Суммирование диаграмм. Уравнение Дайсона

Суммирование диаграмм. Уравнение Дайсона. В большинстве задач квантовой статистики, как правило, нельзя ограничиться учетом нескольких первых членов ряда теории возмущений. Вместо этого приходится суммировать различные бесконечные последовательности членов, соответствующих так называемым главным диаграммам, вклад которых оказывается, в силу условий задачи, одинаковым по порядку величины. Замечательным свойством изложенной выше диаграммной техники для гриновских функций является тот факт, что суммированию какой-нибудь бесконечной (или конечной) совокупности членов ряда теории возмущений можно сопоставить своеобразное графическое суммирование диаграмм. Диаграмма, изображающая такую сумму, составляется из элементов, каждый из которых в свою очередь является результатом суммирования. Например, линии такой диаграммы могут изображать сумму какой-нибудь бесконечной последовательности членов теории возмущений для гриновской функции ( сумму диаграмм). Сопоставление диаграмме определенных выражений производится по тем же правилам, по каким вычислялись выражения по теории возмущений каждой линии диаграммы сопоставляется соответствующая ей сумма диаграмм и т. д. [c.120]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Формула (6.4.22) имеет структуру, удобную для диаграммной техники, так как при усреднении со статистическим оператором (6.4.23) можно применить теорему Вика. Используя диаграммное представление для G (1,1 ) и производя блочное суммирование диаграмм, можно вывести уравнение Дайсона ) и тем самым конструктивно доказать, что на расширенном контуре С существует обратная функция G (l,l ). Впрочем, для доказательства существования обратной функции не обязательно обращаться к теории возмущений и диаграммной технике. Добавляя на рис. 6.7 участок с термодинамической эволюцией операторов, мы фактически добиваемся того, что усреднение в конечной точке выполняется со статистическим оператором ( о) который удовлетворяет условию ослабления корреляций. Как уже отмечалось, это гарантирует существование функции G (l,l ). [c.67]

Это уравнение, связывающее 0-функцию с вершинной частью, называется уравнением Дайсона. Здесь мы получили это уравнение путем суммирования диаграмм. Ниже будет произведен аналитический вывод уравнения Дайсона и более подробное рассмотрение вершинной части. [c.124]

Для вычисления многочастичных гриновских функций в принципе можно было бы написать уравнения, аналогичные уравнениям Дайсона, которые связывают эти функции с функциями следующих порядков. Однако на практике такая процедура не дает каких-либо полезных результатов и проще непосредственно суммировать диаграммы. При этом часто оказывается, что определенная последовательность диаграмм является наиболее существенной. Обычно в таких случаях суммирование диаграмм не представляет большого труда. [c.133]

В предыдущей главе мы видели, что суммирование бесконечных рядов в технике теории поля производится диаграммным методом. В этом методе сумма ряда может быть изображена в виде диаграммы, элементы которой—линии и вершины — в свою очередь представляют собой суммы бесконечного числа диаграмм. Сопоставление элементам такой диаграммы определенных выражений производится по тем же правилам, что и для диаграмм теории возмущений. Это обстоятельство дает возможность строить различные уравнения для гриновских функций. В гл. II мы уже сталкивались с одним из таким уравнений — уравнением Дайсона, выражающим гриновскую функцию через массовый оператор системы. [c.187]

Суммирование такой последовательности диаграмм мы уже проводили в 10 при выводе уравнения Дайсона. Поэтому мы сразу можем написать уравнение для [c.338]

Ясно видна связь между рядом (3.155) и суммированием избранных членов ряда теории возмущений в методе Гелл-Манна и Бракнера. В рассматриваемом случае последнее суммирование автоматически выполняется, коль скоро мы пользуемся формулой (3.154). Заметим также, что суммирование приведенной совокупности поляризационных диаграмм эквивалентно замене внешнего потенциала фех1(кш) на ф(кш) при переходе от (3.150) к (3.151). В этом состоит физический смысл уравнений Дайсона в форме (3,154). [c.187]

ДАЙСОНА УРАВНЕНИЯ в квантовой теории — уравнения движения для квантовой системы с бесконечным числом степеней свободы (напр., системы квантовых полей), записанные не для операторных полевых ф-ций, а для пропагаторов (одночастичных Грина функций) И вершинных функций. Д. у. представляют собой бесконечную цепочку зацепляющихся нелинейных интегральных ур-ний, аналогичную цепочке ур-ний для корреляционных функций (мпогоча-стичпьгх функций распределения) статистич. механики. Они могут быть получены либо из Швингера уравнений, либо графич. путём — суммированием вкладов Фейнмана диаграмм. [c.555]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...