Уравнение границы области устойчивости системы

Исключая из (2.61) и (2.62) частоту колебаний, получим следующее уравнение границы области устойчивости системы [c.52]

Уравнение границы области устойчивости системы [c.80]

В разд 3.2 приведено уравнение границы области устойчивости системы шнеко-центробежный насос — трубопроводы в плоскости параметров кавитационное сопротивление при входе жидкости в межлопастные каналы шнека В2 — кавитационная упругость В1 [c.122]

Уравнения границы области устойчивости системы в простейшем случае [c.207]

Приравняв нулю определитель полученной системы уравнений, найдем уравнение границы области устойчивости в координатах Pj, Р . [c.33]

Получим уравнение границы области устойчивости гидравлической системы, включающей высокооборотный шнеко-центробежный насос (см. рис. 2.9), в общем виде. [c.80]

На рис. 3.13, 3.14 представлены результаты расчетов (по уравнению (3.16) границ областей устойчивости системы в плоскости параметров В2—-61, штриховые линии показывают траекторию перемещения рабочей точки при изменении входного давления для различных значений коэффициента режима и частоты вращения вала насоса. С увеличением коэффициента режима д (с уменьшением угла атаки) устойчивость системы повышается уменьшается диапазон существования кавитационных автоколебаний по входному давлению. С уменьшением частоты вращения вала насоса устойчивость также повышается. [c.85]

На основании уравнений границы области устойчивости (3.23) и (3.24), полученных в оби ем виде, выясним влияние сосредоточенных упругостей Тна входе и выходе из насоса на устойчивость системы. Расчетная схема рассматриваемой гидравлической системы представлена на рис. 3.30. Емкостные свойства системы учитывают следующие параметры упругость кавитационных каверн, податливость сосредоточенной упругости перед насосом l и податливость сосредоточенной упругости на выходе из насоса С 2- [c.91]

Уравнение границы области устойчивости позволяет определить значения режимных параметров насоса, соответствующих границам области устойчивости системы. Для этого необходимо установить зависимость коэффициентов этого уравнения от режимных параметров. [c.123]

При анализе устойчивости исследуемой системы отклонение давления в баке полагаем равным нулю. Уравнение границы области устойчивости получим с помощью метода О-разбиения, согласно которому решение системы уравнений (6.48)—(6.55) [c.189]

Результаты расчета границ областей устойчивости системы питающий трубопровод — насос (для насоса № 2) в плоскости параметров кавитационное сопротивление В — кавитационная упругость Bi, проведенного по уравнениям (6.59), (6.60) без [c.191]

С целью выяснения влияния параметров, характеризующих неустановившееся обтекание лопастей осевого шнекового преднасоса, на устойчивость системы питающий трубопровод—насос, получим уравнения границы области устойчивости в простейшем случае. [c.207]

На рис. 1.20, б в координатах f i, изображена гипербола, описываемая уравнением (1.35). Ближайшая к началу координат ветвь гиперболы, показанная сплошной линией, является границей области устойчивости в данной задаче. Следуя намеченному в предыдущем параграфе пути, можно доказать, что все точки плоскости, лежащие слева от этой ветви, соответствуют устойчивому вертикальному положению стержневой системы, а точки, лежащие справа, — неустойчивому вертикальному положению. В данной задаче (как и в предыдущей) граница принадлежит области устойчивости. [c.32]

При решении системы уравнений (6.88), (6.89), определяющих границы динамической устойчивости с учетом конкретных данных, нередко возможны существенные упрощения. Так, в частности, при Qo О в уравнении (6.89) обычно последние два слагаемых, заключенные в квадратные скобки, по сравнению с нелинейной функцией Л(, оказываются малыми, а при / = /а. — строго равны нулю. При этом, как правило, удается непосредственно выразить Л о через Су, после чего из уравнения (6.88) может быть определено одно неизвестное j. При Qo = О уравнение (6.88) принимает вид = 0. Расчетная практика свидетельствует о том, что в этом случае при определении границ области устойчивости в качестве первого приближения можно пользоваться результатами, полученными при Ло = О (см. режимы j = Vgi /г. ) Разумеется, на современном уровне развития вычислительной техники отмеченные упрощения не являются столь необходимыми, однако даже при машинном счете они существенно облегчают оценку и контроль результатов, получаемых с помощью ЭВМ (порядок величин, контрольные точки, характер изменения функций и т. п.). [c.285]

Анализ этой системы в общем виде весьма сложен [102] нетрудно лишь показать, что к числу границ области устойчивости принадлежат такие два значения угловой скорости (о со = соц где oj—положительный корень уравнения [c.64]

Обычный метод разыскания возможных границ области устойчивости установившегося движения некоей механической системы (произвольное движение которой, мало отклоняющееся от исследуемого, описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) заключается в построении так называемого D-разбиения в пространстве параметров [24]. [c.104]

Выберем некоторые фиксированные значения ц, и Z. Тогда кривые а = о (R), вычисленные по этой формуле для различных значений п, представляют одну из границ областей устойчивых режимов движения системы. На этой границе хотя бы один корень уравнения (8.18) равен (Р = 1. Вопрос о том, по какую сторону от границы располагаются области устойчивости, решается непосредственной проверкой, путем подстановки в неравенства(8.20) величин а, мало отличающихся от значений, вычисленных по (8.23). [c.273]

Задавшись некоторыми значениями величин i и F, из уравнения (8.26) получаем граничные значения ст как функции R для различных величин п = Q, 1, 2,. .. Граничным значениям а соответствует корень характеристического уравнения р = — 1. Непосредственная проверка показывает, что кривые а = а R) образуют нижние границы областей устойчивости периодических режимов. Таким образом, области значений параметров системы, соответствующих устойчивым режимам движения системы, ока- [c.274]

Анализ полученных границ устойчивости показывает, что расположение области устойчивости в том или ином квадранте определяется знаком коэффициента dj (предполагается >0). При этом в случае dj > О (первый и второй квадранты) в области устойчивости системы имеется диапазон отрицательных значений (от границы устойчивости ldi= — 1 до начала координат). В этом диапазоне j/dj < 0. При приближении jd к положительным значениям величина в правой части уравнения системы (VI 1.14) уменьшается, а затем переходит к отрицательным значениям. Увеличение отрицательных значений величины приводит [c.271]

Если наблюдения за контролируемыми непрерывными системами осуществляются в дискретные моменты времени t — kAt, k — 1,2,. .., то необходимо правильно выбрать шаг дискретности времени At. Обыч ю его выбираю в соответствии с теоремой Котельникова, т. е. из условия 2/дг. где / — максимальная частота, которую требуется различать по дискретизированным сигналам. В задаче идентификации в качестве может быть принята интересующая исследователя максимальная частота частотной характеристики системы (или максимальная частота выходных сигналов). При этом следует иметь в виду, что слишком высокая частота дискретизации непрерывных сигналов приводит к дискретным моделям (в виде разностных уравнений) с близкими к границе области устойчивости коэффициентами, что усложняет задачу оценивания параметров таких моделей. В связи с этим появляется проблема оптимальной дискретизации, которая может быть решена для конкретных структур операторов. [c.350]

Один из методов отыскания границы области устойчивости состоит в отображении мнимой оси плоскости характеристических показателей на пространство параметров. Подставим в характеристическое уравнение (7.2.9) А,=/са, где U) - действительный параметр. Тогда образ мнимой оси принимает вид /)(/ш)=0. Это уравнение эквивалентно системе двух уравнений с действительными коэффициентами [c.469]

Построение границы области устойчивости сводится к определению параметров 0 и [i, при которых тривиальное решение системы моментных уравнений [c.252]

С теорией критических случаев устойчивости тесно связан вопрос о поведении динамических систем вблизи границ области устойчивости в пространстве параметров. Границей области устойчивости называется совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых по крайней мере один из корней характеристического уравнения является критическим. Так, для линейной системы уравнений возмущенного движения с постоянными коэффициентами устойчивость может теряться либо когда по меньшей мере один из корней характеристического уравнения становится равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми в этих случаях уничтожаются либо последний, либо предпоследний из определителей Гурвица. В первом случае уравнения возмущенного движения будут иметь новую последовательность равновесий, проходящую через отвечающую точку, а во втором — последовательность периодических движений (Н. Г. Четаев, 1946). [c.60]

Замечания о границах области устойчивости различных стационарных режимов. Мы указывали, что стационарным режимам реальной системы в описывающей ее системе дифференциальных уравнений соответствуют устойчивые узлы или фокусы (равновесные режимы) и устойчивые предельные циклы (автоколебательные режимы). Неустойчивые же предельные циклы и сепаратрисы (как мы увидим, не все сепаратрисы) являются разделяющими для области начальных значений на частичные [c.220]

Из сопоставления уравнений (3.7) и (3.27) следует, что частота колебаний на границе области устойчивости равна собственной частоте колебаний жидкости в рассматриваемой системе, идентичны также условие (3.8а) и уравнение (3.25). [c.82]

Важно подчеркнуть, что при анализе устойчивости системы питающий трубопровод — насос на режимах с обратными и без обратных токов условие устойчивости системы и уравнение для определения частоты колебаний на границе области устойчивости, полученные в гл. 2, 3, остаются без изменений, но на режимах с интенсивными обратными токами для определения упругости кавитационных каверн (параметр В ) следует использовать уравнение (4.27), а для определения кавитационного сопротивления [c.185]

Подставляя указанные выражения в (7.28) и исключая все комплексные амплитуды колебаний, получим следующее характеристическое уравнение системы, справедливое на границе области устойчивости [c.207]

Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области — устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая — из неустойчивых их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности. [c.193]

Получим уравнения границы области устойчивости системы шнеко-центробежный насос—трубопроводы. Для получения наглядных результатов при составлении исходных уравнений были приняты следуюн ие допущения [c.74]

Уравнение границы области устойчивости системы шнекоцентробежный насос — трубоп ро-воды с учетом упругости кавитационных каверн в центробежном колесе и зависимости напора шнека от объема кавитационных каверн. Для выяснения влияния упругости кавитационных каверн в центробежном колесе, тангенса угла наклона касательной к зависимости напора шнека от объема кавитационных каверн и учета потерь энергии при входе жидкости в межлопастные каналы шнека на устойчивость системы получим уравнение границы области устойчивости. Для этого уравнения (6.48), (6.49) дополним следуюш ими уравнениями в отклонениях, описываю-ш ими динамику исследуемой системы [c.188]

На рис. 3.1 представлены результаты расчетов по уравнению (3.8а) границ областей устойчивости системы в плоскости параметров и Вху штриховые линии показывают траекторию перемещения рабочей точк№ при изменении давления на входе в насос. [c.75]

Таким образом, для нахождения границ области устойчивости необходимо, положив все столбцы внешних сил = О (/fe = 1, 2, п), решать методом матричной прогонки полученную систему однородных уравнений и приравнять нулю определитель последней прогоночной матрицы, аналогичной матрице b n + i в (II.93), который зависит от Я, со и других параметров системы и является некоторой комплексной функцией этих параметров [c.105]

В соответствии с этими неравенствами на рис. 8.8 построена карта устойчивости для л = О и для нескольких значений величины силы/ . Как видим, наличие силы трения приводит в данном случае к некоторому расширению области устойчивости, однако не устраняет возможности возникновения неустойчивых режимов. Точка А на рис. 8.8 соответствует значениям параметров, для которых построены законы движения на рис. 8.7. (Напомним, что решению вопроса об устойчивости того или иного режима движения следует предпослать проверку его по неравенствам (8.11).) Выполненный нами анализ устойчивости позволяет теперь ответить на вопрос, какой из этих двух возможных режимов будет реализован системой. Каждому из них соответствует определенное значение %2, вычисленное в соответствии с формулой (8.8). С другой стороны, эти значения А.2 непосредственно используются при определении нижних границ областей устойчивости согласно уравнению (8.25). Последовательно подставляя сюда значения и кгг, соответствующие знакам в формуле (8.8), можно убедиться в том, что критериям Шура удовлетворяет значение Я,2, соответствующее знаку минус перед корнем. Другими словами, устойчивым оказывается тот из режимов движения системы, который сопровождается более активным ударным взаимодействием ее частей. На рис. 8.7 этот режим движения изображен сплошными линиями. [c.275]

Построение границ областей устойчивости путем редукции бесконечной системы моментных уравнений связано с большими аналитическими и вычислительными трудностями для систем с расширенным фазовым пространством. Это обусловлено, во-первых, неоднозначностью способов замыкания усеченных систем. При помощи гипотезы квазигауссовости старшие моменты можно выразить через различные сочетания младших моментов. Редуцированная система становится при этом нелинейной ее линеаризация не всегда может быть обоснована. Во-вторых, системы уравнений устойчивости при высоком уровне замыкания, как правило, имеют слабо обусловленные матрицы, что существенно усложняет вычисления. Это, по-видимому, явилось причиной расходимости результатов с повышением уровня замыкания [2]. [c.147]

Когда уравнения возмущенного движения нелинейны, вопрос о существовании периодических движений рассматривали А. А. Андронов (1937) для уравнений второго порядка и П. А. Кузьмин (1939) для уравнений второго и третьего порядков, а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации, так и в точках ответвления периодических орбит исследовал Н. Н. Баутин (1950). Последний показал, что в рассматриваемых случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво,, называют безопасными , а те границы, на которых оно неустойчиво,— опасными . Нахождение опасных и безопасных границ сводится, к решению задачи устойчивости в критических случаях. Впоследствии эти результаты были развиты в работах ряда авторов (А. И. Лурье, 1951 И. Г. Малкин, 1952, и другие). [c.60]

H.H. Баутин рассмотрел нелинейные сосредоточенные системы в наиболе распространенных с практической точки зрения случаях, когда на границ области устойчивости характеристическое уравнение линеаризованной сис темы имеет пару мнимых корней либо один нулевой корень. Развив [c.220]

При р = О, т. е. при отсутствии пеконсервативных позиционных сил, эти условия дают >0, j > О, что непосредственно следует и из уравнений (6.116). На плоскости параметров j и С2 область устойчивости потенциальной системы (6.116) заполняет весь первый квадрант (рис. fi.6,a). При р фО область устойчивости показана на рис. 6.6, б. Границами этой области служат прямая [c.195]

Область вещественных собственных чисел совпадает с областью не ограниченно возрастающих решений уравнения Хилла (область неустойчи вости решения, а следовательно, и неустойчивости механической системы) а область комплексных собственных чисел — с областью ограниченных (поч ти-периодических) решений (область устойчивости решения, а следовательно, и устойчивости механической системы). На границах областей, ограниченно и неограниченно возрастающих решений [c.462]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...