Уравнения Лагранжа II рода. Общее уравнение механики

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

Кроме указанных двух способов, существует третий, наиболее общий способ, основанный на применении известных из теоретической механики уравнений Лагранжа второго рода, которые при отсутствии сил сопротивления и внешних возмущающих сил имеют вид [c.554]

Канонические уравнения применяются, главным образом, при исследовании теоретических проблем аналитической механики,в особенности при изучении общих методов интегрирования уравнений динамики. Широко применяются канонические уравнения и в небесной механике. С другой стороны, их применение к простейшим конкретным задачам не приводит к большей эффективности по сравнению с решением, основанным на уравнениях Лагранжа второго рода. [c.149]

Уравнения Лагранжа второго рода являются наиболее универсальными, наиболее общими уравнениями механики. Они широко используются не только в теоретической механике и ее приложениях, по и в других науках, входящих в теоретическую физику. [c.304]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

Покажем, что общее уравнение динамики и уравнения Лагранжа второго рода в той форме, как они есть, дают возможность составить полную относительно неизвестных систему уравнений, учитывающих трение, если ввести избыточные координаты по числу реакций, сопровождаемых трением. Считаем, что механическая система состоит из абсолютно твердых тел, контакт между которыми осуществляется в отдельных точках, и реакции могут быть найдены только из уравнений механики. При этом избыточные координаты подчинены условиям [c.39]

Замечание. Для решения задачи можно также использовать методы аналитической механики общее уравнение динамики ( 13.2), уравнение Лагранжа 2-го рода ( 13.4) и метод графов для определения скоростей ( 8.5). [c.262]

Применение криволинейных координат общего вида мы рассмотрим в части курса, посвященной аналитической механике в аналитической статике и в главах, содержащих уравнения Лагранжа 2-го рода и уравнения Гамильтона. В этой главе рассмотрим лишь полярные координаты точки на плоскости, координаты весьма удобные для решения многих задач динамики точки, например, задач о движении точки в центральных силовых полях. [c.15]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

Уравнения (16) приведены в книге В.Д. Мак-Миллана [2] и удобны для приложений. В ряде задач (см. например, в нижеприведенной задачеЗ) выгоднее построить две функции (я, t), С(1, Днежели вычислить кинетическую энергию абсолютного движения системы. Уравнения (14), (15) и (16) имеют довольно компактный ввд и охватывают широкий класс задач об ошосительном движении, распространенных в учебных курсах по теоретической механике. Вывод уравнений (14) или (16) можно осуществить независимо (задаваясь соответств)ао-щими предпосылками), следуя схеме вывода общих уравнений для относительного движения (4), (5), (10), (11), (13), предложенной в п. 2, 3, 4. Причем вывод уравнений (14), (16) сравнительно краток и не займет много времени, например, на лекции или на практическом занятии по теме Уравнения Лагранжа второго рода . В связи с этим уравнения (14) и (16) могут быть рекомендованы для использования в учебном процессе. [c.27]

Говоря о дифференциальных уравнениях как о средстве математоте-ского описания законов явлений, необходимо подчеркнуть, что само написание, составление дифференциальных уравнений, относящихся к той или другой области естествознания, очевидно, выходит за рамки математики и принадлежит самой изучаемой области естествознания. При этом составление дифференциальных уравнений всегда связано с некоторой идеализацией действительности, так что соответствующие дифференциальные уравнения всегда являются математическим описанием некоторой упрощенной модели реальных явлений. Кроме того, даже в таких областях, в которых общие принципы составления дифференциальных уравнений для очень широкого класса задач известны, как, например, в механике, где существует рецептура составления дифференциальных уравнений движения (уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода), рассмотрение частных задач, как правило, всегда требует не формальных соображений. Эти соображения заведомо выходят за рамки математики. [c.12]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Рассмотренным выше (см. пункты 2—4) принципам соответствуют законы сохранения классической механики — это, так сказать, физическая точка зрения. С аналитической же точки зрения они дают зависимости, которые при соблюдении определенных условий приводят к интегралам дифференциальных уравнений движения. Разработка этих принципов в течение первой половины XVIII в. облегчала установление такой их связи с дифференциальными уравнениями движения. Но для того чтобы их объединить в общей аналитической трактовке (а это, как мы увидим, стало делом Лагранжа), понадобилось установление принципов другого рода, что также стало делом XVIII в. Почему это понадобилось тогда же Ответ таков. В работах, на которые мы ссылались в этой главе, вполне очевидны две тенденции. Их авторы рады любой возможности показать значение своих результатов для познания закономерностей системы мира , т. е. Солнечной системы, а движение небесных тел — движение свободное, на него не наложены никакие связи. Одновременно в этих работах отмечается польза вводимых или обобщаемых принципов при рассмотрении системы со связями— в первую очередь то, что при соблюдении известных условий можно избежать явного введения трудно определяемого воздействия различных препятствий . Ведь задачи со свтзями земной механики еще не имели сколько-нибудь общей теории [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...