Обобщенный интеграл энергии. Функция Гамильтона

Уравнения Уиттекера и Якоби. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями (12). Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл энергии [c.289]

Уравнения движения точки Р могут быть записаны в форме канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии — интеграл Якоби [c.326]

Рассмотрим решение некоторых простых задач методом Гамильтона — Якоби. Ограничимся обобщенно-консервативными системами-системами, функция Гамильтона которых не зависит явно от времени и, следовательно, уравнения движения допускают обобщенный интеграл энергии. [c.330]

Если мы предположим теперь, что функция Гамильтона не зависи явно от t, то непосредственно найдем, что для канонической системы существует интеграл (6), который можно также называть обобщенным интегралом энергии. [c.245]

Функция Лагранжа не зависит явно от времени, следовательно, функция Гамильтона также не будет зависеть от времени. При этих условиях функция Я будет равна (Т+У), т. е. полной механической энергии системы. Если в выражении кинетической энергии обобщенные скорости г и ф заменим обобщенными импульсами Ри р2, то мы получим первый интеграл канонической системы. [c.516]

Мы видим, что энергия свободного электромагнитного поля представляется в виде суммы энергий отдельных (парциальных) монохроматических волн, — интерференционные члены отсут-ствуют — причем для каждо парциальной волны получается в точности то же самое выражение (1.40.2), которое мы получили в механике для осциллятора (единичной массы). Если принять (ср. 1.20.) амплитуды (к) за обобщенные координаты поля, то обобщенными импульсами окажутся (с точностью до множителя I) аа(к), а (65) станет функцией Гамильтона, поэтому распадение (65) в сумму (интеграл) функций Гамильтона для парциальных степеней свободы означает, что движение каждой степени свободы происходит независимо от остальных. В этом смысле часто говорят о разложении поля на независимые осцилляторы. [c.235]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

Интегралы уравнений Гамильтона. Из уравнений Гамильтона можно получить интегралы, аналогичные вытекающим из уравнений Лагранжа ( 22), т. е. интеграл обобщенной, или полной механической энергии, и циклические интегралы обобщенных импульсов. Так как частные производные по времени от функции Лагранжа и Гамильтона совпадают, как это видно из формулы (23.2), то условием сохранения обобщенной энергии является независимость [c.204]

Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона Н не зависит явно от времени. Тогда, отбрасывая в уравнениях (40) последнюю дробь, содержащую dt получим систему из 2п — 1 уравнений, которая по-прежнему имеет множитель М = 1. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать 2п — 2 первых интеграла. Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии Н = h = onst (см. п. 151). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще 2п — 3 первых интеграла. Если, например, п = 2, то кроме интеграла энергии Н = h достаточно найти еще только один первый интеграл. [c.325]

Изоэнергетическое варьирование. Рассмотрим голоном-ную консервативную или обобщенно консервативную систему. Ее функция Гамильтона не зависит от времени, и существует обобщенный интеграл энергии [c.482]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Уравнения (6) называются уравнениями Гамильтона, а переменные р — обобщенными моментами . Пара переменных Рг, qi есть пара сопряженных переменных. Кроме того следует отметить, что гамильтонова главная функция Н не что иное, как полная энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и моменты. Из канонических уравпепий (6) сразу же следует интеграл эпергии Н = onst. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...