Поведение траекторий на бесконечности

ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ [c.237]

Поведение траекторий на бесконечности [c.237]

Общие замечания. Преобразование Бендиксона. При исследовании качественной структуры разбиения на траектории у конкретных динамических систем в тех случаях, когда системы определены на всей плоскости, большую роль могут играть сведения о поведении траекторий при неограниченно увеличивающихся значениях х ж у или, как говорят, на бесконечности . Знание поведения траекторий на бесконечности часто является -очень полезным и при исследовании динамических систем в ограниченной части плоскости. [c.237]

Так, например, с помощью исследования на бесконечности можно иногда установить вполне точно, к какому из состояний равновесия стремится сепаратриса, выходящая из данного седла (глава ХП, 30, примеры 5, 6, 9 и др.), или доказать существование у системы предельного цикла. Таким образом, вопрос об исследовании поведения траектории на бесконечности , которому посвящен настоящий параграф, имеет существенное значение. [c.237]

Поведение фазовых траекторий на бесконечности. Проведя замену Х= у/г, У = /г, перейдем от рассмотрения бесконечно удаленных концов оси у к анализу точек на экваторе сферы Пуанкаре (см. 2.6). Вместо системы (4.12) получим уравнения [c.119]

Пример исследования экватора. Рассмотрим, например, поведение на бесконечности траекторий системы [c.249]

Рассмотрим поведение траекторий системы в бесконечности. С помощью преобразования Пуанкаре У = , и умножения полученных уравнений на 2 получим йх [c.501]

Для выяснения деталей закритического поведения идеальной системы обратимся к соотношению (18.142). В критическом состоянии, когда Ро = Ро = 0. Это значит, что процесс закритического деформирования начинается с бесконечно малого поворота стойки вокруг точки Ь, лежащей на оси стержня 1. В этот момент стержень 1 не деформируется, а стержень 2 догружается. По мере увеличения нагрузки нейтральная ось смещается вправо, т. е. стержень 1 разгружается, а стержень 2 догружает-ся. В пределе, когда Р = Рг, положение нейтральной оси определяется условием = v/(l +v). Если, удерживая стойку в вертикальном положении, довести нагрузку до уровня Рг < Ро < Рг, а затем связь удалить, то траектория закритического деформирования будет иметь вид кривой ВЕ на рис. 18.84, а. С ростом наклона стойки растет и параметр [c.429]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

С целью ограничения числа параметров, определяющих положение и размеры зеркал, любой резонатор можно рассматривать как периодическую фокусирующую систему, в которой траекториям световых лучей, распространяющихся в прямом и обратном направлениях между зеркалами, поставлены в соответствие траектории лучей, периодически меняющих свое направление при попадании на искривленные поверхности линз. В параксиальном приближении тонкая линза эквивалентна зеркалу с таким же фокусным расстоянием, так что резонатор можно рассматривать как бесконечную последовательность линз, фокусные расстояния которых равны фокусному расстоянию соответствующих зеркал, а расстояние (1 между линзами равно длине резонатора (рис. 7.16) (принято считать, что радиус кривизны вогнутого зеркала положителен, а выпуклого — отрицателен). Таким образом, поведение волнового фронта в резонаторе можно изучать, рассматривая [c.497]

Заметим, что, хотя мы и полагали <С 1, параметр группирования X = = оС/2 может быть и не малым, поскольку во принимает любые значения. Поведение сгруппированного тока в зависимости от и от параметра X, пропорционального длине I трубы дрейфа, иллюстрирует рис. 18.3, взятый из [8]. Из сравнения зависимостей плотности от координаты на рис. 18.1 и зависимостей на рис. 18.3 легко установить соответствие волнового и корпускулярного подходов к описанию процесса группирования. Условия ди/дх оо и р оо в волновой картине соответствуют Х = 1и/—> оов корпускулярной . Из последнего условия X = = 1 находим, что фазовый фокус — уплотнение бесконечно большой величины — образуется на расстоянии 1о = 2г>о/(С )-Траектории таких фокусов представлены на рис. 18.Зе. [c.374]

Определение 1.1 тем самым предполагает, что касательное пространство разделено на два подпространства Е .х), Е х), определяемые тем, что бесконечно близкие траектории, отвечающие vbE (x) (г б (л )), экспоненциально сближаются при i- +oo (t- —оо). Мы увидим далее, что из такого поведения уравнений в вариациях вытекает аналогичное поведение настоящих траекторий. [c.125]

Имеется линия фиксированных точек — положительная полуось X, куда приходят траектории при с < 0. Сепаратриса х = у разделяет траектории при с < О на заканчивающиеся в каких-либо фиксированных точках. Ее следует связать с точкой Т = фазового перехода в системе, а область значений параметра с < О — с условием Г < Гс и область с с > О — с условием Т > Гс. Основанием к этому является поведение корреляционной длины в соответствующих областях. Так, при с < О фиксированные точки достигаются нри а оо как следует из выражения (15.60), что отвечает бесконечной корреляционной длине. С другой стороны, при с > О выражение (15.61) определяет корреляционную длину = а [c.174]

I, Сепаратрисы седел (1.51) разбивают все фазовое пространство системы на отдельные ячейки. Сепаратрисы, выходящие из седла, могут оканчиваться а) в узле или фокусе б) в другом седле или в том же седле — это негрубыс случаи в) уходить на бесконечность (в случае систем второго порядка поведение траекторий па бесконечности может быть изучено с помощью преобразования Пуанкаре), (Андронов и др., 1959, 1966) г) наматываться на предельный цикл. [c.38]

Из рассмотрения поведения траекторий в бесконечности следует, что для этой системы на экваторе сферы Пуанкаре имеется пара узлов — положительпый конец оси у — неустойчивый узел, ii отрицательный конец оси у — устойчивый узел. Теперь можно однозначно установить [c.502]

В 2.5 был сформулирован достаточный признак отсутствия уходяпщх в бесконечность траекторий, основанный на идеях второго метода Ляпунова и пригодный для систем И-го порядка весьма общего вида. Здесь мы изложим схему исследования фазовых траекторий на бесконечности только для системы (2.1) при условии, что Р и Q - многочлены. Однако, в отличие от изложенного в 2.5 критерия, эта схема дает исчерпывающую информацию о поведении фазовых траекторий в бесконечно удаленных точках фазовой плоскости. [c.69]

Сложные особые точки не отражают стадионарных состояний реальных физических систем, но знание их необходимо в связи с анализом поведения фазовых траекторий на бесконечности, решением воцросов бифуркаций в конгфетных системах и исследованием ряда других задач качественной теории нелинейных колебаний. В связи о этим приведем результаты анализа некоторых типов сложных положений равновесия при Д = 0. [c.333]

Т. о., эргодич. теоремы позволяют говорить о предельных временных средних или о временнь1х средних пй бесконечному отрезку времени. Существование последних — признак нек-рой регулярности в поведении траектории ДС, но эта регулярность связана с усреднением, а потому носит лишь статистич. характер. Что касается предельного временного среднего, то его можно охарактеризовать в гсом. терминах, не прибс1 ая к помощи усреднения. Здесь ключевую роль играет понятие инвариантной функции. Так называются ф-пии, постоянные вдоль траекторий почти всех точек фазового пространства. Множества, индикаторы к-рых инвариантны, наз. инвариантными множествами. В пространстве инвариантные ф-ции образуют линейное подпространство, и предельное временное среднее / любой ф-ции feL совпадает с её ортогональной проекцией на это подпространство. Аналогичным образом можно охарактеризовать / ив том случае, когда / имеет лишь интегрируемый модуль, т, е. принадлежит пространству L . [c.627]

Рд). В физической области п, р > О состояние системы при любых начальных значениях плотностей дислокаций и границ характеризуется фазовой траекторией, стремящейся к фокусу Р. Такое поведение отвечает колебательному выходу на режим п = Пр, р = рр со скоростью, определяемой интенсивностью процессов аннигиляции дислокаций [233]. При полном ее отсутствии (р = оо) верхнее седло 3(0, р ) смещается на бесконечность, фокус Р перерождается в центр, а витки спирали — в замкнутые кривые, охватывающие его. Именно такой случай Ро = 00 отвечает классической постановке задачи хищник—жертва [232]. При этом эволюция системы протекает по одной из замкнутых кривых, охватывающих центр. Включение процессов аннигиляции дислокаций, отражающееся спаданием параметра < оо, приводит к трансформации замкнутых интегральных кривых в витки спирали, число которых уменьшается с усилением аннигиляции. Поскольку каждый из витков отвечает провалу на зависимости Ну , то из рис. 73 следует, что в действительности спираль должна содержать небольшое число таких витков. С ростом деформации система эволюционирует по одному из них, например, витку АВСПЕ на рис. 74. При этом плотность дислокаций сначала уменьшается от р до р . (на кривой зависимости Ну е ) это отвечает [c.264]

О поведении ключевой сеператрисы. Исследуя изоклины, заключаем, что ключевая сепаратриса не может уйти на бесконечность на фазовой плоскости. Поскольку в полосе П (и П, см. главу 2) не существует замкнутых кривых из траекторий системы (1.17), ключевая сепаратриса либо войдет в точку 0, либо под прямым углом пересечет прямую. [c.166]

Указанный сл чай, когда / сохраняет знак ири больших зиачсн 1ях у, является, однако, весьма частным. Поэтому необходимо дать сиосоо . исследования системы на бесконечности, пригодные не только в этом частном случае. Обычно эти способы основаны на том, что плоскость дополняется бесконечно удаленными элементами , превращаясь тем самым в компактное многообразие, а затем рассматривается поведение траекторий в окрестности указанных бесконечно удаленных элементов. [c.238]

Маркус [47] также рассматривает вопрос о разделении плоской области на ячейки с одинаковым поведением траекторий. Однако подход его к этому вопросу несколько отличается от изложенного в настоящей книге он ие выделяет отдельных особых и псособых траекторий, а сначала непосредственно рассматривает области, заполпениые траекториями со сходным поведением (точные определения см. [47]). В тех случаях, когда число особых траекторий конечно, области, определенные Маркусом, совпадают с ячейками в смысле главы VII. Затем оп рассматривает замкнутое, состоящее из траекторий множество, дополнительное к полученному им открытому множеству, являющемуся суммой всех определенных им областей с траекториями одинакового поведения , пе выделяя индивидуальных особых траекторий. При подходе Маркуса естественным образом возникает необходимость в рассмотрении ие только конечного, U0 и бесконечного числа особых траекторий (если употребить терминологию настоящей книги). Так, например, возникает необходимость в рассмотрении случая, когда счетное множество предельных циклов накапливается к некоторой замкнутой траектории ). [c.556]

Никакого вывода о поведении незамкнутых фазовых кривых на бесконечном интервале времени (например, об устойчивости исходной периодической траектории по Ляпунову) из наших рассуждений не вытекает, так как отброшенные при приведении к нормальной форме члены высокой степени могут за бесконечное время совершенно изменить характер движения. В действительности в рассматриваемых условиях исходная периодическая траектория устойчива по Ляпунову, но док Сзательство требует существенно новых соображений по сравнению с нормальной формой Биркгофа (см. добавление 8). [c.365]

Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности. Сфера Пуанкаре. Во многих случаях черезвычайно полезными для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, т. е., так сказать, исследование бесконечно удаленных частей плоскости. В случае, когда правые части динамической системы — многочлены, для этого используется отображение фазовой плоскости на так называемую сферу Пуанкаре , т. е. на сферу радиуса единица, касающуюся плоскости х, у) в начале координат. Каждой точке х, у) плоскости ставятся в соответствие две точки сферы, лежащие на прямой, [c.107]

Случай отрицательной полной энергии (С < 0) является более сложным и распадается на несколько классов, причем можно отметить, что один тип динамического поведения системы совсем не обязательно исключает остальные возможные типы. В процессе взаимодействия тела описывают сложные траектории, включающие тесные сближения друг с другом. При этом во многих случаях гг/ <г (г — малое расстояние). За этим может последовать выброс, если два тела образуют двойную систему, а третье тело удаляется с эллиптической скоростью относительно центра масс этой системы. Если третье тело достигнет скорости освобождения, то оно удаляется на бесконечное расстояние. Такую ситуацию можно классифицировать как уход гиперболическо-эллиптическое движение). [c.173]

Пример [4]. Рассмслрим поведение на бесконечности траекторий системы [c.73]

Аналитические решения такого рода уравнений получены для задач в идеализированной постановке (плоскость с полу-бесконечной или конечной трещиной, пространство с дисковидной трещиной и т. д.) при воздействии гармонических и ударных нагрузок (достаточно полный их обзор дан в работах [148, 177, 178, 199, 220, 271]. Однако эти решения дают представления о реальном поведении конструкции конечных размеров только в начальный период времени (до прихода в вершину трещины волн напряжений, отраженных от границ тела). Кроме того, они не учитывают разнородности материала конструкции по механическим свойствам, изменения граничных условий по-берегам трещины в процессе ее продвижения траектория трещины считается прямолинейной, а удельная эффективная энергия, затрачиваемая на образование новых поверхностей yf, принимается постоянной и не зависящей от скорости деформирования. Очевидно, что с помощью методов, имеющих указанные ограничения, навряд ли можно дать надежные оценки работоспособности элементов конструкций сложной формы и характера нагружения. Поэтому широкое распространение получили численные методы расчета динамических параметров механики разрушения [177, 178]. [c.241]

Постараемся выявить преимуш,ества унифокального уравнения по сравнению с другими уравнениями кривых второго порядка. В первую очередь, оно дает очень простую параметризацию непрямолинейных кеплеровых орбит. Действительно, каждой тройке (а,/3,7) 7 > О сопоставляется одна такая орбита и наоборот. Признаем, что поведение этих параметров, когда 7 = стремится к нулю, немного любопытно все прямолинейные орбиты переходят на окружность 7 = О, /с = = + = 1. Но рассмотрим решение нашего унифокального уравнения при а + /3 >1и7 = 0. Это пара прямых. Нельзя сказать, что у этой вырожденной кривой второго порядка нет никакой интерпре-таци. Она соответствует пределу гиперболических траекторий, когда кинетический момент равен нулю, а энергия бесконечна. [c.32]

Сами по себе гомоклинные точки еще не дают полной картины всей этой очень сложной области вблизи сепаратрисы. Так как период фазовых колебаний обращается в бесконечность на сепаратрисе, то в ее окрестности имеется бесконечно много вторичных резонанов, соответствующих высоким гармоникам частоты фазовых колебаний. Каждый из этих резонансов имеет свою собственную систему чередующихся эллиптических и гиперболических точек, со своим сложным движением в их окрестности и многократными пересечениями как своих сепаратрис, так и сепаратрис первичного резонанса в гетероклинных точках. Все эти сепаратрисы, по-видимому, всюду плотно заполняют доступное им фазовое пространство. Пересечение сепаратрис фактически показывает, что в этой области не могут существовать инвариантные торы вследствие изменения топологии траекторий ). Подробное обсуждение этих вопросов дано Драгтом и Финном [107]. Однако для малых возмущений все это чрезвычайно сложное поведение происходит лишь в ограниченной инвариантными кривыми области фазового пространства (рис. 3.4, а). [c.200]

Экспоненциальная расходимость хаотических траекторий может быть только локальной, так как если система ограниченна (а большинство физических экспериментов ограниченно), то d t) Ht может возрастать до бесконечности. Следовательно, для того чтобы определить меру расходимости траекторий, необходимо усреднить экс поненциальный рост по многим точкам вдоль траектории, как показано на рис. 5.26. Вычисление показателя Ляпунова начинается в выбора реперной траектории [Вулф и др. [209] называют ее опор-ной траекторией], точки на соседней траектории и измерения величины d( O/dg. Когда расстояние d( t) становится слишком большим (т. е. рост его отклоняется от экспонешшального поведения), экспериментатор находит новую соседнюю траекторию и определяет новое начальное расстояние dgi /). Показатель Ляпунова мож- [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...