Введение третьей координаты

Следует заметить, что предыдущие определения ни в коем случае не ограничиваются случаем движения в двух измерениях. Формулы, содержащие декартовы координаты, можно легко обобщить путем введения третьей координаты г. [c.58]

Таким образом, независимых параметров будет только три. При введении третьей точки С вводятся еще две координаты (хс,ус) и два условия, которым должны удовлетворять эти координаты [c.98]

С помощью матрицы Т можно осуществить вращение относительно начала координат, зеркальное отображение, масштабирование и их комбинации. Одновременно переместить все точки (операция сдвига) с помощью матрицы Т нельзя. Например, если в матрице А есть точка с координатами (О, 0), то при умножении на любую матрицу Т точка (О, 0) останется неизменной и в матрице В. Эту трудность можно устранить за счет введения третьей компоненты в векторы положения точек, представляя их в виде (х,, yi, 1). Третий элемент можно рассматривать как дополнительную координату вектора положения. [c.235]

Мы увидим, что введение дополнительных координат может означать нечто большее, чем простую замену переменных. Действительно, увеличение числа измерений означает увеличение числа степеней свободы. Например, в трехмерном вакууме электромагнитная волна может быть бегущей волной для одного направления, чисто стоячей для другого и экспоненциальной волной для третьего направления В одномерном случае экспоненциальную электромагнитную волну в вакууме получить невозможно, так как дисперсионное соотношение не может превратиться в соотношение со =—для некоторого диапазона частот. Для получения экспоненциальной волны в одномерном случае нам необходимо наличие граничной частоты, т. е. дисперсионное соотношение должно иметь вид соотношения для ионосферы а) =со +Л2, которое для достаточно низких частот может превратиться в соотношение со = = 0) — [c.299]

Аналогичным образом интегрирование в двух из интегрируемых случаев задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой (случай Эйлера инерционного движения и случай осевой симметрии) может быть непосредственно выполнено с помош ью введения сферических координат (Эйлер, Лагранж). Возможность интегрирования в третьем случае (Софьи Ковалевской) обусловлена тем, что функция Лагранжа приобретает вид (li) — (I2), если ввести эллиптические координаты qi, qz (Колосов). [c.179]

Третья основная гипотеза - гипотеза об обратимости. Обычно ее обосновывают принципом относительности Галилея введение системы координат, совершающей равномерное прямолинейное движение, не сказывается на взаимодействиях в системе. Поэтому силы сопротивления движению тела в покоящейся среде те же, что и силы воздействия потока среды на неподвижное тело. [c.13]

Введение. Многие задачи о движении жидкостей в пористой среде, имеющие практическое значение, можно с достаточным приближением свести к одному из видов плоского течения, проанализированных в предыдущей главе. Однако остаются иные задачи, имеющие также весьма серьезное значение, которые отличаются вполне определенным пространственным характером. Так, если скважина, вскрывшая продуктивный песчаник, полностью не проходит сквозь него, то течение в той части песчаника, которая не вскрыта забоем скважины, будет иметь компонент скорости, направленный вверх и влекущий жидкость в скважину. В верхней же части пласта песчаника течение будет попрежнему в значительной степени радиальным и будет иметь сравнительно небольшой компонент скорости по вертикали. Поэтому распределение давления в пласте песчаника будет изменяться по вертикальной координате, т. е. задача будет иметь пространственный (трехмерный) характер. По отношению к общим методам решения пространственных задач следует заметить, что все те методы, которые были рассмотрены нами в приложении к плоским системам (глава IV), за исключением только одного из них, имеют свои аналоги в том случае, когда в систему включается третья координата. Только метод сопряженных функций не имеет своего аналога для случая трехмерного уравнения Лапласа. Все же для решения практических задач мы находим, что имеющиеся в нашем распоряжении методы вполне достаточны для получения искомых результатов. [c.216]

Ко второй группе относятся материалы, пространственные связи которых создаются за счет введения волокон третьего направления. Эти композиционные материалы образуются системой трех нитей в прямоугольной или цилиндрической системе координат. Волокна могут быть взаимно ортогональными в трех направлениях или располагаться под углом в одной из плоскостей армирования. [c.10]

Так как р>0, то согласно введенному правилу знаков для угла а.р силовая линия проходит через первую и третью четверти осей координат, а нулевая линия — через вторую и четвертую четверти. Эпюра нормальных напряжений для сечения D балки построена на рис. 12.8, в. [c.243]

Поскольку между плоскостями М и М нет никаких оптических элементов, а показатель преломления постоянен, то лучи в этой области пространства представляют собой прямые линии. Следовательно, уравнения (2.3) и (2.4) должны быть совместны. Подставляя и из выражения (2.4) в (2.3), получим два аналогичных по структуре соотношения, позволяющие найти искомые F и Р . Аналогично волновым угловые аберрации также представляют собой суммы членов третьего, пятого и седьмого порядков малости (остальные члены разложения не учитываем), которые возникают при дифференцировании соответствующих членов разложения волновой аберрации, т. е. F = F31 - - Fsi 4- р71 и т. д. Рассматривая в получаемых соотношениях члены третьего, пятого и седьмого порядков, найдем выражения для Координаты I, 11, кроме непосредственно приведенных членов уравнений (2.3), входят в аргументы функций F , Рц. Введение в аргумент степенной функции k-то порядка малости поправки /-го порядка малости приводит к появлению добавочных членов, начиная, с k- -l—1-го порядка малости, поэтому в аргументы функций Fii, Ртг следует подставлять т) без членов даже третьего порядка, в аргументы Ps , уче- [c.40]

Третий из перечисленных геометрических способов наиболее полно аппроксимирует поверхность, обеспечивая для каждой расчетной точки кривых ребра возврата и плоского сечения кроме координат положение касательной. Однако расчет такого касательного многогранника требует введения дополнительных операций, например определение линий пересечения касательных плоскостей. Четвертая схема аппроксимации обеспечивает координаты точек ребра возврата, положение касательных в этих точках (образующих) и координаты точек плоского сечения. [c.144]

Мы будем использовать здесь систему координат, введенную в разд. 4.3, в которой вектор s определяет направление третьей оси. В этой системе координат волновое уравнение записывается следующим образом [c.121]

Введение. Движение материальной точки, отнесенное к неподвижным в пространстве осям координат, называется абсолютным. Это движение мы уже рассматривали, причем предполагали, что траектория, по которой движется точка, остается неподвижной. Если же движение материальной точки мы отнесем к осям, которые сами могут перемещаться в пространстве, то движение точки в пространстве по отношению к этим подвижным осям называется относительным. Абсолютное движение, происходящее от движения точки относительно осей движущихся и от движения самих этих осей вместе с точкой, называется сложным движением. Можно слагать и более, чем два движения. Так, если предположим, что точка движется относительно каких-нибудь осей координат, а эти оси, в свою очередь, движутся относительно других осей координат, которые сами движутся относительно третьих, неподвижных осей, то абсолютное движение точки будет слагаться из трех движений и т. д. Всякое, вообще, движение, наблюдаемое на Земле, есть движение сложное, состоящее по крайней мере из трех движений 1) движения предмета или точки по некоторой траектории на Земле, 2) движения Земли около Солнца и 3) движения всей солнечной системы в мировом пространстве. Первое из этих движений есть движение относительное, второе можно рассматривать как движение переносное по отношению к Солнцу, а третье — по отношению к неподвижным осям. [c.52]

В-третьих, важно знать, является ли введенное произведение корректным в следующем смысле. Говоря о преобразовании пространства или какой-то его области, мы выражаем это преобразование с помощью координат д. Если пространство отнести к другим координатам, например г, то те же преобразования, выраженные в виде функции от координат, будут иметь иной вид. Иной вид будут иметь и операторы (правило преобразования оператора при замене переменных будет приведено в 49). Зависит ли операция произведения операторов [c.214]

Введение сказанного угла g относится лишь до двух первых наших уравнений, в третье же уравнение надо ввести новый угол, который обозначим буквою г, причем легко видеть, что этот угол соответствует тому, который в астрономии называется средним аргументом широты и который получается, если из средней долготы Луны вычтем долготу восходящего узла. Поэтому положим, что третья наша координата содержит главный член г sin г, причем i есть наклонение орбиты Луны к эклиптике, которое, подобно величине JST, должно рассматривать как произвольную постоянную. [c.43]

В самом деле, наши координаты зависят от трех масс, четырех аргументов 1г, и , и ,, 1г", двух постоянных интегрирования 1 и Ег, введенных выше, третьей постоянной, за которую мы можем выбрать среднее движение И1, и элементов солнечной орбиты а, Ез II и . [c.462]

Эффективно реализовать такой выбор можно введением растягивающего преобразования, которое отображало бы физическую область с различными (в том числе и малыми) характерными пространственными масштабами на расчетную область с единственным характерным масштабом -ее размером. В этом случае при постоянном шаге сетки в расчетной области шаг в физической области оказывался бы малым там, где это необходимо. По существу, уменьшение шагов путем введения преобразования физической координаты является непременным условием применения описанных выше схем третьего порядка, поскольку последние построены на сетках с постоянными шагами. [c.63]

Изучение установившихся плоских и некоторых осесимметричных течений газа можно также упростить введением другой функции координат — функции тока ЧР. Обращаясь к третьему уравнению системы (3-3), видим, что оно удовлетворяется, если положить [c.73]

Получается достаточно точный количественный анализ изображений, поскольку цвет позволяет кодировать значения параметров с существенно меньшей ценой деления, чем чернобелое тонокодирование. По существу, использование цветового кодирования означает введение третьей координаты для двухмерного изображения. [c.85]

Оказывается, если выразить волновые аберрации каждого элемента системы в координатах Зайделя, то суммарные аберрации третьего порядка системы в ее выходном зрачке (в выходном зрачке системы координаты Зайделя совпадают с обычными) равны просто сумме аберраций элементов даже без масштабного преобразования переменных. Обычно в курсах оптики координаты Зайделя определяют заранее, после че,го получение суммарных аберраций системы простым сложением выглядит следствием введения особых координат. Встречаются даже утверждения, что этот результат не имеет аналогов в обычных координатах [7]. Кроме того, использование такого искусственного построения, как эйконал Шварцшильда, который не имеет ясного физического истолкования, оставляет всегда открытым вопрос о том, какой же физический процесс лежит в основе законов преобразования и сложения аберраций. [c.58]

Степенная функция у = ах выходит из начала координат х — = О, у = Оимопотонно возрастает. Кроме того, если мы вычислим последующие производные у = аЬ , у" = аЪ Ь — 1) и т. д., мы увидим, что ни одна из них не имеет экстремума, т. е. они тоже изменяются монотонно. Отсюда следует, что степенная функция будет адекватно представлять любую другую функцию, которая растет монотонно и допускает монотонную экстраполяцию в начале координат. Поэтому, если мы выделим, скажем, в центре некоторого отрезка кривой, которую мы хотим представить степенной функцией, точку Хд, г/о, то возможно, имея два свободных параметра а и Ь, провести степенную функцию так, чтобы она проходила через эту точку и имела бы, кроме того, общую с данной кривой касательную, В этом случае ординаты других точек х, у по обе стороны от х , у будут отклоняться на величины второго порядка малости относительно X — Хд. Если к тому же данная кривая может быть экстрано-.лирована в начало координат, эти отклонения настолько малы, что могут быть не замечены. Иногда, однако, область 2 х — xj) может быть настолько велика, что отклонения становятся заметными. В этих случаях помогает введение третьего параметра следующим. образом у = с ао или yi = у — с = ах . Это соответствует параллельному смещению координатной системы в направлении у без изменения характера степенной формулы и позволяет получить для обеих кривых одинаковую кривизну в точке Хо, г/о, а отклонения ординат при этом становятся величинами третьего порядка малости. относительно х —Жд). Такое видоизменение формулы Ваэле — Оствальда было предложено Гершелем (1925 г.). [c.284]

Чрезвычайно замечательно обстоятельство, на которое мы уже обратили внимание во введении, что из этих интегралов площадей имеют место либо один, либо все три. То обстоятельство, что третья теорема площадей всегда следует из двух других, мы получим как чисто вычислительный результат, как простое следствие некоторого математического тождества. Если имеют место все три интеграла площадей, то можно, не боясь нарушить общности решения, две из постоянных а, 3, взять равными нулю. В само г деле, эти постоянные определяются в каждой задаче условными уравнениями, но каковы бы ни были эти последние, всегда можно так повернуть координатные оси, что в новой системе координат две из постоянных исчезнут. Действительно, пусть новые координаты будут т],, тогда общие формулы иреобразования координат будут [c.31]

Сказанное можно пояснить простым примером. Каждому уравнению для псевдодальности в пространстве можно соотнести сферу равных дальностей радиуса r-mi с центром в точке нахождения спутниковой излучающей антенны. Приемник, измеряющий дальности г mi, должен одновременно лежать на каждой из таких сфер. При отсутствии погрешностей достаточно трех измерений две сферы, пересекаясь, образуют окружность, а третья сфера пересекается с ней в двух точках, одна из которых соответствует действительному местоположению (вторая точка является ложным решением, и неоднозначность исключается в различных конкретных приемниках специальными алгоритмическими средствами или введением внешней дополнительной информации о приблизительных координатах). Таким образом при точных измерениях точка пересечения трех сфер равных дальностей есть решение [c.41]

Уравнение состояния можно иллюстрировать геометрически многими различными способами. Если в уравнение входят только три переменных и оно записывается в виде / (Р, Т. V) — О, то любые два из них, скажем Р и V, можно выбрать в качестве осей декартовой системы координат на плоскости. Тогда при любом фиксированном значении третьей переменной Т уравнение состояния будет определять некоторую кривую на этой плоскости. В случае идеального газа эта кривая представляет собой равностороннюю гиперболу PV = onst на плоскости PV. Проводя эти кривые для различных температур Tj, Tj,. , получаем семейство кривых, различающихся значением параметра Т. Эти кривые называются изотермами. Изотермы для идеального газа, описываемого уравнением (1.4), показаны на фиг. 1. Реальные газы, например Не и Нд при низких давлениях, очень хорошо следуют этому уравнению состояния. Таким образом, можно ввести шкалу температур идеального газа, полагая температуру равной PV/R вдоль изотермы одного моля такого газа. Однако, как уже указывалось во введении, с помощью второго закона термодинамики вводится термодинамическая шкала [c.16]

Рассмотрим третий член формулы (7.15), Вектор ю связь антисим- т. е. 0) X р. Прежде всего покажем, что метричных тензоров с век- введенная выше в декартовой системе торами в трехмерном координат величина а является вектором, пространстве самом деле, формула (7.15) представ- [c.103]

Введение. После рассмотрения наиболее элементарного типа задач о течении — линейном, который подвергся изучению в главе Ц1 при установлении закона Дарси, следующей по простоте задачей является двухмерный или плоский поток. В этой задаче принимают, что распределение вектора скорости в жидкости V зависит только от двух прямоугольных координат системы и остается независимым по отноиш-нию, к третьей. С физической точки зрения, разумеется, всякая жидкость по необходимости имеет свое развитие во всех трех измерениях, но значение плоских течений заключается в том, что при этом все особенности движения жидкости можно рассматривать в одной плоскости. Для всех иных плоскостей, параллельных данной, характер движения будет тождественным. Проблемы плоского течения, имеющие практический интерес, представлены в общем следующими двумя типами задач. Первый тип ограничен горизонтальным плоским движением, где V не зависит от вертикальной координаты 2. Такие задачи возникают при рассмотрении песчаников с постоянной мощностью, все поры которых заполнены жидкостью и разбурены скважинами, вскрывшими всю мощность песчаника. При этом течение должно быть по необходимости плоским. Отсюда следует, что если даже сила тяжести и воздействует на каждый элемент жидкости, то последний будет двигаться всей своей массой в вертикальном направлении, или же нигде не будет иметь перемещения, а отсюда и скорости по вертикали. Поэтому становится ясным, что сила тяжести в любом случае при этом типе движения не имеет никакого значения. Поэтому можно совершенно точно принять давление р эквивалентом потенциала скорости. [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...