич, массы М с однородной плотностью р можно оценить по ф-ле и—GM-V = — Ср где С — ньютоновская гравитационная постоянная, V—объём. Полная энергия Вселенной тоже не пропорциональна объёму и потому не есть аддитивная величина. Кроме того. Вселенная, согласно Хаббла закону, расширяется, т. е. нестационарна. Оба эти факта означают, что Вселенная не удовлетворяет исходным аксиомам термодинамики об аддитивности энергии и существовании термодинамич. равновесия. Поэтому Вселенная как целое не характеризуется и к.-л. одной темп-рой. Оценить Э. В. как энтропию Больцмана А In Г, где k — Больцмана постоянная, Г—число возможных микросостояний системы, также нельзя, поскольку Вселенная не пробегает все возможные состояния, а эволюцио- [c.618]

Заканчивая разговор о постоянной Больцмана, хочется еще раз подчеркнуть ее фундаментальное значение в науке. Она содержит в себе громадные пласты физики—атомистика и молекуля-рно-кинетическая теория строения вещества, сгатистическая теория и сущность тепловых процессов. Исследование энтропии открыло путь от технологии (тепловая машина) к космологии (направление времени и судьба Вселенной) [58]. Изучение необратимости тепловых процессов раскрыло природу физической эволюции, сконцентрировавшейся в замечательной формуле Больцмана 5=Л In W. Следует подчеркнуть, что положение, согласно которому замкнутая система рано шш поздно придет в состояние термодинамического равновесия, справедливо лишь для изолированных систем и систем, находящихся в стационарных внешних условиях. В нашей Вселенной непрерывно происходят процессы, результатом которых является изменение ее пространственных свойств. Нестационарнос гь Вселенной неизбежно приводит к отсутствию в ней статистического равновесия. Тепловая смерть не грозит Вселенной, ее судьбы определяют иные факторы, обусловленные гравитацией. [c.92]

Полученное соотношение (7.61) позволило Больцману пойти дальше и трактовать функцию —кН как энтропию 5 не только равновесного, но и неравновесного газа, а Я-теорему Больцма на — как статистическое обоснование второго начала термодинамики для неравновесных процессов. Такая интерпретация Я-тео-ремы вызвала возражения И. Лошмидта (1876) и ученика М. Планка Э. Цермело (1896). [c.122]

Приведенное затруднение устраняется, если учесть, что обращение направления скоростей всех атомов макроскопически удаляет систему от равновесного состояния, как наиболее вероятного. Временная эволюция газа в этом случае определяется не уравнением Больцмана, а другим кинетическим уравнением, которое, как и уравнение Больцмана, может быть получено методом неравновесных функций распределения Боголюбова. Этот вопрос, а также рещение парадокса возврата Цермело мы обсудим в следующем параграфе. А сейчас обратимся к статистическому выражению для энтропии неравновесной системы. [c.123]

Предельный переход в статистической физике — 212 Принципы вариационные термодинамики необратимых процессов — 16 Принцип Кюри — 14 Принцип Ле-Шателье — 21 Принцип Пригожияа о минимуме производства энтропии — 19 Проблема Больцмана — 125 [c.240]

Против флуктуационной гипотезы Больцмана был выдвинут ряд возражений. Одним из них является исчезающе малая вероятность сколько-нибудь больших флуктуаций. Ни концепция тепловой смерти , ни флуктуационная гипотеза не учитывали специфики Вселенной как гравитирующей системы. В то время как для идеального газа наиболее вероятным является равномерное распределение частиц в пространстве, в системе гравитирующих частиц однородное распределение не соответствует максимальной энтропии. Образование звезд и галактик из равномерного распределения вещества происходит не вследствие флуктуаций, а является естественным процессом, идущим с ростом энтропии. [c.84]

Отсюда видно, что стрела времени имеет объективное направление в одну сторону — от небытия к бытию, в сторону развития предметов, их становления, постепенного формирования и гибели как таковых. Эта необратимость направления времени существует как в мире возрастающей энтропии, так и в мире флуктуаций Больцмана, как в расширяющейся, так и в сжимающейся Вселенной. Определения направления времени по Больцману или по Хойлу являются эмпирическими, удобными для практического определения роста времени, но они есть следствия объективного направления времени, вытекающего из содержания самого понятия времени. [c.85]

В настоящее время вопрос о тепловой смерти Вселенной стоит иначе, чем во времена Клаузиуса—Больцмана и недавнего прошлого. В соответствии с современными данными наблюдений Метагалактика представляет собой расширяющуюся систему и, следовательно, является нестационарной. Поэтому вопрос о тепловой смерти Вселенной нельзя даже ставить. Действительно, учет особенности Вселенной как гравитирующей системы в теории тяготения Эйнштейна приводит к тому, что для Вселенной не существует состояния максимальной энтропии. Поэтому энтропия Вселенной в каждой ее области может возрастать неограниченно без того, чтобы Вселенная приближалась к состоянию с максимальной энтропией, т. е. к тепловой смерти . [c.73]

При термодинамическом выводе закона Стефана—Больцмана было использовано взятое из электродинамики выражение для давления Р = ы/3. В статистической физике, получив и из формулы Планка (14.101), величину давления можно вычислить. Так как изменение энтропии в единице объема райно [c.254]

Статистическая формулировка второго начала термодинамики. Предположим, что изолированная система находилась вначале в неравновесном состоянии, вероятность котосого есть ] 1. По истечении некоторого промежутка времени система перейдет из неравновесного состояния в равновесное, характеризующееся максимальной величиной вероятности 1 2. При этом переходе из менее вероятного состояния в более вероятное энтропия системы возрастает согласно формуле Больцмана на [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...