Интеграл Лагранжа энергии

Для проведения дальнейших преобразований используем интеграл механической энергии Лагранжа [c.129]

Этот частный случай интеграла Лагранжа называется интегралом Эйлера (1755 г.). Он выражает тот факт, чю при потенциальном, установившемся движении полная энергия единицы объема есть величина, постоянная для всех точек в потоке. [c.286]

Гидродинамики несжимаемой невязкой жидкости 351 Уравнения несжимаемой невязкой жидкости (351). Интегралы уравнения несжимаемой невязкой жидкости (353). Интеграл Лагранжа (354). Интегралы Громеки (354). Интегралы Бернулли (354). Движение невязких баротропных жидкостей (357). Первая теорема Лагранжа (358). Вторая теорема Лагранжа (358). Теорема об изменении кинетической энергии (359). Безвихревые движения (360). Физический смысл функции потенциала скорости (361). Интеграл уравнения движения (362). Плоские безвихревые потоки (363). Теорема Жуковского (367). [c.9]

Этот частный вид уравнения Лагранжа называется уравнением Эйлера. Оно выражает закономерность, в соответствии с которой прк потенциальном установившемся движении газа полная энергия единицы массы является велл чиной постоянной для всех точек потока. Таким образом, константа в уравнении Эйлера будет не только одинаковой для всей области потока, но в отличие от функции С(/) интеграла Лагранжа не зависящей от времени. [c.129]

Таков один из первых интегралов уравнений Лагранжа, или интеграл обобщенной энергии. [c.195]

Из формулы для лагранжиана видно, что если система отсчета движется с постоянным ускорением и вращается с постоянной скоростью, то существует только интеграл обобщенной энергии [c.198]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Таким образом, поставленная задача полностью решена —при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147). [c.330]

Метод Уиттекера позволяет с помощью обобщенного интеграла энергии понизить порядок системы (4.4) на две единицы. Пусть рассматриваемая голономная система будет консервативной. Это значит, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, т. е. [c.103]

Из уравнения (2.15) непосредственно видно, что величина Ь не влияет на динамику маятника. Фазовым пространством рассматриваемой системы является цилиндр с координатами е, б (О == 0 < 2л). Поскольку функция Лагранжа L не зависит явно от времени, имеет место обобщенный интеграл энергии [c.30]

Следствие 8.4.3. Если функция Лагранжа не зависит явно от времени, а силы, не обладающие силовой функцией, являются гироскопическими или отсутствуют, то имеет место обобщенный интеграл энергии Якоби [c.556]

Если, кроме того, функция Лагранжа не зависит явно от времени, то для этой системы справедлив обобщенный интеграл энергии (следствие 8.4.3). Покажем, что этот интеграл можно интерпретировать как циклический. [c.559]

После исключения в функции К производной Г при помощи интеграла энергии получим систему уравнений Лагранжа [c.616]

Если рассматривать подынтегральное выражение в (37,8) как функцию Лагранжа одномерной механической системы (причем играет роль обобщенной координаты, ф — роль времени), то (37,12) есть интеграл энергии. [c.199]

Уравнение (3.3) называется интегралом Лагранжа. Этот интеграл устанавливает, что в потенциальном потоке полная энергия единицы массы в данный момент времени есть величина, одинаковая для всех точек потока. [c.81]

Если кинетическая и потенциальная энергии, а следовательно, и функция Лагранжа не зависят явно от обобщенной координаты 9j, то последняя называется циклической. Уравнение Лагранжа, соответствующее /-й циклической координате, имеет первый интеграл, который также называется циклическим. Действительно, в [c.304]

Так как интеграл энергии является следствием уравнений Лагранжа, то можно упростить интегрирование последних, заменив наиболее сложное из них интегралом энергии. [c.285]

Мы видим, что функции Т i Ti, и н Ui тождественны. Но вместе с тем уравнения движения различны, так как ко второй системе применимы уравнения Лагранжа, а к первой системе уравнений Лагранжа применить нельзя. Это то, что мы желали показать. Можно заметить, что из трех уравнений движения два уравнения могут быть приведены к одной форме для обеих систем. Действительно, интеграл энергии будет, очевидно, одним и тем же для обеих систем. Кроме того, для первой системы мы имеем право написать уравнение Лагранжа относительно 0 (п. 464), что, очевидно, можно сделать и для второй системы. Но третьи уравнения будут различны для обеих систем для второй системы имеет место интеграл г = Гд, который не существует для первой. [c.343]

Действительно, примем прямую Ог за координатную ось тогда U=f 6) и, написав интеграл энергии и уравнения Лагранжа относительно (риф, мы увидим, что они приводятся к квадратурам. [c.359]

Заметим, что при доказательстве теоремы Лагранжа для консервативной системы используется интеграл энергии Е. [c.209]

Резюме. При помощи интегрирования по времени виртуальная работа сил инерции может быть преобразована в истинную вариацию. Таким образом, принцип Даламбера может быть математически переформулирован в принцип Гамильтона последний требует стационарности определенного интеграла, взятого по времени, от функции Лагранжа L, где L — разность между кинетической и потенциальной энергиями. Варьирование должно производиться при фиксированных граничных положениях системы (н фиксированном интервале времени). [c.140]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Потенциальная энергия. Вернемся к функции Лагранжа ньютоновой физики L = Т — V. Мы уже знаем, как нужно модифицировать кинетическую энергию Т, чтобы привести ее в соответствие с принципами теории относительности. Рассмотрим теперь вариационный интеграл, связанный с потенциальной энергией V. [c.362]

Интеграл энергии. Другой тип первого интеграла имеет место для тех лагранжевых систем (50), для которых функция Лагранжа не зависит от времени. [c.299]

Таким образом, в результате вычислений мы видим, что из трех слагаемых, из которых состоит Г, линейное слагаемое относительно q, т. е. T , не входит в интеграл энергии, но зато оно явно входит в функцию Лагранжа —Т—U и поэтому влияет на уравнения Лагранжа. [c.301]

Последнюю величину можно также отождествить с полной энергией системы, рассматривая криволинейный интеграл от силы по траектории материальной точки, как это делалось в гл. И. В этом случае равенство величин Н и Е происходит частично благодаря, по-видимому, случайному сокращению членов, относящихся к векторному потенциалу. Можно далее усмотреть, что входящие в функцию Лагранжа члены потенциала, зависящие от скорости, образуют линейную однородную функцию от компонент скорости. Если эти члены обозначить через то из [c.65]

Введенные канонически сопряженные переменные Д, /25 wi, W2, W3 называются каноническими переменными Делонэ или кратко, элементами Делонэ. Следуя Делонэ, для них часто используются обозначения G, L, /г, g, I (не путать обозначения L, h элементов Делонэ с обозначениями функций Гамильтона, Лагранжа и константы интеграла энергии ). Элементы Делонэ связаны с обычными элементами орбиты П, г, а, е, j, т следующими получаемыми из (68)-(72) соотношениями [c.386]

Так как наличие гироскопических сил не нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е = Щ И. Если теперь в п. 225 заменить Е на Е и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами. [c.497]

Проверим непосредственно, что интеграл кинетической энергии действительно является следствием уравнений Лагранжа. Остановимся лищь на более простом случае, когда х, у, г, выраженные через q , q2, q , не содержат явно t. В этом случае для х, у, z получатся выражения вида [c.450]

Инерциальная частица 34 Интеграл Лагранжа 62 энергии 47, 64 Интегралы скоростей 59 Интегрируемость локальная 255 Интегрируемые системы 255 Интранзитивность 209 [c.405]

Уравнения спинорного поля и выражение для 5-тензора энергии, импульса и заряда мы получим по общим формулам 37 из инвариантно1 р интеграла Лагранжа [c.140]

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какой-либо оси расстояние между точками системы не меняется, не меняется и потенциальная энергия системы, а значит, и функция Лагранжа. Очевидно, преобразование (80) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Таким образом, все условия, которые теорема Нётер накладывает на однопараметрическое семейство преобразований, выполнены. В силу этой теоремы имеет место первый интеграл (69). В данном случае все d fi/da для координат у и г, так же как и д 1да, равны нулю, а функции ф, для координат х таковы, что дц>11да—. Поэтому в формуле (69) член, содержащий гамильтониан, обращается в нуль, а оставшаяся в правой части [c.291]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

Пусть голономные связи, стесняющие систему материальных точек, зависят явно от времени, но кинетическая энергия Т от времени явно не зависит. Пусть, кроме того, активные силы, действующие на систему, обладают силовой функцией [/, зависящей только от лагранж.евых координат. Тогда уравнения Лагранжа допускают первый интеграл [c.545]

Чтобы прийти к принципу Эйлера — Лагранжа, исключим время из равенства (11.147), использовав интеграл энергии (а). Это избавляет от усложнений, связанных с введением иеизо-хронных вариаций. Заметим, что в случае стационарных связей [c.202]

Доказательство. При стационарнолг движении исходной системы приведенная система на.ходится в покое. Кроме того, для этой системы имеет место интеграл энергии (3.23). Поэтому для доказательства теоремы Рауса достаточно повторить доказательство теоремы Лагранжа, [c.87]

Поскольку dLldt = 0, то имеет место интеграл энергии. Уравнение Лагранжа [c.79]

Резюме. Для склерономных систем уравнения движения Лагранжа дают первый интеграл в форме 2Pi i — L Е. Это уравнение можно интерпретировать как закон сохранения энергии, если определить левую часть уравнения как полную энергию системы. Для обычных задач классической механики сумма Hpiqi равна удвоенной кинетической энергии в этом случае теорема о сохранении энергии принимает форму Т + V = Е. [c.150]

В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голо-номной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические члены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле. [c.414]

Так как интеграл энергии Е = Т И = onst существует и при гироскопических силах (в отсутствие диссипативных сил см. п. 142), то приведенное выше доказательство теоремы Лагранжа остается без изменений и при наличии гироскопических сил. Если же существуют диссипативные силы (или диссипативные и гироскопические силы одновременно), то, согласно п. 142, [c.492]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...