Интеграл энергии и циклические интегралы

Первый интеграл представляет собой интеграл энергии Qx и Gj — проекции кинетического момента Qq на оси Сх и С5. Постоянство Gx при движении системы следует из того, что момент сипы R относительно оси Сх равен нулю. Третий интеграл выражает постоянство обобщенного импульса Ар, соответствующего циклической координате <р. Заметим, что (см. рис. 46) [c.213]

Прежде чем приступить ко всему этому, сделаем одно общее замечание. При движении консервативной системы заведомо известен один первый интеграл — интеграл энергии. Это дает возможность понизить порядок системы уравнений на единицу. Но мы уже видели при использовании циклических координат (см. 3 этой главы), что в системе, имеющей г циклических координат, порядок системы уравнений можно понизить на 2л и независимо выписать г квадратур. [c.326]

Если, кроме того, функция Лагранжа не зависит явно от времени, то для этой системы справедлив обобщенный интеграл энергии (следствие 8.4.3). Покажем, что этот интеграл можно интерпретировать как циклический. [c.559]

Если Я не зависит явно от времени Т то в уравнениях Уиттекера координата дп+1 будет циклической, из-за чего порядок интегрируемой системы можно понизить на две единицы. Интеграл энергии приобретает смысл циклического интеграла [c.667]

ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 399 [c.399]

Интеграл энергии и циклические интегралы [c.399]

Исходя из аналогии между переменной времени t и циклической координатой, следует ожидать, что с помощью интеграла энергии (1) удастся понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на две единицы. [c.127]

Он не зависит от времени, так что интеграл энергии у нас есть. Есть ли еще один интеграл Циклической координаты ни в системе определяющих координат т, ф, ни в системе х, у нет. Выпишем гамильтониан [c.133]

Замечание об интегрируемости. Наличие двух интегралов движения (интеграла энергии и циклического) в системе с двумя же степенями свободы позволяет решить уравнения движений и проанализировать их качественно. Соответствующие общие теоремы будут даны позднее, а пока приведем пример. [c.179]

Задача 46. В поле силы тяжести точка массой т движется по верхней половине конуса 2 = х +у . Найти а) ЗИ с, где h — константа энергии, тс —константа циклического интеграла (здесь ф —угловая циклическая координата в цилиндрических координатах (z, г, ф)) б) частоту малых колебаний в приведенной системе. [c.227]

Согласно (25) она равна по величине кинетической энергии скрытых движений (если 7 = 0). При потенциальных задаваемых силах интеграл энергии (16.14) в случае стационарных связей выражает постоянство суммы кинетической / 2 и измененной потенциальной энергии системы II—С фактом появления гироскопических сил при исключении циклических координат мы встретились уже в примере 3" п. 7.9. В механике Герца потенциальная энергия любого силового поля трактуется как кинетическая энергия скрытых движений ). [c.354]

Первые интегралы движения, особенно циклические интегралы и обобщенный интеграл энергии, широко используются в динамике голономных систем. Настоящий параграф посвящен распространению этой теории интегрирования на неголономные системы. [c.194]

Исключая из интеграла энергии системы циклические переменные, находим [c.102]

Используя циклический интеграл рф = и интеграл энергии с учетом (11.25), получим [c.345]

Мы видим, что функция Лагранжа не зависит явно от времени и, кроме того, имеются две циклические координаты — углы ф и я]). Следовательно, уравнения движения допускают три интеграла — интеграл энергии и два циклических [c.405]

Этот интеграл можно также получить из интеграла энергии системы (Ь), если исключить из него циклические скорости с помощью уравнений (10.42). В возмущенном движении полная энергия Нц будет оставаться постоянной, причем величина этой постоянной будет определяться начальным возмущением. Обозначим полную энергию в равновесном состоянии (10.45) через Н . Составим функцию [c.420]

Если кинетическая и потенциальная энергии, а следовательно, и функция Лагранжа не зависят явно от обобщенной координаты 9j, то последняя называется циклической. Уравнение Лагранжа, соответствующее /-й циклической координате, имеет первый интеграл, который также называется циклическим. Действительно, в [c.304]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Так как наличие гироскопических сил не нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е = Щ И. Если теперь в п. 225 заменить Е на Е и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами. [c.497]

Для описания условий разрушения на стадии развития трещин при циклическом нагружении получили широкое распространение критерии линейной и нелинейной механики разрушения. В упругой области или при наличии малых пластических зон в вершине трещины наиболее широко используются силовые (коэффициент интенсивности напряжений п, щ) и энергетические (энергия образования единицы свободной поверхности у или энергия продвижения трещины на единицу длины б), а в случае развитых пластических деформаций (размер пластической зоны в вершине трещины соизмерим с ее длиной) применяются деформационные (критическое раскрытие трещины, предельная деформация в вершине трещины, коэффициент интенсивности деформаций, размер пластической зоны) и энергетические (/-интеграл) критерии. [c.26]

Для циклического нагружения (рис. 9.10) вычислением интеграла ade по одному циклу показать, что диссипация энергии за один цикл прямо пропорциональна податливости потерь Jg. [c.299]

Здесь при движении неинерциальной системы величины ш и ао являются явными функциями времени, поэтому интеграла обобщенной энергии нет. Все три координаты обязательно входят в лагранжиан, если система вращается (члены второй и последний), поэтому нет и циклических интегралов момента импульса. Если бы система не вращалась, циклические интегралы импульса существовали бы при отсутствии третьего слагаемого, но тогда система была бы инерциальной. [c.198]

Интегралы уравнений Гамильтона. Из уравнений Гамильтона можно получить интегралы, аналогичные вытекающим из уравнений Лагранжа ( 22), т. е. интеграл обобщенной, или полной механической энергии, и циклические интегралы обобщенных импульсов. Так как частные производные по времени от функции Лагранжа и Гамильтона совпадают, как это видно из формулы (23.2), то условием сохранения обобщенной энергии является независимость [c.204]

Мы видим, что инвариантность функции Лагранжа при варьировании циклической координаты связана с сохранением соответствующего обобщенного импульса инвариантность при варьировании времени —с сохранением обобщенной энергии. Таким образом, показано, что инвариантность функции Лагранжа относительно некоторого преобразования переменных есть достаточное условие существования интеграла уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.238]

В рассмат1)ивасмом случае мо кно, так i o как и и первых днух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущенного движения, найти три интеграла. Два интеграла определяются сразу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ф (второй интеграл — интеграл моментов количеств движения волчка относительно оси z) [c.63]

Циклический интеграл и интеграл энергии могут быть наиисаны в форме г-ф = С, Р + г ф sin а + gr sin 2а = 2Л, [c.408]

Из ЭТГ1Х выражен[П1 видно, что координата ф циклическая (она входит в кинетическую энергию только через скорость i ) и не содержится в потенциальной энергии), а координата 0 позиционная. Составим, согласно формуле (3.11), циклически интеграл [c.89]

Дополнительно отметим, что А/-интеграл, предложенный в работе [273], является модификацией J-интеграла, разработанного Г.П. Чфепановым и Дж. Райсом [11, 121, которая получается путем замены тензора напряжения a j, тензора деформации и вектора перемещения соотвегствующими разм ами этих характеристик. Показано, что Д/ -интеграл не зависит от пути интегрирования как для упругого, так и для упруго-пластического матфиала, подвергаемого циклическому нагружению при условии, что определяющие уравнения можно записать через плотность энергии циклической деформации, т.е. [c.180]

Имеются интегралы энергии и циклический интеграл р = onst. [c.508]

Обобщенные уравнения Якоби—Уиттекера. Сравнивая условия (1.23) и (1.26), легко видеть, что оператор Хо = д/д1 удовлетворяет условиям (1.26), т. е. его можно рассматривать как оператор циклического иеремеш,ения, которому отвечает интеграл энергии. [c.15]

Среди первых интегралов движения голономных систем особое место занимают циклические интегралы и обобш енный интеграл энергии. Эти интегралы имеют часто простой физический смысл, а их отыскание при выбранной системе координат не представляет труда. [c.191]

Пример 1. Если в некоторых координатах аг],. .., лг на М лагранжиан L не зависит от х, то система М, L) допускает (локально) группу симметрий g . X - X +a, Xk- Xk k>2). Этой группе соответствует векторное поле v — dldxi. Согласно теореме 1, сохраняется величина I=p-v=pi = L . В механике координата Х называется циклической, а интеграл — циклическим интегралом. В частности, интеграл энергии является циклическим интегралом некоторой расщиренной лагранжевой системы. Для того, чтобы показать это, введем новое врем , т по формуле / = /(т) и зададим функцию L. TM- R ( М=Мх XR) формулой [c.92]

Величина dL/dqi, представляет собой обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате Если L не зависит явно от qk, то qk называется циклической координатой и из уравнения (6.49) видно, что dLldqit = onst. Очевидно также, что если L не зависит явно от t, то уравнения Лагранжа допускают интеграл энергии. В этом случае [c.214]

Так как действующая иа маятник сила тяжести иотснциал1Л1а, а координата циклическая (кинетическая энергия Т зависит от обобщенной скорости но не зависит от координаты ij), и обобщенная сила, соответствующая этой координате, равна нулю = = —ЗП/Зг1) = 0), то существуют два интеграла движения (Л и п — постоянные) [c.58]

Условия распространения трещины определяются кинетикой напряженного и деформированного состояний в вершине трещины при заданных условиях нагружения. Напряженное и деформированное состояния в вершине трещины могут быть охарактеризованы коэффициентами интенсивности напряжений К и деформаций К1е., определяемыми соответственно зависимостями (6.1) и (1.88). При этом скорость развития трещин может быть описана, как было показано ранее (см. 1.3), либо через силовые (коэффициент интенсивности напряжений ЛГ1), либо через деформационные (критическое раскрытие трещины б,., размер пластической зоны номинальная деформация е , максимальная деформация в вершине трещины ётах, Коэффициент интенсивности деформаций Ки)г либо через энергетические критерии (энергия образования единицы свободной поверхности у, энергия продвижения трещины на единицу длины С и /-интеграл). Кроме того, для описания скорости развития трещины, особенно если речь идет о циклическом нагружении, могут быть привлечены представления о предельно накопленном повреждении в вершине трещины, которое рассчитывается по соответствующим критериям, например по критериям в деформационных терминах, учитывающих накопление усталостных, квазистатических повреждений и повреждений, определяемых работой остаточных микронапряжевий (см. зависимости (6.8) и (6.10)). [c.238]

Метод J-интеграла позволяет. оценить интенсивность потока энергии в вершину трещины в процессе упругопластического деформирования в. момент страгивания трещины, когда нормальный участок излома весьма ог()аничен. Критическое значение J q ъ случаях ква-зихрупкого и вязкого разрушений характеризует энергетические затраты, связанные с увеличением поверхности разрушения. Основой для подобной методики явились классические работы Г.П, Черепанова и Дж. Райса. Образец для испытания на изгиб или внецентрен-ное растяжение с усталостной трещиной нагружается с записью диаграммы P—V до начала движения трещины, разгружается и разрушается при циклическом нагружении, После разрушения измеряют длину прироста трещины и ее площадь по излому. Полученную диаграмму планометрируют и определяют работу А, затраченную на страгивание трещины. Поток энергии в вершине трещины J подсчитывают по формуле [c.39]

Число степеней свободы в плоской задаче п планет равно 2п, если считать Солнце неподвижным. Интеграл кинетического момента позволяет исключить одну циклическую координату, однако остается еще слишком много переменных, чтобы инвариантные торы делили многообразие уровня энергии (даже если планет всего две, это многообразие пятимерное, а торы трехдгерные). Поэтому в рассматриваемой задаче не удается сделать выводы о сохранении больших полуосей в течение бесконечного интервала времени для всех начальных условий, но только для большинства. [c.383]

Явное интегрирование случая Эйлера легко получается с помощью переменных Андуайе-Депри, в которых интеграл (2.1) является циклическим (см. подробнее 3, гл. 1, где также приведен фазовый портрет случая Эйлера). Приведем явные выражения для моментов М в одной из четырех областей, разделенных сепаратрисами, на эллипсоиде энергии (см. рис. 14), [c.96]

Отсюда видно, что ф — циклическая координата. Следовательно, уравнения Лагранжа обладают не только интегралом энергии, но и интегралом = onst. В соответствии с (3) оба эти интеграла записываются в виде [c.183]

В случае циклических координат и интеграла pj = onst, как бьшо подчеркнуто в этой главе, энергия системы Н- H(pJ). Такая система была рассмотрена выше (см., (2.48) - (2.51)). [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...