Интеграл энергии

Если силы, действующие на механизм, зависят только от его положения (являются функциями обобщенной координаты), уравнение (4.13) можно записать в форме интеграла энергии [c.123]

Точка массы m притягивается к неподвижному центру по закону всемирного тяготения f = чгр/Я, где р — гравитационный параметр центра притяжения. Найти интеграл энергии. [c.389]

Фазовые траектории для консервативной системы можно построить используя интеграл энергии. Каждой фазовой траектории соответствует определенное значение полной механической энергии. [c.433]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Прежде чем приступить ко всему этому, сделаем одно общее замечание. При движении консервативной системы заведомо известен один первый интеграл — интеграл энергии. Это дает возможность понизить порядок системы уравнений на единицу. Но мы уже видели при использовании циклических координат (см. 3 этой главы), что в системе, имеющей г циклических координат, порядок системы уравнений можно понизить на 2л и независимо выписать г квадратур. [c.326]

Таким образом, поставленная задача полностью решена —при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147). [c.330]

Обобщенный интеграл энергии [c.100]

Пример 34. Шарик массы m находится внутри прямолинейной горизонтальной трубки АВ (рис. 4,5), которая равномерно вращается с угловой скоростью (О вокруг вертикальной оси, проходящей через точку А. Шарик соединен с неподвижной точкой А пружиной жесткости с. Пренебрегая трением, составить обобщенный интеграл энергии. [c.102]

L jm(x -hx w )-j-(x-x0y, найдем = и обобщенный интеграл энергии будет равен х - L =тх тх ш + 4г (х - XoV = h. [c.103]

Y тх - Y та> х + - - (д - ХоУ = К т. е. вычисленный выше обобщенный интеграл энергии. [c.103]

Метод Уиттекера позволяет с помощью обобщенного интеграла энергии понизить порядок системы (4.4) на две единицы. Пусть рассматриваемая голономная система будет консервативной. Это значит, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, т. е. [c.103]

Следовательно, обобщенный интеграл энергии (4.22) можно записать в виде [c.104]

Выясним смысл нового обобщенного интеграла энергии. В силу того, что h — Л = Т, я [c.109]

Это выражение представляет собой интеграл энергии ). [c.114]

Исключим теперь из выражения принципа стационарного действия (8.34) время t, используя интеграл энергии [c.231]

В силу начальных условий из интеграла энергии Т П. = h следует, что Л = О и функция [c.235]

Из уравнения (2.15) непосредственно видно, что величина Ь не влияет на динамику маятника. Фазовым пространством рассматриваемой системы является цилиндр с координатами е, б (О == 0 < 2л). Поскольку функция Лагранжа L не зависит явно от времени, имеет место обобщенный интеграл энергии [c.30]

О С Я, < 1/4 система обладает двумя со- Рис. 2.14. стояниями равновесия устойчивым и не-, устойчивым, а при Я, < О (знак X изменяется при изменении направления одного из токов) — одним устойчивым состоянием равновесия. В точке Q-U, /4) производная ( , Я) == О, поэтому X == V4 есть бифуркационное значение параметра. Для построения фазового портрета рассматриваемой системы напишем интеграл энергии. В безразмерных величинах интеграл энергии имеет вид [c.35]

Интеграл энергии. Есл 1 все действующие на материальную точку силы являются потенциальными, то F-dr = dU = — dV и уравнение (22) принимает вид [c.341]

Таким образом, интеграл энергии имеет место и для несвободного движения, если действующая сила является потенциальной, а связь [c.406]

Из интеграла энергии следует, что при этих условиях в любой момент времени угол Ф Фо. Допустим, что угол фд мал (фо-= 1) тогда угол ф будет также мал и можно приближенно положить 5Шф ф. При этом уравнение (13) примет вид [c.409]

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения (10), если учесть, что в нашем случае -Uq = О, v = lq> и = mgh = mgl ( os ф — os фо) (см. [c.410]

Задачу о брахистохроне можно поставить шире, т. е. искать брахистохрону для потенциального поля сил, определяемого силовой функцией и (х, у, z). В этом случае имеем интеграл энергии [c.420]

Движение тяжелой точки по поверхности вращения, ось которой вертикальна. Направив ось z вертикально вниз, имеем, как и в ранее рассматривавшихся случаях, интеграл энергии (42) [c.426]

Теорема 3.7.9. (Интеграл энергии). Если сила, действующая на материальную точку, потенциальна с силовой функцией Г/(г), то уравнения движения допускают первый интеграл (интеграл энергии) [c.195]

Максимальное значение ут координаты у можно найти с помощью интеграла энергии (теорема 3.7.9). Имеем [c.197]

Теорема 3.8.3. (Интеграл энергии при наличии идеальной связи). Пусть связь идеальна и такова, что действительное перемещение в любой момент времени принадлежит множеству виртуальных, а активная сила потенциальна с силовой функцией С/(г). Тогда имеет место интеграл энергии [c.202]

Связи, наложенные на гироскоп, при отсутствии трения в закрепленной точке являются идеальными и стационарными. Сила 1яжес1и, дейсг-вую[цая на него, являегся 1ю-тенциальной. При этих условиях справедлив закон сохранения механической энергии (интеграл энергии) [c.505]

Интегральные инварианты и уравнения движения консервативных и обобщенно консервативных систем. В связи с тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем имеет место интеграл энергии (обобщенной энергии), гамильтониан, совпадающий с энергией (обобщенной гнергией) системы, не изме- [c.326]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Эти уравнения отличаются от уравнений Гамильтона в тех же отнсилениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре — Картана роль функции Н играет функция К, вместо t стоит <7, и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уиттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы. [c.328]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

Мы не будем заниматься интегрированием этого уравнения, а найдем уравнение траектории путем составления нового обобщенного интеграла энергии, используя то обстоятельство,, что, срорди-ната ф в функцию Уиттекера не входит. В соответствии с выражением (4.22) имеем [c.108]

Отсюда i -=V2h + f Ц), где / (g) 2Х 1п (1 — g) — 1 . При П0М0Щ.И графика функции / ( ) и построения, аналогичного проведенному в предыдущем примере, получаем разбиение фазовой полуплоскости I < 1 на траектории, изображенное на рис. 2.15, й для случая О < 1 < V4 и на рис. 2.15, б для случая А, < 0. Подставляя в интеграл энергии (2.21) координаты седлиьон точки + / 2 [c.35]

Если F=0, то из равенства (22) сразу находим v = — результат, являющийся следствием изв( стного интеграла (7). Для получения нетривиального интеграла, даваемого теоремой, а именно интеграла энергии, надо рассмотреть ряд вопросов, связанных с теорией силового поля. [c.333]

Найдем время, в течение которого точка пройдет по кривой путь АВ. Возьмем начало координат в точке А и ось z направим вертикально вниз. Тогда, в отличие от предыдущего случая, потенциальная энергия точки V г=—т г -j- onst и интеграл энергии (11) дает [c.415]

Пусть I = ОМ (рис. 367) — радиус сферы, по которой движется точка (длина нити). Направим из центра О сферы вертикально вниз ось Ог и будем определять положение маятника сферическими координатами ф и 0, где ф — угол отклонения радиуса ОМ от вертикали, а 0—угол между вертикальными плоскостями MOz и xOz. На маятник М действуют сила тяжести mg и реакция сферы (или натяжение нити) /V. Для составлершя уравнений движения воспользуемся первыми интегралами энергии и площадей. Так как сила mg потенциальная, а связь идеальная и склерономная, то имеет место интеграл энергии (42) [c.427]

Интеграл энергии. Предположим, что действующая на точку сила F имеет потенциал, т. е. F=gTad t/, и что наложенные связи склерономны. При таких условиях уравнения движения точки (13) дают интеграл энергии. Для получения этого интеграла умножим каждое из уравнений (13) на соответствующую скорость и сложим получим [c.457]

Основной курс теоретической механики. Ч.1 (1972) -- [ c.341 , c.457 ]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.391 ]

Теоретическая механика (1976) -- [ c.72 ]

Курс теоретической механики. Т.1 (1972) -- [ c.379 ]

Курс теоретической механики. Т.2 (1977) -- [ c.100 ]

Курс теоретической механики. Т.2 (1983) -- [ c.233 , c.400 ]

Теоретическая механика (1980) -- [ c.354 ]

Теория механизмов и машин (1979) -- [ c.138 ]

Теоретическая механика Том 2 (1960) -- [ c.175 , c.284 , c.366 , c.383 , c.397 ]

Лекции по аналитической механике (1966) -- [ c.59 ]

Классическая динамика (1963) -- [ c.111 , c.121 ]

Теоретическая механика (1970) -- [ c.165 , c.316 ]

Вибрации в технике Справочник Том 2 (1979) -- [ c.141 ]

Курс теоретической механики Том2 Изд2 (1979) -- [ c.96 , c.246 ]

Курс теоретической механики Часть1 Изд3 (1965) -- [ c.489 , c.497 , c.498 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) -- [ c.226 , c.250 ]

Аналитическая механика (1961) -- [ c.28 , c.822 ]

Курс теоретической механики для физиков Изд3 (1978) -- [ c.73 ]

Теория движения искусственных спутников земли (1977) -- [ c.50 ]

Основы механики космического полета (1990) -- [ c.33 , c.34 ]

Лекции по небесной механике (2001) -- [ c.41 , c.46 ]

Небесная механика (1965) -- [ c.72 , c.172 ]

Введение в термодинамику Статистическая физика (1983) -- [ c.167 ]

Инженерный справочник по космической технике Издание 2 (1977) -- [ c.62 ]

Теоретическая механика (1981) -- [ c.77 , c.87 , c.148 , c.164 , c.229 ]

Космическая техника (1964) -- [ c.69 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...