Первый интеграл энергии

Таким образом, условию инвариантности по отношению к группе врагцений удовлетворяют два первых интеграла энергия Е и квадратура К. [c.172]

Решение. Полная энергия Е — ). Из графика потенциальной энергии видно, что имеем две точки поворота х = О и X = Л. Частица начинает смещаться в отрицательном направлении оси х. Поэтому из первого интеграла энергии получим уравнение [c.31]

Таким образом, при движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной, что является законом сохранения механической энергии для точки, который и есть первый интеграл дифференциальных уравнений движения точки. [c.351]

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости. [c.234]

В предыдущих главах мы уже встречались с понятием первого интеграла уравнений движения. Роль таких первых интегралов играли различные функции, которые во время движения не изменяются в силу законов сохранения — закона сохранения количества движения (импульса), закона сохранения момента количества движения (кинетического момента системы), закона сохранения механической энергии и т. д. Формулы, выражающие [c.265]

Прежде чем приступить ко всему этому, сделаем одно общее замечание. При движении консервативной системы заведомо известен один первый интеграл — интеграл энергии. Это дает возможность понизить порядок системы уравнений на единицу. Но мы уже видели при использовании циклических координат (см. 3 этой главы), что в системе, имеющей г циклических координат, порядок системы уравнений можно понизить на 2л и независимо выписать г квадратур. [c.326]

Если внешние силы, приложенные к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек твердого тела, то можно получить первый интеграл динамических уравнений Эйлера, применяя теорему об изменении кинетической энергии системы, материальных то- [c.542]

Для получения из теоремы об изменении кинетической энергии первого интеграла уравнений движения надо, очевидно, найти класс сил, работу которых можно вычислить, не зная закона движения точки, на которую действует сила. Из вида правой части равенства (27) следует, что к такого рода силам могут относиться так называемые позиционные силы, т. е. силы, зависящие только от координат точки, для которых F=F x, у, z) или [c.334]

Теорема 3.7.9. (Интеграл энергии). Если сила, действующая на материальную точку, потенциальна с силовой функцией Г/(г), то уравнения движения допускают первый интеграл (интеграл энергии) [c.195]

Оно имеет первый интеграл типа интеграла энергии [c.215]

Теорема 5.1.8. (Интеграл энергии). Пусть активные силы потенциальны с силовой функцией (7(г1,..., гуу), связи идеальны, и дифференциал действительного перемещения принадлежит множеству виртуальных в любой момент времени. Тогда имеет место первый интеграл (интеграл энергии) [c.391]

Сила тяжести потенциальна, а ее момент относительно вертикальной оси равен нулю. Следовательно, имеем два первых интеграла уравнений движения — интеграл энергии и интеграл площадей относительно оси ез [c.489]

Если функция Я не содержит явно координату 91, то д р/дуг О, и р — с есть первый интеграл, аналогичный интегралу энергии в исходной системе. Если, кроме того, [c.667]

Показать, что система канонических уравнений Гамильтона для сферического маятника (см. 3.12) допускает первый интеграл, отличный от интеграла энергии. Каков физический смысл этого интеграла [c.702]

Это соотношение представляет собой первый интеграл или интеграл энергии дифференциального уравнения (125.41). [c.184]

Это соотношение [первый интеграл системы (2)], в котором постоянная обозначена 2/г, выражает закон сохранения механической энергии Т -)- Я = /г, где потенциальная энергия Я — постоянная величина, принята равной нулю. [c.464]

Это соотношение [первый интеграл системы (21)], в котором постоянная обозначена 2h, выражает закон сохранения механической энергии Т П = 1, где П — потенциальная энергия — постоянная, принятая равной нулю. [c.484]

Соотношение (IV. 131) устанавливает определенную зависимость между координатами материальной точки, ее скоростью и постоянной Л. Постоянная 1г определяется из начальных условий. На основании определения первого интеграла дш )ференциальных уравнений движения ( 189) можно утверждать, что соотношение (IV. 131) является одним из первых интегралов дифференциальных уравнений движения материальной точки. Этот интеграл называется интегралом энергии. [c.379]

При движении точки в поле центральной силы можно найти четыре первых инте] рала дгк х )еренциальных уравне]Н1Й движения три интеграла площадей н интеграл энергии. [c.392]

Можно непосредственно найти один первый интеграл уравнения (11.224), а именно — интеграл энергии [c.275]

На основании теорем об изменении кинетического момента и изменении кинетической энергии мы получим четыре независимых первых интеграла уравнений движения это три интеграла площадей [c.415]

Составим еще один первый интеграл — интеграл энергии [c.404]

Для решения задачи достаточно записать три первых интеграла закон сохранения полной энергии [c.65]

Этот первый интеграл уравнений движения системы материальных точек называется интегралом живых сил. Величина h = =Т — U=T+V представляет собой полную механическую энергию системы. [c.354]

Первый интеграл представляет собой энергию U , а второй — U [c.210]

Если кинетическая и потенциальная энергии, а следовательно, и функция Лагранжа не зависят явно от обобщенной координаты 9j, то последняя называется циклической. Уравнение Лагранжа, соответствующее /-й циклической координате, имеет первый интеграл, который также называется циклическим. Действительно, в [c.304]

Первый интеграл представляет собой сумму кинетических энергий всех элементарных струек, пронизывающих площадь живого се- [c.87]

Первый интеграл в скобках представляет потенциальную энергию деформации, а второй — потенциальную энергию внешних объемных сил, действующих ца тело, если принять потенциал этих сил равным нулю при п = и = и = 0. Таким образом, все выражение в скобках есть полная потенциаль- ная энергия системы, а выражение (2.20) указывает, что в случае равновесия тела возможные перемещения должны быть такими, чтобы полная потенциальная энергия системы имела экстремальное значение. Если равновесие устойчивое, то потенциальная энергия системы будет минимальной. [c.46]

При ЭТОМ все внутренние и внешние силы считаются неизменными. Первый интеграл представляет собой потенциальную энергию упругого тела, второй — работу массовых сил и третий — работу сил, приложенных к поверхности тела. [c.192]

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какой-либо оси расстояние между точками системы не меняется, не меняется и потенциальная энергия системы, а значит, и функция Лагранжа. Очевидно, преобразование (80) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Таким образом, все условия, которые теорема Нётер накладывает на однопараметрическое семейство преобразований, выполнены. В силу этой теоремы имеет место первый интеграл (69). В данном случае все d fi/da для координат у и г, так же как и д 1да, равны нулю, а функции ф, для координат х таковы, что дц>11да—. Поэтому в формуле (69) член, содержащий гамильтониан, обращается в нуль, а оставшаяся в правой части [c.291]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Пусть I = ОМ (рис. 367) — радиус сферы, по которой движется точка (длина нити). Направим из центра О сферы вертикально вниз ось Ог и будем определять положение маятника сферическими координатами ф и 0, где ф — угол отклонения радиуса ОМ от вертикали, а 0—угол между вертикальными плоскостями MOz и xOz. На маятник М действуют сила тяжести mg и реакция сферы (или натяжение нити) /V. Для составлершя уравнений движения воспользуемся первыми интегралами энергии и площадей. Так как сила mg потенциальная, а связь идеальная и склерономная, то имеет место интеграл энергии (42) [c.427]

Пусть голономные связи, стесняющие систему материальных точек, зависят явно от времени, но кинетическая энергия Т от времени явно не зависит. Пусть, кроме того, активные силы, действующие на систему, обладают силовой функцией [/, зависящей только от лагранж.евых координат. Тогда уравнения Лагранжа допускают первый интеграл [c.545]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Характеристическая функция 5 удовлетворяет уравнению с частными производными первого порядка. Это уравнение можно составить на основании соотношений (II. 373) и интеграла энергии (а) или уравнений (11.367) и (И.371Ь). Получим [c.374]

В рассмат1)ивасмом случае мо кно, так i o как и и первых днух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущенного движения, найти три интеграла. Два интеграла определяются сразу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ф (второй интеграл — интеграл моментов количеств движения волчка относительно оси z) [c.63]

Здесь первый интеграл — средняя потенциальная энергия электрона 2 атома В в поле ядра А, а второй — средняя потенциальная энергия электрона 1 атома А в поле ядра В, третий интеграл — средняя потенциальная энесгия взаимодействия электронов 1 и 2, находящихся в разных атомах. Итак, К — средняя потенциальная энергия электростатического взаимодействия атомов (кроме энергии ранее учтенного взаимодействия ядер). Укажем, что К (а также А) зависит от расстояния между ядрами. Второй интеграл можно записать в виде [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...