Закон Гука обобщенный для анизотропного

Это уравнение выражает закон Гука, обобщенный для анизотропной среды. Можно заметить, что для изотропного случая [c.17]

Теперь посмотрим, как выглядит обобщенный закон Гука для анизотропной среды. [c.43]

Обобщенный закон Гука для изотропного и анизотропного тела [c.38]

Следует отметить, что теорема Бетти о взаимности работ может быть подобным же образом доказана и для любого анизотропного тела, для которого обобщенный закон Гука в самом общем виде может быть представлен выражениями (2.2). [c.45]

Для плоских линейно упругих анизотропных композитов обобщенный закон Гука в тензорных обозначениях имеет вид [c.234]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Обобщенный закон Гука для анизотропного тела можно сформулировать так в каждой точке тела компоненты тензора деформаций являются однородными линейными функциями компонент Oij тензора напряжений. [c.8]

Соотношения (3.1) и (3.2) описывают так называемый обобщенный закон Гука для анизотропного упругого тела. [c.17]

Классическая теория упругости основана на обобщении закона Гука, который вначале был сформулирован для пружины или пружинящего тела . Так называемый обобщенный закон Гука устанавливает, что в каждой точке линейно-упругого трехмерного тела шесть компонент тензора напряжений = ji линейно связаны с шестью компонентами тензора деформаций = e . Постоянные, связывающие компоненты напряжений и деформаций, характеризуют упругие свойства тела. Пока предположим, что эти свойства не зависят как от положения, так и от ориентации, т. е. будем считать, что тело однородно и изотропно. Некоторые аспекты линейной теории упругости для однородных анизотропных тел будут рассмотрены в дальнейшем. [c.23]

Физические точки V образуют сплошную среду, которая в общем случае может быть анизотропна, компоненты тензоров макронапряжений и макродеформаций для этой среды связаны обобщенным законом Гука [c.387]

Для анизотропного (однородного) упругого тела в общем случае обобщенный закон Гука имеет вид ст/у = (/,/, к, / = 1, 2, 3) Компоненты тензора упругих [c.73]

Обобщенный закон Гука для анизотропного тела [c.384]

Приведенные в первой главе формулы и уравнения справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она упругой, пластической или находится в любом другом физическом состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для которых зависимости между деформациями и напряжениями носят линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука. По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а тела с различными упругими свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке линейная [c.68]

Заметим, что условно, исключительно для простоты изложения, мы можем называть прямолинейно-анизотропным и неоднородное тело, если уравнения обобщенного закона Гука для него задаются в декартовой системе координат А а — заданные функции х, у, г). [c.25]

Решая конкретную задачу теории упругости, нам приходится использовать уравнения обобщенного закона Гука, в которые входят упругие постоянные или Л у. Эти величины в случае анизотропного тела зависят от направлений осей координатной системы, и если направления осей изменить, то изменятся и. значения упругих постоянных. Исключение составляет изотропное тело, у которого уравнения обобщенного закона Гука сохраняют свой вид в любой ортогональной системе координат, а соответствующие упругие постоянные остаются неизменными (инвариантными). При изучении напряженного состояния часто может возникнуть вопрос известны постоянные ац и Aij для координатной системы X, у, 2, но удобнее пользоваться другой ортогональной системой х, у (рис. 3). Требуется найти постоянные а[., для второй [c.37]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

Уравнения термоупругости для анизотропного тела. Для тела с упругими свойствами, различными в разных направлениях, например для стеклопластиковых материалов, обобщенный закон Гука записывают как [c.124]

Соотношения (6.10) носят название обобщенного закона Гука для анизотропного упругого тела. Коэффициент ii,mn образуют тензор упругих констант. Их всего восемьдесят одна. Действительно, пусть преобразование координат дается формулой x i = lijxj. Тогда в новых осях x i компоненты тензора напряжений а ц найдутся по формуле [c.114]

Рассмотрим достаточно большой объем анизотропного тела и вырежем из него в различных направлениях по отношению к связанной с телом системе координат призматические образцы для испытаний на растяжение. Для материала, не обладающ,его симметрией строения, поведение таких образцов при одинаковых условиях нагружения не будет идентичным. Однако большинство материалов, применяющихся в инженерной практике, имеют направления, в которых реакция материала на идентичное нагружение является одинаковой. Это свойство должно быть отражено в структуре обобщенного закона Гука. [c.18]

Яркой иллюстрацией упомянутых здесь преимуществ метода математического моделирования является хорошо известная в настоящее время линейная теория механического поведения анизотропных композитов. Например, для двумерного ортотроп-ного композита математическая модель (обобщенный закон Гука) характеризует податливость тензором четвертого ранга, откуда следует, что измерение всего четырех независимых компонент (5ц, Si2, 22, 5бб) тензора податливости, соответствующих главным направлениям структуры материала, позволяет полностью определить шесть коэффициентов податливости (Sj,, Sjj,. [c.405]

Сделаем предположения относительно свойств материалов слоев. Будем полагать, что материал каждого слоя оболочки в процессе деформахщи остается упругим и подчиняется обобщенному закону Гука для анизотропного тела. Учет анизотро- [c.9]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Обобщенный закон Гука записывается относительно просто (25) для изотропного тела. Однако металлы имеют кристаллическую структуру и являются телами анизотропными. В частности, их упругие свойства в разных кристаллографических направлениях неодинаковы. Это легко понять, если учесть хотя бы разное расстояние между соседними атомами в разных кристаллолрафиче-ских направлениях. Чем меньше это расстояние, тем [c.29]

Для анизотропного тела обобщенный закон Гука существенно усложняется он отражает прямую пропорци-нальность между каждым компонентом тензора деформаций и всеми шестью независимыми компонентами тензора напряжений. [c.30]

Если анизотропное тело обладает симметрией упругих свойств (упругой симметрией), то уравнения обобш,енного закона Гука для него упрош аются, так как некоторые из коэффициентов оказываются равными нулю, тогда как между другими появляются линейные зависимости. Эти упрош,ения можно вывести, применяя следуюш,ий метод. Отнесем тело к системе координат х, у, 2, а затем ко второй — х у, г, симметричной с первой, в соответствии с тем видом симметрии, какая наблюдается в теле. Направления осей х.у ъ и х у 2 одинакового наименования будут направлениями, эквивалентными в отношении упругих свойств, а поэтому уравнения обобщенного закона Гука для симметричных систем координат запишутся одинаково. Записав эти уравнения в системе д , у, 2 и в системе х у 2, далее переходим к одной из них, выражая, скажем, х, у, через х, у, ъ. Сравнивая получившиеся одноименные уравнения, мы находим зависимости между или Л Вместо уравнений обобщенного закона Гука можно взять выражение упругого потенциала, записанное в основной системе х, у, z и симметричной х у, z Переходя во втором выражении к системе х, у, zш приравнивая упругие потенциалы, приходим к тем же результатам. [c.31]

Пусть тело является однородным криволинейно-анизотропным и следует обобш,енному закону Гука, т. е. сос-тавляюш,ие деформации являются линейными функциями составляющих напряжения, и наоборот. Обозначим через Г], координатные направления упомянутой криволинейной системы координат. Тогда, предполагая, что существует упругий потенциал, можем записать уравнения обобщенного закона Гука для однородного [c.65]

Уравнения в общем случае содержат 21 упругую постоянную, но из НИХ независимых, инвариантных, будет, как и для прямолинейно-анизотропного тела, только 18 констант. Можно, конечно, записать и в этом случае уравнения обобщенного закона Гука в ортогональной декар-товой системе координат, но тогда в уравнениях обобщенного закона Гука коэффициенты у уже не будут постоянными и будут меняться от точки к точке в связи с изменением координатных направлений. [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...