Амплитуда комплексная гармонического колебания

Если г] = со/, то а ехр (i o/) описывает гармоническое колебание с амплитудой а и круговой частотой со (с периодом Т = 2я/со). Если начальная фаза колебания равна б, то выражение для колебания будет а ехр [i (оз/ -f б)] = а ехр ( 6)-ехр ( ш/). Обозначая а ехр (/б) = С, мы вводим комплексную амплитуду С, причем в это выражение входит как обычная амплитуда а, так и начальная фаза колебаний б. Таким образом, [c.31]

Метод комплексных амплитуд общепринят для рассмотрения гармонических колебаний в линейных электрических цепях. [c.147]

Комплексная амплитуда гармонических колебаний (комплексная амплитуда) А—комплексная величина, модуль которой равен амплитуде, а аргумент — начальной фазе гармонических колебаний. [c.144]

При исследовании гармонических колебаний методом комплексных амплитуд имеют место соотношения [c.98]

Динамические жесткость и податливость, механический импеданс. Динамической жесткостью механической системы называют отношение амплитуды внешней гармонической силы к комплексной амплитуде колебаний. Для системы с одной степенью свободы динамическая м есткость [c.105]

Упрощенная модель излучения (1.1.1) в наибольшей степени соответствует так называемому одномодовому режиму работы лазера, т. е. такому, при котором генерируется одно гармоническое колебание (одна мода). Подобный режим обеспечивается специальными техническими решениями, которые часто приводят к существенному понижению выходной мощности. Однако даже в этом случае модель (1.1.1) хотя и является хорошей, но все же отвечает определенной идеализации реального сигнала. В лазере всегда присутствуют естественные временные и пространственные флуктуации комплексной амплитуды Ва что, конечно, не учитывается моделью [c.10]

Динамической жесткостью механической системы называют отношение амплитуды внешней гармонической силы к комплексной амплитуде колебаний. Для системы с одной степенью свободы динамическая жесткость [c.30]

Представление (5.8) путем использования в ядре функции Ф ( — г а) 5.3) обобщается на случай гармонических колебаний с постоянным сдвигом а фаз колебаний соседних профилей (Г. С. Самойлович, 1962), а при использовании разложения (5.5) и формул Чаплыгина — Седова дает возможность получить общие выражения комплексных амплитуд нестационарных сил и моментов в виде конечных формул (квадратур), каждый член которых имеет определенный гидродинамический смысл (В. П. Ва-хомчик, 1965, 1966). Такие выражения имеют некоторые вычислительные преимущества перед простейшим вихревым методом и, кроме того, позволяют аналитически получить дЛя предельных значений геометрических и кинематических параметров асимптотические результаты, которые, как правило, ускользают от численных расчетов. [c.139]

Из этой системы связанных уравнений следует исключить плотность инверсии и найти зависимость поляризации от напряженности поля [в предположении, что происходит гармоническое колебание с круговой частотой оао и с комплексной амплитудой ( о)]. Структура уравнений позволяет обнаружить наличие нелинейной зависимости решение этих уравнений можно выполнить методом последовательных приближений. Из первого дифференциального уравнения сначала определяется [c.291]

Показать, что при возбуждении линии источником гармонических колебаний с частотой со комплексные амплитуды напряжения О и тока / как функции продольной координаты х подчиняются дифференциальным уравнениям [c.45]

Метод комплексных амплитуд. Если в формуле Эйлера (1.53) = os ф + sin ф под ф понимать фазу гармонических колебаний [c.31]

АМПЛИТУДА колебаний — наибольшее значение А величины совершающей гармоническое колебание X — Л os ( oi + ф), где со — круговая частота, t — время, ф — начальная фаза колебания. Эффективное значение з эфф колеблющейся величины связано с её А. соотношением эфф — А/ ]/2. При записи колебаний в комплексном виде [c.50]

При изучении гармонических колебаний и волн весьма удобно пользоваться также отношениями комплексных величин. Для гармонического процесса такое отношение не зависит от времени (множители e- сокращаются). Фаза полученного отношения равна разности фаз делимого и делителя. Если обе величины одной природы, например падающая на препятствие волна и отраженная волна, то модуль отношения равен отношению вещественных амплитуд этих волн. Весьма полезными оказываются и отношения величин различной природы, например давления и скорости (так называемый импеданс) и т. д. В дальнейшем мы часто будем встречаться с такими величинами. [c.68]

В неустойчивых звеньях процессы не могут быть установившимися, поэтому частотные характеристики таких звеньев следует рассматривать как зависимости, определяющие для вынужденной составляющей процесса отношение амплитуд выходной и входной величин, а также сдвиг по фазе между этими величинами при различной частоте колебаний. Из-за неустойчивости звена при гармонических колебаниях входной величины с постоянной амплитудой колебания выходной величины будут расходящимися. Признаком неустойчивости звена является расположение одного или нескольких полюсов его передаточной функции в правой полуплоскости комплексного переменного. Например, передаточная функция колебательного звена с отрицательным демпфированием [c.69]

Комплексная динамическая жесткость (комплексная жесткость) D — отношение гармонической вынуждающей силы к комплексной амплитуде гармонических вынужденных колебаний. [c.145]

Как правило, перепад уровней вибрации между опорными поверхностями амортизатора составляет 10 дБ и более, поэтому его характеристики достаточно определить в условиях жесткого закрепления одной из опорных поверхностей. Входная динамическая жесткость амортизатора, равная отношению амплитуды гармонической силы или момента на входной опорной поверхности к комплексной амплитуде перемещения этой же поверхности, существенно влияет на колебания механизма только в области низких частот. С повышением частоты входная динамическая жесткость амортизатора определяется в основном инерцией его арматуры. Поэтому, если масса арматуры присоединяется к массам механизма и фундамента, при расчете в этом диапазоне частот жесткость можно не учитывать. Потери же колебательной энергии в резиновом массиве составляют существенную часть от общих потерь в системе в широком диапазоне частот. Демпфирующие свойства амортизатора можно характеризовать потерями энергии, отнесенными к квадрату амплитуды перемещения одной из опор- [c.89]

Механическим импедансом системы Z (т)) или просто импедансом называют отношение амплитуды гармонической вынуждающей силы к комплексной амплитуде скорости при установившихся вынужденных колебаниях [c.105]

Элементы матрицы Б являются коэффициентами влияния, называемыми комплексными передаточными функциями. В подобных матрицах комплексные числа представляют собой амплитуды и фазы установившихся колебаний при наличии демпфирования, обусловленных действием возмущающих сил, описываемых единичными гармоническими функциями. [c.239]

Используя метод комплексных амплитуд, найдите решение для вынужденных колебаний линейного гармонического осциллятора без затухания при действии на него внешней гармонической силы. Нарисуйте графики зависимостей амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. [c.13]

Уравнения (6.5.1) для амплитуд параметров ЖРД, полученные с учетом частных периодических решений, являются алгебраическими линейными с комплексными коэффициентами. Уравнения (6.5.1) описывают установившиеся колебания параметров ЖРД как реакцию на гармоническое внешнее возмущение, т. е. определяют частотные характеристики ЖРД. Найдем решения, определяющие амплитуды /-го параметра ЖРД 5х,- при воздействии у-го возмущения с амплитудой воспользовавшись соотношением [c.244]

Сравнивая формулы (69), определяющие вынужденные движения, возникшие благодаря действию вынуждаюш,ей силы (58), с выражением для этой силы, устанавливаем, что в этом случае вынужденн1.1е движения представляют собой гармонические колебания той же частоты, но с иными амплитудами и со сдвигом фаз. Амплитуды и фазы вынужденных колебаний полностью определяются введенной выше комплексной функцией F (tQ), и для данной системы зависят поэтому только от частоты внешней силы 13. [c.245]

Для периодических гармонических колебаний уравнения (142) относительно комплексных амплитуд колебания функции тока ф = фо (> ) ехр (idit) и энтропии Д5 = ASq (х) ехр (iat) можно записать в виде [c.54]

В формулах (12) и (13) амплитуда А является действительным числом. Наряду с Зейстеительной ампяитудой используются также комплексные амплитуды, равные в зависимости от способа задания гармонических колебаний Ае или Ае . Рассмотрим, например, выражение и = Re (Л(,е ), где А — комплексное число, действительная и мнимая части которого равны соответственно А и Л . Тогда с учетом выражения (11) приходим к формуле (8), причем амплитуда и начальная фаза равны соответственно [c.20]

В согласии с (1.2) давление игцется в виде сунернозиции гармонических колебаний с частотой yj и сдвигом фазы 21 0у 1Ху между любыми двумя точками с координатами х у, г у, 9 у) и ху,Гу,9у — 2тг/Ху). Комплексная амплитуда j-й гармонической комноненты дав- [c.685]

Все программы, расчета на ЭВМ состоят из двух частей. Первая часть включает описание системы уравнений станка, подпрограммы для расчета отдельных коэффициентов этой системы. Вторая часть включает стандартные программы для решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений (процессор). В процессоре используется метод комплексных амп-, литуд, при котором решение находится в виде линейной комбинации функции где —комплексная амплитуда ш — круговая частота гармонических колебаний, задаваемых правыми частями уравнений. Система решается для ряда значений (до 100) в заданном интервале частот. На печать выдаются значения выходной координаты и всех переменных системы уравнений станка, что позволяет графически построить амплитуднофазовую частотную характеристику и формы колебаний станка при любой частоте. Если известна характеристика резания и возмущения от привода и фундамента, то задача решается от начала до конца с помощью ЭВМ. [c.185]

СКОЛЬКО лннеи ных звеньев, плохо пропускающих высшие гармоники, влияние высших гар-МОНИК, порождаемых нелинейным элементом, на качество процесса регулирования несущественно. Таким образом, поведение такого нелинейного элемента в динамическом процессе можно практически однозначно охарактеризовать (по образу линейных систем) некоторой функцией, представляющей отношение (в комплексной форме) первой гармоники выходных колебаний к породившим их гармоническим колебаниям входной величины. Эту функциональную зависимость гложно назвать ампли-гудно-фазовой характеристикой нелинейного звена. Так как у рассматриваемого нелинейного звена связь между входной и выходной величинами представляет алгебраическую зависимость, его АФХ не является фукцией частоты колебаний. С другой стороны, так как форма выходных колебаний зависит от амплитуды входного сигнала, АФХ рассматриваемого элемента представляет собой функцию амплитуды колебаний выходной величины. Как это показано в дальнейшем, для анализа систем с нелинейными элементами удобнее пользоваться обратными (инверсными) амплитудно-фазовыми характеристиками. [c.517]

Свободные колёбания — это гармонические колебания с комплексными частотами Qs(Qs = Q s—/Qs", Qs">0) и, следовательно, иемонохроматичны. Они представляют собой амплитудно-модулированные колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Тем самым показана правомерность формальной постановки задачи (1.9.1) (1.9.2) в 1.9. Величину [c.81]

Используя метод комплексных амплитуд, покажите, что сумма двух гармонических колебаний Жl(i) = a os(wi + (fi) и Ж2(i) = b os uut + + (/ 2) тоже является гармоническим колебанием. Определите амплитуду [c.41]

Из этой формулы видно, что амплитудно-фаь овая характеристика равна отношению комплексных амплитуд гармонических колебаний входной и выходной координат. [c.30]

Пусть в неограниченной среде радиально колеблется, пульсирует сфера радиуса г. Все точки сферы совершают колебания с одинаковыми амплитудами и фазами рассматриваемый тип источника представляет собо11 излучттель нулевого порядка. К сказанному сдел 1ем еще две оговорки о характере колебаний во-первых, ограничиваемся гармоническими колебаниями, во-вторых, предполагаем наличие лишь расходящихся из центра волн и исключаем возможность обратной сходящейся волны. Решение поставленной таким образом задачи нам уже известно из предыдущего (ур-ние 2.79). Потенциал скорости в комплексной форме представится [c.63]

Современные ЭЦВМ позволяют выполнить исследования колебаний механической системы практически любой сложности. Но изменение структуры модели требует разработки новых алгоритмов и программ расчета, поэтому в последние годы уделяется большое внимание исследованию общих закономерностей колебания сложных механических систем, не зависящих от их конкретной структуры. Наиболее полно эти вопросы освещаются в литературе по акустике, в особенности в работах Е. Скучика [1]. При этом вместо принятых в литературе по механике понятий динамической жесткости, податливости и гармонических коэффициентов влияния применяется терминология, установившаяся для описания переходных процессов в электрических цепях импеданс, сопротивление, проводимость и т. ц. Это связано с использованием получившего широкое распространение в последние годы математического аппарата теории автоматического регулирования и, в частности, с рассмотрением задач в комплексной области. Переход в комплексную область позволяет свести динамическую задачу для линейной системы при гармоническом возбуждении к квазистатической с комплексными коэффициентами, зависящими от частоты. После определения комплексных амплитуд сил и перемещений у, действующие силы и перемещения выражаются действительными частями произведений и [c.7]

Ограничения, накладываемые на массу системы и жесткость амортизации, приводят к применению двухкаскадных систем виброизоляции. При однонаправленных колебаниях двухмассовой системы под действием гармонического возбуждения с частотой (О, приложенного к массам и (рис. 9, а), комплексные амплитуды колебаний масс [c.42]

Цель расчета вынужденных колебаний виброзащитной системы при гармоническом возбуждении состоит в вычислении комплексных амплитуд проекций относительных перемещений О/ и абсолютных ускорений W/ фиксированных точек Ту несомого тела на заданные направления, определяемые направляющими косинусами [c.197]

Применяя прямое и обратное преобразования, а также теоремы комплексного исчисления и методы решения нелинейных алгебраических уравнений, Г. Е. Пухов решил ряд задач с доведением их до численных результатов. В частности, получены формулы для расчета периодических процессов и процессов установления в электрических машинах постоянного тока с учетом нелинейности дифференциальных уравнений, в магнитных усилителях, в статических утроителях частоты и др. Кроме того, им получены расчетные формулы для определения периода колебаний и амплитуд гармоник лампового генератора, рассчитаны периодический процесс в цепи параметрического генератора и переходные процессы в ряде систем автоматического регулирования. При этом выяснилось, что определение качества переходных процессов проще производить комплексным методом, а не наиболее распространенным методом трапецоидальных частотных характеристик. Если комплексным методом исследовать почти синусоидальные процессы в нелинейных системах, то можно убедиться в том, что в этом случае он будет тождественен методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Бого-л1обова. Метод Г. Е. Пухова подробно изложен в его книге [13]. [c.94]

Как указывалось в разд. 2.3, динамические свойства кавитационных каверн во входном участке шнеко-центробежного насоса в кинетической модели М. С. Натанзона описываются уравнениями (2.26) и (2.49). Используя эти уравнения, но в размерном виде, и представляя переменные в виде произведения комплексных амплитуд колебаний на гармоническую функцию времени например, [c.65]

Нагрузка, распределенная по прямоугольнику (рис. 8.17) [21]. Нагрузка интенсивностью р равномерно распределена по поверхности полупространства по площади прямоугольника со сторонами 2аХ2 и изменяется во времени по гармоническому закону. Комплексные амплитуды колебаний поверхности, соответствующие вкладу релеевских волн, преобладающих на больших расстояниях, определяются следующими формулами [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...