Инвариантность при замене осей

Инвариантность множителя. Для последующего важно рассмотреть вопрос о замене переменных. Покажем, что каждый множитель является инвариантом такой замены, но инвариантом относительным, причем в том смысле, что если умножить его на определитель преобразования, то он будет множителем для новой системы переменных. [c.400]

Ковариантная форма уравнений. Преобразование Лоренца получено нами для замены преобразования Галилея, так как последнее нельзя считать правильным. Теперь мы можем перейти ко второй части нашего исследования и рассмотреть вопрос о принципе эквивалентности, требующем, чтобы законы механики (и вообще законы физики) имели одинаковую форму во всех равномерно движущихся системах. Таким образом, мы должны исследовать законы физики в отношении инвариантности их формы при преобразованиях Лоренца. Эта задача сильно облегчается, если, формулируя эти законы, пользоваться понятием четырехмерного пространства Минковского, введенного в предыдущем параграфе. Мы увидим, что инвариантность данных уравнений относительно преобразований Лоренца тогда можно будет установить непосредственным путем. [c.218]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Заметим далее, что преобразования (7.12) гл. 1 инвариантны относительно замены а —а, т. е. 0 я — 0, 8 8 я. Таким образом, если доопределить (0, V) на интервале О <С [c.83]

Заметим сначала, что в силу инвариантности уравнений Эйлера относительно замены V о —V, направление вектора скорости на линии тока несущественно. Однако в силу принятого предположения о непрерывности поля скорости, поле П1 также непрерывно (за исключением точек V = = О, где оно не определено), поэтому произвольность в задании поля П1 устраняется заданием направления вектора скорости в одной точке области течения, например, на бесконечности. [c.14]

Здесь учтено, что о (Л) и У инвариантны относительно замены к на —к. Полученные выше амплитуды должны складываться. При этом надо учесть закон сохранения энергии [c.289]

Доказательство. Из леммы 15.4.3 следует, что 5оС[р,д] = = [зир 5, , п1 з], так что в силу топологической транзитивности 5,, с р, д . Если б о ф 0, тогда, возможно после замены / на /, мы получим ре Зд. Полагая, что рфд, получаем противоречие. Если Л — достаточно маленькая окрестность точки р и а У П 5 р , то а 5,, х<р = /(р) и /(х) < д по непрерывности, так что х[c.510]

Теорема 18.2.3. Пусть АсМ— гиперболическое множество гладкого потока на М. Тогда для любой открытой окрестности V множества Л и каждого 5 >0 существует такое е >О, что если ф — другой гладкий поток и ., 1р,ф) < г, то существует инвариантное гиперболическое множество К для ф и гомеоморфизм к Л-+Л, где к) со(И, /г ) < 6, который является гладким вдоль орбит р и задает орбитальную эквивалентность потоков и ф. Кроме того, векторное поле к,ф С°-близко к ф, и если к к —два таких гомеоморфизма, то о/г, — замена времени потока р (близкая к тождественной). [c.573]

Пока же ограничимся тем, что нам известно относительно множества д оно не пусто, по крайней мере в некоторых случаях, представляющих физический интерес (эволюция во времени, параллельные переносы в пространстве и т. д.). Наше рассмотрение множества о всех состояний, инвариантных относительно группы симметрии G, можно продолжить, заметив, что о есть ш -компактное выпуклое подмножество в 81. Следовательно, мы можем перенести на о все сказанное в гл. 1, 2 о множестве . В частности, можно утверждать, что о есть iiy -зам кнута я выпуклая оболочка своих крайних точек [экстремальных G-инвариантных состояний )], и доказать, что G-инвариантное состояние экстремально в в том и только в том случае, если оно не доминирует ни над одним другим G-инвариантным состоянием. [c.227]

Напомним, что наличие оси симметрии порядка п (Ln) означает совмещение всех элементов самих с собою при повороте на угол 2я/п вокруг этой оси. Инверсионная ось Ln содержит поворот на угол 2я/п с одновременным преобразованием инверсии. Плоскость симметрии Р означает инвариантность относительно замены z —z, где ось 0Z -L Р. Нетрудно убедиться, что инверсионная ось Le эквивалентна комбинации преобразований ЬзР, где Ьз -L Р. [c.10]

Выражение (4.22) существует и не зависит от специального выбора функции /, в чем можно просто убедиться, повторив ход рассуждений второго шага. Это выражение определяет функцию rусловия симметрии относительно аргументов x , вещественности и трансляционной инвариантности вьшолняются тривиально. Принадлежность носителя к области (х — х,) V+ следует из свойств носителей функций О и / (наша процедура так специально и строилась, чтобы условия на носитель выполнялись). Единственное условие, которое еще нуждается в проверке,— это требование лоренц-инвариантности. Пусть Л — преобразование из собственной группы Лоренца. Очевидно, что функции (ЛЕ) и fi (Ах. АХ) обладают всеми необходимыми свойствами вспомогательных функций б и и поэтому замена одних функций другими в формуле (4.22) [c.50]

ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ (Г), математич. операция замены знака времени t) в ур-ниях, описывающих развитие во времени к.-л. физ. системы (в ур-ниях движения). Такая замена отвечает определ. симметрии, существующей в природе. А именно, все фундам. вз-ствия (за одним исключением см. ниже) обладают св-вом т. н. Г-инвариантности О. в. (замена < —— ) не меняет вида ур-ний движения. Это означает, что для любого возможного движения системы может осуществляться обращённое во времени движение, когда система последовательно проходит в обратном порядке состояния, симметричные состояниям, проходимым в прямом движении. Такие симметричные по времени состояния отличаются противоположными направлениями скоростей (импульсов) ч-ц и магн. поля. Г-инвариантность приводит к определённым соотношениям между вероятностями прямых и обратных реакций, к запрету нек-рых состояний поляризации частиц в реакциях, к равенству нулю электрич, дипольного момента элем, ч-ц и т. д. [c.479]

Для Босстановления право-левой симметрии пустого пространства Ландау предложил вложить право-левую асимметрию в заряд частицы. Согласно Ландау, в слабых взаимодействиях нарушается не только закон сохранения четности, но и принцип зарядового сопряжения. Это легко понять на том же примере с продольно-поляризованными нейтрино и антинейтрино. Дей-ствцтельно, если к левовинтовому нейтрино (правовинтовому антинейтрино) применить операцию зарядового сопряжения, то получится левовинтовое антинейтрино (правовинтовое нейтрино), которого, согласно теории продольных нейтрино, в природе не существует. В соответствии с этим теория оказывается несимметричной относительно замены всех частиц на все античастицы. Инвариантной является комбинированная операция, состоящая из инверсии координат Р и замены частицы на античастицу С. В этом случае говорят о сохранении комбинированной четности СР в слабых взаимодействиях . Введение понятия комбини ровацной четности позволяет рассматривать явления, связанные с несохранением четности, сохраняя право-левую симметрию пустого пространства (так как вращение связано с зарядом, т. е. с частицей). [c.646]

О. т. является следствием микроскопич. обратимости ур-ний механики, т. е. инвариантности ур-ний движения относительно обращения времени (замены t —> —i)-Инвариантность относительно обращения времени означает, что при изменении направлений скоростей V всех частиц на обратные (и одноврем, изменении на-иравленнй Н и (о) частицы будут двигаться в обратном [c.409]

ТОМ параметра крутки К до нуля на штрихнунктирной кривой. При больших значениях К подъемная сила отрицательна. При дальнейшем увеличении К решение становится неединственным, что проявляется в неодносвязности поверхности. На плоскости Р, Q разрыву поверхности соответствует особая точка (Р, при б = — 1 (F<0). Следует отметить, что выбор области с положительными К не обязательно соответствует значениям О, а в силу инвариантности функции W(х) относительно замены Q на — Q или, что то же самое, К на — К, поверхность решений преобразуется симметрично относительно плоскости К —О, поскольку нри таких заменах "If (ж) меняет только знак. [c.247]

Вообще говоря, асимптотическое поведение потоков на поверхностях характеризуется медленным ростом числа орбит, но они обладают менее равномерными типами возвращения и статистического поведения, чем обратимые одномерные отображения, изучаемые в гл. 11 и 12. Первое обстоятельство тесно связано с тем фактом, что и орбиты, и одномерные трансверсали к потоку локально делят поверхность второе же обязано своим появлением прежде всего более сложной, чем у окружности (и тора), топологии поверхностей рода выще единицы и, в меньщей степени, эффектам замены времени. Характерными проявлениями этого типа сложности, промежуточного между простым поведением нашей первой группы примеров ( 1.3-1.6) и диффеоморфизмами окружности с одной стороны и примерами с положительной топологической энтропией ( 1.7-1.9, 5.4, 9.6) с другой, являются теоремы о конечности числа нетривиальных замыканий орбит (теорема 14.6.3) и неатомарных эргодических инвариантных мер (теорема 14.7.6) для потоков на поверхностях рода больще единицы. Эти результаты параллельны единственности минимального множества (предложение 11.2.5) и строгой эргодичности (теорема 11.2.9) гомеоморфизмов окружности. [c.454]

С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удов.тетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли а интегралами движения являются инвариантные относительно операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, 1.5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [fa, Рь] в на соответствующие скобки Пуассона Fa, Рь , а самой алгебры О — на функциональную группу G , элементами Ра которой являются функции Ра х р), задэнные на фазовом пространстве 2N переменных х и рр, 1 а, N (обобщенные координаты и импульсы Ха, хр = ря, Рэ =0, ра, хр =0а з). При этом скобка Пуассона определяется формулой [c.16]

Для доказательства достаточно рассмотреть только случай минимума, так как всегда можно заменить F[х) на — F x). Можно также предположить, что / (ж ) = О ввиду допустимости замены F x) на F(x) onst. Таким обра.зом, можно считать, что F x) > О при всех ж, достаточно близких к хР, но не равных ж . В силу непрерывной зависимости функции F x) or х существует при любом достаточно малом область 2 = 2( ), содержащая окрестность точки хР, стягивающаяся в эту точку при t О и такая, что F x) С если х лежит внутри 2(Q, тя. F x) = если х лежит на границе этой области. Так как F x) = onst — интеграл системы х = /(ж),то из 80—82 следует, что 2( ) представляет собой инвариантное множество этой системы при любом малом (фиксированном) > 0. Таким образом, если положить, например, 2 = 2 (S ) и Sn = Vn, то условия, налагавшиеся в 132 на последовательность 2п, га = 1, 2,..., выполняются, что доказывает теорему. [c.123]

Из формулы (358) видно, что этот к. п. д. является функцией скорости. Он равен нулю при старте, достигает 1, когда скорость полета становится равной скорости струи и вновь приближается к нулю при очень больших скоростях полета (рис. 180). Функция т]о инвариантна по отношению замены независимой переменной на обратную. Это озна- [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...