Средние упругие константы

Соответствующие средние упругие константы, полученные в том же приближении с использованием точного решения Эшелби, имеют вид [12—14] [c.222]

Средние упругие константы [c.56]

Некоторые из авторов [8, 136] получили те же упругие константы более строгими методами, которые позволяют доказать, что имеется поперечно-изотропная среда, свойства которой равны средним свойствам заданной тонкослоистой среды. Проделанные выше выкладки показывают, что выражения для средних упругих констант могут быть выведены на основе весьма простых рассуждений. [c.59]

Вблизи каждого такого небольшого участка контактирующие зерна можно аппроксимировать сферическими поверхностями с различными радиусами. Следовательно, теория поведения двух контактирующих сфер должна привести, например, к зависимости средней упругой константы от предварительного давления. Такая модель описана различными авторами. Основные теоретические выводы из этой модели были проверены экспериментально на сферических упаковках, а полевые эксперименты показали, что эти выводы также применимы к распространению сейсмических волн в неконсолидированных песках. [c.71]

Средние упругие константы выводятся путем вычислений упругой энергии, передаваемой в единичный объем среды через напряжения на поверхности при наличии и отсутствии полостей. Например, давление р, прилагаемое к твердой матрице без полостей, будет генерировать энергию на единицу объема То же на- [c.82]

Совершенно аналогично получаем среднюю упругую константу для продольных волн [c.88]

Поперечные к плоскости армирования напряжения одинаковы для всех слоев н определяются в случае плоской деформации (ез) = О через эффективные упругие константы ортотропного материала и средние напряжения в плоскости, или через соответствующие характеристики в главных осях упругой симметрии слоя и послойные напряжения [c.73]

Если число фаз в гетерогенной композиции больше двух, характеристика ее морфологии и выбор метода расчета упругих и вязкоупругих свойств значительно усложняется. В качестве примера рассмотрена тройная композиция, представляющая собой смесь двух типов гомогенных частиц наполнителя с различными упругими константами матрицы. Расчеты верхнего и нижнего пределов по уравнениям (3.4) и (3.5) можно производить прямым путем, однако при использовании уравнений (3,11) и (3.12) возникает некоторая неопределенность. Эти уравнения, в принципе, можно использовать непосредственно для расчета модулей многокомпонентных систем, однако лучшие результаты дает двухступенчатое применение уравнений [17]—сначала для расчета модуля композиции с одним типом частиц, а затем для расчета модуля композиции в целом на основе полученных данных о модуле матрицы с учетом свойств другого типа частиц дисперсной фазы. По-видимому, не существует теоретического обоснования порядка такого двухступенчатого расчета. Было показано [46], что результаты, полученные для модуля упругости при сдвиге при ступенчатом использовании уравнения (3.14), зависят от порядка чередования типа частиц наполнителя при расчете и не эквивалентны результатам расчета при использовании трехкомпонентной формы уравнения (3.12). Определенную роль при этом играет относительный размер частиц наполнителей разных типов. Кажется естественным, что если размер частиц наполнителя одного типа в среднем значительно больше второго, то меньшие частицы и матрица совместно образуют более эффективную матрицу для более крупных частиц. Экспериментальные данные по [c.168]

Линейная зависимость упругих констант от давления есть первое приближение для диапазона низких и, может быть, средних давлений [14]. [c.234]

Использование теории Герца для вывода упругих констант н определения скорости распространения упругих волн проиллюстрируем на простом примере. Для любой зернистой среды искомая упругая константа может быть выражена через отношение среднего напряжения к средней деформации. Очевидно, что среднее напряжение руу, приложенное к элементу, показанному на рис. 3.6, а, может быть выражено через силу О. Окончательное смещение в направлении оси у может быть выражено через среднюю деформацию ёуу. Пусть вдоль одной из осей кубической упаковки распространяется плоская продольная волна. Дополнительное смещение между центрами двух соседних сфер Л5 возникающее в результате приложения добавочной силы А0=—4а рт, показано на рнс. 3.7, о. Эта дополнительная сила создает нормальное напряжение Ар , которое неравномерно распределено на площади контакта (рис. 3.7, в). Типичная конфигурация примыкающих сфер показана на рис. 3.7, б, из которого видно, что средняя деформа- [c.73]

С целью иллюстрации нашего подхода, рассмотрим множество плоскостей разрыва, параллельных плоскости уг с интервалом Ьх. Твердое тело описывается параметрами Л1, ц и р. Чтобы вывести упругую константу Сц, определяющую скорость поперечных волн, проходящих вдоль оси X, нам понадобится соотношение между средним сдвиговым напряжением р у и средней деформацией ёху.. Между плоскостями разрыва смещение линейно зависит от х [c.87]

В заключение отметим, что связь между свойствами компонентов и прочностью композиции более сложна, чем связь свойств с модулем упругости, поскольку прочность является скорее функцией точки, чем средней константой материала. Хотя правило, смесей применимо к композиционным материалам, в которых эффективная прочность волокна может быть предсказана, оно не всегда справедливо, когда используются хрупкие волокна. [c.34]

Еще одно наблюдение Вертгейма, которое положило начало значительному количеству исследований Томлинсона, Фохта и других 1) в последующие годы, касалось уменьшения значения модуля Е для металлов с ростом их атомного объема. Вертгейм отметил, что произведение значений модуля Е н межатомного расстояния в седьмой степени, почти постоянно. В табл. 56 указаны S — удельный вес, А — атомный вес, Ig а — логарифм межатомного расстояния, В — модуль упругости, gEa и lg( a ) p —логарифм произведения Еа при комнатной температуре и логарифм среднего значения этого произведения для каждого из металлов, которые рассматривал Вертгейм. С экспериментальной точки зрения обнаружение связи между константой упругости и параметром кристаллической решетки является исторической вехой в физике твердого тела ). [c.305]

Для определения тангенциальных модулей по диаграммам деформирования, полученным из экспериментов при одноосном нагружении, Петит [19] использует деформации слоя ei и б2, развивающиеся при двухосном нагружении Этот прием не является вполне строгим. Сандху в своем подходе пытается учесть эффект двухосного напряженного состояния путем определения после каждого шага нагружения эквивалентных деформаций. Эти скорректированные деформации используются для определения средних упругих констант слоя, после чего вычисляется новое значение [Ау и по нему уточненные приращения деформаций. Процедура повторяется до тех пор, пока разность между приращениями деформаций, определенными в двух соседних итерациях, не будет меньше желаемой точности приближения. Окончательно приращения напряжений слоя получаются из этих исправленных величин приращений деформаций и тангенциальных модулей (уравнение (4.3), записанное через приращения). Текущие значения напряжений, деформаций и энергии деформирования на (rt+l)-M шаге определяются суммированием соответствующих приращений и текущих значений после предыдущего шага нагружения. Повторение этой процедуры позволяет получить диаграмму деформирования композита до тех пор, пока величина накопленной энергии деформирования любого слоя не достигнет своего предельного значения. [c.156]

Если в соотношениях (2,58) только напряжение рху отлично от нуля, то оно сведется к равенству pxy—Nexy- Поэтому третья средняя упругая константа тонкослоистой среды [c.58]

По теории Гассмана средние упругие константы скелета необходи- ыо либо измерять непосредственно, либо определять по данным измерений в условиях флюидонасыщения. Влияние предварительной нагрузки также нужно определять с помощью соответствующего измерения. Совершенно ясны те преимущества, которые дает математическая модель скелета, позволяющая вычислять средние [c.70]

Расположение волокон. Некоторые типы композиционных материалов не имеют четко выраженной противофаз-ности расположения волокон в смежных элементах. Для этих материалов характерно наличие одинаковых форм искривления волокон во всем объеме и смещение искривлений по фазе в направлении оси 1 в смежных. элементах на часть периода. В зависимости от относительного смещения по фазе упаковка искривленных волокон в смежных, элеме 1тах может быть однофазной, противофазной или иметь средний характер. Приближенно оценить значения упругих констант материалов с искривленными волокнами, смещенными по фазе,. можно по моделям для композиционных материалов с протпвофазно и однофазно искривленными волокнами. Погрешность расчета может быть оценена сравнением характеристик материалов, имеющих однофазное я противофазное расположение волокон в смежных элементах. Степень и закон искривления волокон в материалах обоих типов при этом принимают одинаковыми. [c.95]

Для построения поверхности прочности слоистого композита на основании рассмотренного метода составлена вычислительная программа иод шифром SQ-5 [18]. Она позволяет исследовать несимметричный (Btj ф 0) композит, нагруженный изгибающими нагрузками и силами в плоскости. В качестве исходных данных в программе используются предельные значения продольных, поперечных и сдвиговых деформаций слоя, определенных при растяжении и сжатии, и средние значения уиругих констант Ей Ei, vi2, Gn- Нагрузки могут иметь как механическое, так и термическое ироисхождение. Программа SQ-5 обеспечивает расчет полного напряженного и деформированного состояний слоя и композита в целом упругих констант композита Е х, Еуу, Vxy, Gxy, А, В, D коэффициентов термического расширения коэффициентов кривизны межслойных сдвиговых напряжений координат вершин углов предельной кривой композита. Кроме того, программа позволяет идентифицировать слои, в которых достигнуто предельное состояние, и соответствующие этому компоненты напряжения. [c.149]

На фиг. 10.5 показано распределение напряжений в поперечном сечении, проходящем через вершину выточки. Там же приведены результаты теоретического решения для двух значений коэффициента Пуассона. Расхождение можно, по-видимому, объяснить тем, что срез имел толш,ипу около 3,9 мм. Величина и направление главных напряжений меняются в срезе таким образом, что среднее касательное напряжение оказывается меньше, чем в центральной плоскости. На этом же графике иллюстрируется еш,е одно обстоятельство, о котором некоторые специалисты по поляризационно-оптическому методу часто забывают, а именно возможность сильной зависимости напряжений в пространственных задачах от упругих констант. [c.281]

Выражение для G получается аналогичным способом при анализе упругого поведения модели при простом растяжении. Средние деформация и напряжение при растяжении в направлении прикладываемого напряжения приравниваются к соответствующим показателям гомогенного тела с упругими константами композиции. В комбинации с результатами Гудьира [27] для перемещений и напряжений вокруг сферического включения в упругой среде при простом растяжении эти допущения можно использовать для получения выражения для G . [c.155]

Результаты расчетов по определению оптимальных углов однозаходной намотки для некоторых значений упругих констант тксши и геометрических размеров для оболочек средней длины приведены в табл. 7 и изображены на рис. 88. [c.225]

Расчеты показывают [35], что, например, при некоторых значениях упругих констант цилиндрические оболочки средней длины, изготовленные косой одназаход-ной намоткой, будут наиболее устойчивыми при действии внешнего давления, если угол намотки окажется равным 40°. [c.326]

Если при рассмотрении соотношений (2.58) предположить, что ргг действует в комбинации с нормальным напряжением в двух перпендикулярных направлениях, обеспечивающих равенство вхх и вуу нулю, то третье уравнение в (2.58) сводится к рц=Се1г- Таким образом, введенная здесь константа для тонкослоистой среды отвечает упругой константе С для эквивалентной поперечно-изотропной среды. Используя черту сверху для обозначения средних свойств, выразим эту упругую константу тонкослоистой среды через упругие свойства ее изотропных составляющих [c.57]

До сих пор предполагалось, что слоистая среда состоит только из-двух групп слоев. Хелбиг [67] и Бакус [8 получили выражения для средних (эффективных) упругих констант тонкослоистой среды, которая может иметь произвольное число групп слоев с различными свойствами. В этом случае для константы С вместо [c.61]

Как было показано выше, комплексные упругие константы для любого вида деформации элементарного объема моЬут быть выражены через две заданные константы с пойощью обобщенного закона Гука. Если характер деформации меняется от точки к точке, требуется применить некоторый другой подход для оценки среднего поглощения через параметры среды. Например, согласно формуле (4,36) затухание рэлеевской волны на поверхности почти упругого полупространства зависит от 0р и 05, Аналогично величина Q для каждой моды собственных колебаний почти упругой сферы может быть различной даже в том случае, когда материал, нз которого сложена сфера, имеет только два независимых параметра поглощения. Величину Q для любого типа волны можно [c.133]

Для пачки слоев с двумя вариантами упругих свойств это означает, что усредненные упругие константы как функции скачков АС33 и Ас на границах слоев с разными упругими свойствами должны быть независимы от знака скачков и, следовательно, не могут содержать линейных членов - а нелинейные при линеаризации считаются пренебрежимыми. Заметной квазианизотроггии в этих условиях не создается вообще. Последний вывод может быть проиллюстрирован на примере коэффициента у для изотропных чередующихся слоев (в каждом из вариантов упругих свойств Ас = бб) квазианизотропия пачки в целом пропорциональна разности 44) -(1/с44) . Легко проверить, что эта разность арифметического и геометрического средних усредненных вели- [c.99]

Выбор метода. В основу расчета упругих характеристик для всех исследованных материалов положен принцип суммирования повторяющихся элементарных слоев, содержащих волокна двух направлений. Для расчета упругих характеристик элементарного слоя использованы два подхода [1—4, 49], которые при расчете модулей Юнга в направлении армирования и коэффициентов Пуассона в плоскости слоя дают идентичные результаты. При этом, как и в работах [1, 49], для модулей сдвига используются формулы [10, 86], полученные на основе регулярных моделей однонаправленного материала. Модуль упругости в направлении армирования 1 малочувствителен к способу расчета все методы дают близкие результаты. Особое внимание при выборе метода расчета упругих характеристик типичного слоя уделялось расчету модуля упругости 2 и модуля сдвига, для которых вилка Хилла охватывает щирокий диапазон значений [71]. Методы, изложенные в работах [4, 49], дают для этих характеристик средние значения в диапазоне вилки Хилла, причем значения упругих характеристик, вычисленные по этим методам, хорошо согласуются с экспериментальными данными [71]. Кроме того, расчетные зависимости для указанных констант весьма просты и удобны для практических вычислений. [c.57]

Второй подход предусматривает использование известных свойств структурных компонентов материала и путем усреднения, сглаживания и применения энергетических методов позволяет построить модель среды, в которой все константы выражаются через характеристики компонентов материала. Примером может служить теория Ахенбаха и Херрманна [3, 4], в которой в качестве микроструктурных элементов рассматриваются волокна, заключенные в упругую матрицу. Предполагается, что поведение волокон подчиняется гипотезам, предложенным Тимошенко для балок. В каждой точке такой эквивалентной среды вводятся две кинематические переменные — среднее перемещение в точке и и вектор вращения волокна, не зависящий от вектора и. В результате теория сводится к шести дифференциальным уравнениям движения, которые должны быть удовлетворены в каждой точке. Такой подход позволяет предсказать дисперсию сдвиговых волн. Если нормаль волны направлена вдоль волокон, а движение осуществляется поперек волокон, имеет место следующее соотношение дисперсии [c.292]

При проведении теоретических расчетов анизотропии модуля Юнга считается, что упругие свойства поликристаллических материалов определяются константами упругости монокристаллов и преимущественными ориентировками зерен в пространстве [299, 301-305, 307]. При этом обычно пренебрегают взаимодействием между соседними зернами и пользуются различными аппроксимациями. Наиболее близкой к эксперименту является аппроксимация Хилла, который предложил брать среднее от аппроксимаций Фойгта (одинаковая деформация всех зерен) и Ройсса (одинаковое напряжение во всех зернах). Бунге в работе [292] рассчитал зависимость величины модуля Юнга от ориентации в плоскости прокатки для холоднокатаной Си. При этом полученная зависимость аналогична по форме экспериментальным данным и ошибка не превышает 7%. Аналогичные исследования были выполнены для Fe промышленной чистоты и Nb [293], стали [294], Си [295]. [c.175]

Зе, где Е — средняя (гидростатич.) деформация, и Р = —о, где (Оц-Ь0з24-Озз)/3 — среднее (гидростатич.) напряжение, получаем Г. з. в виде o — 3Ks. Константы Е, v, G, К характеризуют упругие свойства материала. [c.546]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...