Квадратичный треугольный элемент

Рис. 71. Квадратичный треугольный элемент а — расположение точки (/, 4) б — координаты узлов

Вычислить якобиан отображения (х, y) ->- Li, L ) в точке (1,4) для квадратичного треугольного элемента (рис. 71, а). [c.227]

Фиг. 1.6. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью квадратичного треугольного элемента.

Каждому типу треугольных элементов соответствует интерполяционный полином определенного порядка. Квадратичный треугольный элемент, например, содержит шесть узлов (фиг. 14.1,6) интерполяционный полином для него имеет вид [c.270]

Требуется вычислить дЫ дх в точке (1,4) для квадратичного треугольного элемента, показанного ниже. [c.276]

Квадратичный треугольный элемент [c.67]

Перейдем к рассмотрению квадратичного треугольного элемента, схема которого по-а на рис. 3.4. В отличие от линейного треугольного элемента, элемент данного тнпа 6 узлов 3 узла расположены по углам элемен- [c.67]

Рис. 63. Семейство треугольных элементов а — линейный б — квадратичный в — кубичный

Поверхность тела представляется при помощи четырехугольных и треугольных элементов с квадратичным изменением формы и линейным, квадратичным или кубическим изменением перемещения и вектора напряжений относительно внутренней системы координат. Тело разбивается на подобласти производится дискретизация интегрального уравнения для каждой подобласти, и получается система уравнений ленточного типа. Для вычисления интегралов используется квадратурная формула Гаусса, число узлов в которой выбирается на основании верхней оценки для ошибки, определенной по значениям производных от подынтегральных выражений. Масштаб коэффициентов в уравнениях выбирается таким образом, чтобы получить устойчивую при счете систему, разрешимую методом исключения без итерации остатков. Поблочное решение уравнений позволяет рассматривать большие задачи. В программе используется большое число процедур, осуществляющих контроль и автоматическое формирование данных. Результаты решения задачи о фланце трубопровода и характеристики выполнения программы сравниваются с результатами, полученными методом конечных элементов, и экспериментальными результатами. [c.111]

На рис. 48, а показана простая тонкостенная конструкция открытого профиля, находящаяся под действием кососимметричной нагрузки Р, что характерно для автомобильных конструкций. Жесткость и прочность этой конструкции в основном определяют изгибом боковых панелей, которые находятся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 48,6). На рис. 49, а приведена консольная балка толщиной t, к свободному концу А которой приложена сила Р. Нагружение балки в этом случае аналогично нагружению боковой панели рассматриваемой конструкции. Балка моделировалась элементами четырех типов [11], На рис. 50, а представлены результаты численного эксперимента по определению прогиба свободного конца балки уа в зависимости от числа степеней свободы при идеализации балки треугольными элементами с постоянной деформацией (кривая 1) и линейной деформацией (кривая 2). Треугольный элемент с постоянными деформациями, что равнозначно постоянству напряжений, построен на описании поля перемещений полным линейным полиномом. Этот элемент часто называют С5Г-элементом [11], или симплекс-элементом [20]. Представление поля перемещений элемента полным квадратичным полиномом приводит к линейным распределениям деформаций или напряжений. Такой элемент обычно называют 57 -элемен-том [11], или комплекс-элементом [20]. Как видно из рис. 50, а, характеристики сходимости для треугольных элементов не очень [c.76]

Другие решения, полученные при использовании треугольных элементов с квадратичным распределением деформаций, не дают существенного улучшения по сравнению с треугольным элементом с линейной деформацией [И]. [c.77]

Рис. 3.4. Треугольный элемент для квадратичной интерполяционной функции

При расчетах использовался треугольный элемент с линейной, квадратичной и кубической интерполяционными функциями. На рис. 3.9 результаты сравниваются с решением, полученным методом конечных разностей. Величина I есть расстояние между узлами. Отметим, что полная длина области равна 1. Результаты представляют собой ошибку в определении температуры и в точке X = 1. Точное значение и в этой точке, получаемое при интегрировании уравнения (3.45) с граничными условиями (3.46), равно 0,1429. [c.110]

На основе полного квадратичного полинома по и 2 составьте уравнения, связывающие параметры а с неизвестными щ, и проверьте, удовлетворяет ли выражение (3.28) всем требованиям непрерывности для треугольного элемента. [c.131]

Фиг. 14.1. Линейный (а), квадратичный (б), кубичный (в) треугольные элементы.

Фиг. 14.3. Функции формы для линейного (а), квадратичного (б) и кубичного (в) треугольных элементов.

Функции формы для линейного, квадратичного и кубичного треугольных элементов приведены на фиг. 14.3. Определение этих функций иллюстрируется на следующих примерах. [c.273]

В этом разделе рассматриваются плоско-напряженные треугольные элементы, построенные в предположении, что поля перемещений представлены соответственно полными линейными, квадратичными [c.270]

Рис. 9.3. Сравнение альтернативных форм задания степеней свободы, (а) Объединение двух треугольных элементов с квадратичной деформацией (Ь) производные в качестве узловых степеней свободы.

Рис. 9.10. Пластины при распределенной по краю в виде квадратичной функции нагрузке. Сравнение результатов для треугольных элементов.

Вычислите энергетически эквивалентные нагрузки для квадратичного закона распределения напряжений и сетки конечных элементов, указанной на рис. 9.10. Предположите, что в треугольных элементах деформации постоянны, а не меняются по линейному закону. [c.302]

Рис. 12.14. Сравнение численных результатов смешанные и гибридные треугольные элементы. / — смешанная формулировка [12.6], линейное да, постоянный М 2 — смешанная формулировка [ 2.45], квадратичное да, линейный /И 3—гибридная формулировка для предполагаемых полей напряжений [12.48], линейное

В другом методе получения С -аппроксимирующей функции на треугольной сетке берется С°-аппроксимирующая функция из (4.10) и к ней добавляются корректирующие члены, которые повышают гладкость функции до С. Эти корректирующие функции должны обращаться в нуль на периметре треугольника и сводить нормальную производную функции вдоль сторон треугольника от квадратичной к линейной функции, разумеется, без потери непрерывности функции и ее первых производных внутри треугольного элемента. [c.86]

Квадратичные изопараметрические треугольные элементы могут быть представлены в виде (упражнение 9) [c.132]

При использовании криволинейных изопараметрических элементов важно помнить о тех строгих ограничениях, при которых справедливы оценки (5.53) и (5.54). Даже когда только одна сторона треугольного элемента заменяется отрезком квадратичной кривой, элемент будет близким к треугольному с прямолинейными сторонами только с точностью О(А ).Если криволинейная граница будет кубическим полиномом, то ограничения на элемент будут даже более строгими — детали изложены в разд. 5.3 на с. 132. [c.153]

В качестве следующего примера применения кусочного тестирования рассмотрим задачу четвертого порядка, определяемую на квадратной области бигармоническим уравнением и заданием решения и его нормальной производной на границе. Разобьем квадрат обычным образом на прямоугольные треугольники равной площади и снова рассмотрим часть элементов в виде единичного квадрата, состоящего из двух треугольных элементов (рис. 30). Для бигармонического уравнения энергетический функционал содержит вторые производные, и поэтому г = 2. На каждом треугольнике определим квадратичную функцию по ее значениям в вершинах треугольника и по значениям ее нормальной производной в серединах [c.183]

Упражнение 2. Покажите, что треугольный элемент, на котором полная квадратичная функция определяется своими значениями в вершинах и в серединах сторон, не выдерживает кусочного тестирования для задачи четвертого порядка, описанной выше. [c.185]

Фланцы вне зоны контакта схематизировались по толщине тремя изо-параметрическими прямоугольными кольцевыми элементами с 8 узловыми точками и соответствующим квадратичным по координатам полем перемещений. В зоне контакта сетка измельчалась с применением треугольных элементов. При этом учитьшались различные свойства материала колец фланцев и прокладки, в том числе пластические. [c.154]

Рекомендуется использовать для разбиения треугольные элементы с квадратичной аппроксимацией (Paraboli Elements), поскольку точность линейных треугольных элементов существенно ниже. [c.206]

На рис. 8.28 показана трехмерная дискретизация конечными элементами геометрии четверти краевой прорези с отверстием для охлаждения, выполненная с использованием восьми узловых изо-параметрических элементов. Это привело к очень грубому моделированию задачи и потребовало 1.5 ч времени для расчета на ЭВМ IBM 370/168. Для того чтобы получить более детальное представление о поведении решения в краевой прорези и отверстии для охлаждения, были проведены дискретизации МГЭ (рис. 8.29) области AB D (рис. 8.28). В первой из них использовались 436 плоских треугольных элементов с линейными изменениями на них сил и смещений (BINTEQ), в то время как во второй — 97 изо-параметрических поверхностных элементов с квадратичными изменениями (BASQUE). Смещения, полученные методом конечных элементов, были использованы в качестве граничных условий на верхней и нижней поверхностях моделей МГЭ. [c.239]

Однако решения методом конечных элементов для сплошных конструкций, таких, как тонкая пластина, изображенная на рис. 2.4 (е), пространственное деформируемое тело, изгибаемая пластина и оболочка, не являются точными. Для иллюстрации этого утверждения предположим, что треугольные элементы, изображенные на рис. 2.4 (ё), построены в предположении, что для поля перемещений вдоль сторон элемента имеет место квадратичный закон распределения. На рис. 2.5(а) изображено деформированное состояние двух выбранных элементов. Если соединить элементы, как указано выше, то, вообще говоря, будет нарушена непрерывность перемещений вдоль линии, соединяющей два элемента (см. рис. 2.5 (Ь)). Соединения в вершинах элементов обеспечивают непрерывность только в этих точках. Квадратичная функция однозначно определяется по трем точкам, а так как только две концевые точки соприкасающихся сторон участвуют в определении формы смещений вдоль ребра, перемещения краев элементов будут различаться, за исключением некоторых частных случаев. Если псполь-зовать большее количество элементов, как указано на рис. 2.5(с), то различие в смещениях на сторонах соседних элементов станет меньше и вызванная указанным обстоятельством погрешность решения также уменьшится. Эта ошибка конечна для любого конечного числа элементов, поэтому решение является приближенным. [c.43]

В разд. 2.3 было указано, что часто бывает полезно задать массив коэффициентов жесткости в безразмерной форме. Как видно из рис. 5.4, каждый член матрицы жесткости треугольного элемента содержит произведение (либо квадратичную функцию) линейных размеров элемента, а константа, на которую умножается матрица,— такое же произведение (Хцуа) в знаменателе. Следовательно, внося указанную константу в матрицу, получим набор безразмерных коэффициентов жесткости, причем каждый отдельный коэффициент включает отношения размеров элемента, например г/з/ха. [c.139]

Рис. У.2. Возможные виды треугольных элементов (а) треугольный с постоянным значением деформации (СЗТ-элемент) (Ь) треугольный с линейной деформацией (Ь5Т-элемент) (с) образованный из четырех треугольников с узлами на серединах сторон ((1) десятиузловой треугольный с квадратичной деформацией (РЗТ-элемеит) (е) треугольный с квадратичной деформацией, включающий производные в качестве степеней свободы.

По мере усложнения следующим элементом является изображенный на рис. 9.2(Ь) шестиузловой треугольный элемент, построение которого основано на задании полных квадратичных полиномов для перемещений и и. Так же как в разд. 8.5, имеем [c.271]

Квадратичное поле перемещений приводит к линейным распределениям деформаций (или напряжений) в треугольном элементе, такой элемент обычно называется LST-элементом. Может показаться, что объединение четырех ST-элементов, как показано на рис. 9.2(с), приведет к тому же результату, что и один LST-элемент. Однако Ь8Т-э 1емент определяет непрерывное (линейное) напряженное состояние внутри элемента, а совокупность ST-элементов дает четыре различных постоянных значения каждой компоненты напряжения. [c.272]

В этом случае видно, что использование ST-элементов не позволяет достичь приемлемой точности для числа степеней свободы, не превышающих 200. Результаты для LST-элементов значительнс лучше, чем для ST-элементов, однако характеристики сходимос ти здесь значительно хуже, чем в предыдущем примере. Резуль таты экспериментов, приведенные в [9.3, 9.16], подтверждают ска занное. Другие численные решения показывают, что улучшение ре зультатов, полученное при использовании треугольных элементе с квадратичным распределением деформаций в них, по сравненик с треугольными элементами с линейной деформацией не очень велико. [c.288]

Рис. 12.9. сравнение численных результатов треугольные элементы с единственным полем. 1 шестичленный (квадратичный) полином [12.27] 2 — несогласованные поля [12.25] 3 — двадцатиодночленный полином (пятой степени) [12.34] 4 — десятичлениый (кубический) полином с ограничениями [12.28 ] 5 — десяти-членный (кубический) полином с корректирующей матрицей [12.17] 6 — Разак (А-9) [12.26] 7 — согласованные поля [12.25]. Размер сетки взят из рис. 12.6, [c.366]

Работа [12.38] послужила толчком к построению матриц жесткости треугольных элементов для расчета изгиба пластин на базе метода разбиения на подобласти, в котором элемент разбивается на треугольные подэлементы. Эти авторы использовали неполный (девятичленный) кубический полином в каждом из трех подэлементов, выбирая систему координат в каждом подэлементе так, чтобы не возникли трудности из-за отсутствия геометрической изотропии, и в том виде, чтобы обеспечить квадратичный характер изменения [c.367]

По-видимому, простейшей формулировкой в методе разбиения на подобласти для треугольных элементов является СРТ-элемент, реализованный в программе 8ТРиОЬ-П [12.39]. Как изображено на рис. 12.10(Ь), этот элемент состоит из двух треугольников. Предполагается, что перемещения в областях а н Ь задаются кубическими разложениями. Чтобы обеспечить непрерывность нормальных производных вдоль стороны 1—2, для которой ди>1дп=д1 )1ду, исключают члены, содержащие х у. (Если эти члены сохранить, то нормальная производная будет квадратичной функцией от х.) Кроме того, чтобы обеспечить непрерывность ю и нормальных производных дии1дп=дии1дх на границе областей а ц Ь, можно приравнять в соответствующих разложениях свободные члены и коэффициенты, стоящие перед линейными выражениями, содержащими величину у в произвольной степени. Так, для разложений в соответствующих областях имеем [c.370]

Фиг. 18,20, Характеристика различных элементов при упругопластическом расчете плоского напряженного состояния образца с выточками. Пластическая зона а — треугольный элемент <7 а==и186 и 1,226 б—линейный четырехугольник, а /а=1,18б и 1,226 в—квадратичный четырехугольник, кубичный четырехугольник, а /а=в1,18б (о —среднее напряжение в выточке, д—одноосное напряжение текучести, идеальная пластичность).

Следовательно, конечноэлементная аппроксимация с такой интерполяцией граничных условий остается оптимальной до тех пор, пока ошибка возмущения будет более высокого порядка (по Л), чем ошибка аппроксимации. Скотт (1975) и Чернука, Купер, Линдберг и Олсон (1972) предложили для треугольных элементов с криволинейными границами квадратурные формулы, сохраняющие порядок для кусочных квадратичных аппроксимаций. Такие аппроксимации изучались также Бергером (1973) с целью получения оценки ошибки в терминах нормы пространства 2 г(/ Ь он также проводил численную проверку порядков (1972). В противоположность интерполяции граничных данных по конечному числу значений можно строить аппроксимацию, точно воспроизводя их вдоль всей границы, если использовать смешанные функциональные интерполянты (Гордон и Уиксом, 1974). Некоторые сведения О смешанных функциях будут изложены в разд. 7.3, [c.146]

В заключение отметим, что применение квадратичных треугольных илн чегырех-угольных элементов с шестью или восемью узлами соответственно позволяют моделировал, тела с криволинейной границей, что повышает точность результатов моделирования. [c.69]

Ответ. Когда речь идет о точности результатов, связанной с особенностями МКЭ, то не. обходимо иметь в виду следующее упорядоченная сетка (б) более предпочппельна, чек неупорядоченная сетка (в) прямоугольные 4-узловые элементы (в) более предпочти, тельны по сравнению с треугольными элементами (б) квадратичные треугольные элемен. ты (элементы второго порядка) (г) имеют, по крайней мере, ту же самую точность, что [c.82]

Для двумерной модели iVe = 6 и можно использовать треугольный элемент с шестью узлами, показанный на рис. 10.4, Ъ. Отметим, что вдоль каждой стороны фз нкция и (х) квадратична. Поскольку квадратичная функция единственным образом определяется тремя независимыми величинами, при соединении соседних элементов непрерывность сохраняется. Зламал [1968] показал, что для такого элемента [c.153]

На основе описанного алгоритма была разработана программа решения двумерных (плоских и осесимметричных) задач теплопроводности ИОЛА 1 для ЭВМ Минск-32 (ФОРТРАН ТФ1), Программа занимает 40 ООО слов оперативной памяти и использует в общем случав 3 накопителя на магнитной ленте. Максимальное количество элементов матрицы системы уравнений — 30 ООО, число узлов — 1500, число элементов — 3000. Для решения системы уравнений применяется прямой метод Гаусса, используются элементы треугольной формы с линейной и квадратичной аппрок-сймацией температуры, [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...