Преобразование функций одного угла

Преобразование функции одного угла. Основные соотношения [c.64]

Следовательно, всякий малый вектор А при отображении можно получить из соответствующего малого вектора Az путем умножения длины последнего на некоторый коэффициент т (коэффициент растяжения) и поворота на угол Во- При этом коэффициентом растяжения служит модуль производной отображающей функции, а углом поворота — ее аргумент. Поскольку это справедливо для любого вектора Az, выходящего из точки Zo, то все такие векторы будут при отображении растянуты или сжаты в одно и то же число раз. Иными словами, рассматриваемое отображение является преобразованием подобия в бесконечно малом. Так, например, окружность малого радиуса с центром в точке Zq после отображения перейдет в окружность. Любая другая малая фигура перейдет в себе подобную. Однако это не значит, что останутся подобными и фигуры конечных размеров. Напротив, изменения их конфигураций могут быть весьма значительными. [c.237]

Другой простой и наглядный алгоритм основан на связи фурье-преобразований функций f x,y) и f p). Представим функцию f x,y) в виде набора синусоид, произвольно ориентированных в пространстве и постоянных вдоль одной из осей. На рис. В.6,а приведена одна из них. Рассмотрим проекцию синусоиды, полученную таким образом, что направление зондирования совпадает с образующей синусоиды. Нетрудно заметить, что она также будет представлять собой синусоиду, период которой совпадает с периодом исходной функции. Если направление зондирования не совпадает с образующей синусоиды, интеграл от нее вдоль любой прямой будет равен нулю. Таким образом, в фурье-спектр проекции, полученной под углом ф, внесут вклад только те пространственные частоты функции f x,y), образующие которых параллельны направлению зондирования. Если мы рассмотрим преобразование фурье-проекции (шр), то увидим, что оно совпадет с распределением фурье-образа F u,v) двумерной функции f x,y) вдоль линии, проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению зондирования (рис. В.6,6). [c.13]

От второго из указанных недостатков свободна схема, близкая к рассмотренной, но в ней пространственный фильтр не перестраивается. Изменение длины волны, пропускаемой спектрометром, осуществляется путем поворота одного из зеркал. Одной и той же пространственной частоте в соответствии с формулой (38) при разных углах соответствуют различные XI На рис. 55,6, иллюстрирующем работу этого прибора, аппаратная функция, имеет постоянную ширину и неподвижна. Сканирование спектра осуществляется изменением масштаба преобразования составляющих спектра в соответствующую пространственную частоту (характер деформации спектра показав пунктиром). [c.63]

Из (2.46), (2.47) следует, что в вариантах R1- 1, R2- 2, R3- 1, R4- 2 модуль эллиптических интегралов к = 0. Можно показать, что в этом случае выражения (2.46), (2.47), будучи подставленными в (2.42) и (2.43), после ряда преобразований приводят к одной и той же форме общего решения, в которой эллиптические функции заменены обычными тригонометрическими. Варианты R3- 0, R4- 0, которые могут иметь место только при выполнении необходимых условий (2.36), (2.37), соответствуют движению по сепаратрисе. При этом согласно (2.46) и (2.47) модуль к = , откуда следует, что частота колебаний угла атаки Ша = О, а период является бесконечно большой величиной. Это объясняется асимптотическим замедлением движения вблизи седловой особой точки. [c.81]

В случае рассеяния бесспиновых частиц достаточно было одной функции преобразования (0ср I/яг) — шаровой функции. Как видно из приведенных выше примеров, нам нужны функции преобразования, которые осуществляют переход от представления полного момента (в котором 5-матрица имеет наиболее простой вид) к представлению составляющих моментов (спинов частиц, орбитальных моментов). От этого представления уже можно перейти к представлению углов и, воспользовавшись общими формулами для сечений (23,8), получить угловые распределения и другие характеристики. [c.150]

Обычно это имеет место для всех физически разумных функций. Для аналитических функций углы между пересекающимися кривыми в плоскости ху сохраняются и между соответствующими кривыми в плоскости UV. Поэтому ортогональные семейства кривых (например, эквипотенциальные и силовые линии) в одной плоскости останутся ортогональными при отображении в другую плоскость, хотя и могут быть соверщенно искажены в целом. Преобразование этого вида называется конформным отображением или конформным преобразованием. [c.111]

Блок-схема одного из каналов управления гиростабилизатора представлена на рис 9.20, а. Независимо от сложности решаемых ЦВМ вычислительных задач (преобразование координат, решение прямоугольных или сферических треугольников, счисление пути и т. п ) во многих случаях можно считать, что ЦВМ определяет разность между требуемым значением угла стабилизации а и ею действительным значением айв функции этой разности прикладывает к системе управления гиростабилиЗатора регулирующее [c.324]

При выполнении расчетов хода лучей на современных электронных вычислительных машинах, вообще говоря, могут быть использованы обычные тригонометрические формулы. Однако, как правило, в этом случае на расчет затрачивается больше времени, чем при использовании нескольких преобразованных формул, в которых переход от углов к тригонометрическим функциям и обратно исключен путем введения радикалов. Это объясняется тем, что на нахождение синуса и, главным образом, арксинуса машины тратят больше времени, чем на извлечение квадратного корня. В остальном расчет хода лучей, выполняемый на машине, принципиально не отличается от обычного тригонометрического расчета, выполняемого вручную. Но, несмотря на отсутствие принципиальных трудностей, составление удобной в эксплуатации программы для массового расчета хода лучей является трудоемким и кропотливым делом. Однако затраты на составление программы окупаются чрезвычайно быстро, так как одна и та же программа используется годами и по ней выполняются тысячи расчетов. Выполнение расчетов хода лучей с помощью машин позволяет [c.378]

Для определения передаточной функции разветвленная структурная схема перестраивается в одноконтурную путем ее преобразований по определенным правилам объединения звеньев в одно эквивалентное и переноса звеньев через сумматоры и углы. [c.73]

Здесь же в качестве общего замечания укажем, что система (340, (35 , (36) определяет в функции времени, кроме р, q, г, уже не углы Эйлера 6, ф (подвижных осей относительно неподвижных), а только направляющие косинусы ifj, Тз вертикального единичного вектора х относительно Oxyz, и вся аналитическая трудность задачи заключается именно в интегрировании этой системы. Всякий раз как будут определены в функциях от времени проекции угловой скорости р, q, г п направляющие косинусы fj, тСд, соответствующие выражения углов Эйлера найдутся путем несложных алгебраических преобразований и одной квадратуры. Действительно, пользуясь известными соотношениями (22) [c.102]

Здесь же мы покажем, что после определения угловых скоростей р, q, гв функции времени t в данном случае достаточно одной квадратуры и некоторых алгебраических преобразований, чтобы найти в функции времени и углы Эйлера, определяющие положение системы Oxyz относительно системы Olt] в общем же случае для этой цели необходимо интегрирование (невыполнимое в квадратурах) уравнения Риккати (т. I, гл. IV, 8). [c.85]

Эти канонические формы допускают следующую геометрическую интерпретацию три пересекающиеся окружности с углами, отличными от нуля, с помощью дробно-линейного преобразования могут быть превращепы в треугольник, две стороны которого прямолинейны (одна из них совпадает с осью ОХ), а третья представляет окружность. В дальнейшем мы оставляем случай прямолинейного треугольника в стороне по той причине, что в этом случае решение задачи упрощается оно получается в квадратурах, не содержащих гипергеометрических функций под знаком интегралов. Действительно, углы треугольника суть па, л (у — у ) их сумма должна равняться л, т. е. а Ч р + V Но по [c.122]

Преобразование плоскости, осуществляемое аналитической функцией w == =f z), обладает свойством, что в окрестности точки 2, для которой w z O, бесконечно малые векторы всех направлений )) увеличиваются (или уменьшаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное w (с точностью до бесконечно малых высшего порядка), и 2) поворачиваются на один и тот же угол, равный arg w. Фигуры в бесконечно малой оэласти преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется конформным, оно является обобщением преобразования подобия. Конформное отображение сохраняет постоянными углы между любыми двумя линиями отображаемой фигуры в частности, координатные линии л = onst, у — = onst преобразуются в два семейства взаимно-ортогональных кривых, и обратно для любого конформного отображения существует некоторая ортогональная сетка кривых изотермическая сетка), которая преобразуется в декартову прямоугольную сетку. [c.201]

При п—2 множество К. о. разнообразнее, В этом случае двумерную плоскость удобно реализовать как пространство С комплексных чисел z=x- -iy. Добавляя к С бесконечно удалённую точку, рассматривают также К. о. областей расширенной комплексной плоскости С. Отображение области D на область D расширенной комплексной плоскости С конформно тогда и только тогда, когда оно либо задаётся нек-рой аналитической функцией f (z), определённой и однолистной в D, и такой, что D =f D], либо является суперпозицией описанного преобразования и комплекс1Юго сопряжения. В первом случае К. о. сохраняет не только величины углов, но и их знаки во-втором — знаки углов меняются на противоположные. Любые две односвязные области D и D в С, границы к-рых состоят из более чем одной точки, конформпо эквивалентны, При этом для произвольных точек из D и Z0 из D и произвольного вещественного числа 9 существует одна и только одна аналитич. и однолистная в D ф-ция /(z), такая, что f D) D, arg/ (2(,)—0 (теорема Р и м а н а). [c.453]

Подход, рассмотренный в предьщущем разделе, можно применить и к случаю непериодических объектов, потому что дискретные порядки дифракции не являются его необходимой предпосылкой. Непериодический объект можно считать эквивалентным одной апертуре (щели) решетки, и мы знаем, что в этом случае используется преобразование Фурье вместо рядов Фурье. Дифракционная картина в фокальной плоскости линзы представляет собой картину непрерывного рассеяния с угловым изменением амплитуды и фазы, зависящим от апертурной функции это-преобразование Фурье от функции амплитудного распределения по объекту (ср. оценку линзы как преобразователя Фурье в разд. 4.2). Восстановление этой картины в плоскости изображения сводится к суммированию интерференционных полос, создаваемых парой дифрагированных лучей (под углом + 0 на рис. 5.4), но с непрерьш-ным диапазоном разнесения полос и ориентаций. Формирование изображения может быть описано как процесс двойного преобразования Фурье. Это описание в общем применимо как к периодическим, так и к непериодическим объектам, поскольку даже первые из них имеют конечный размер, что позволяет говорить об изображении как о преобразовании дифракционной картины, независимо от природы объекта. Мы уже использовали эту идею в разд. 4.5. [c.96]

Введенное в гл. 8 фурье-преобразование координат означает, переход к степеням свободы винта как твердого тела. Каждая степень свободы в невращающейся системе координат (общий шаг, циклический шаг и безреакционное движение) определяет относительное движение всех N лопастей винта, а значит, и соответствующую зависимость между интенсивностями образующихся за лопастями вихревых следов. Поэтому входящая в функцию уменьшения подъемной силы С величина W для каждой из таких степеней свободы должна определяться отдельно. При изменении общего шага движение всех лопастей происходит в одной и той же фазе по времени, так что сдвиг по фазе в интенсивности пелены связан лишь с наличием угла между лопастями. При нулевом сдвиге фазы по времени (Аг]) = 0) имеем [c.461]

Д. служит для преобразования поступательного движения одного пол-вуна 1 в поступательное движенте другого ползуна 2. Направляющие для перемещения ползунов расположены под углом. Взаимодействуют ползуны посредством шатуна АВ. При расположении направляющих под прямым углом (сх. а) функция положения м., связывающая перемещения ползунов Si и Sj имеет форму окружности (сх. б) и записывается в виде s — Ь — ( 1 — Ь) . Это означает, что оба ползуна эквивалентны с точки зрения выполнения ими функций входного или выходного звена. Каждому значению перемещения входного звена соответствуют два значения перемещений выходного звена, кроме крайних [c.75]

Вернемся теперь к отмеченному выше свойству преобразования, осуществляемого регулярной функцией = /(2). Окрестность каждой точки, находящейся внутри области, в которой задана /(г), претерпевает при переходе на плоскость п) всестороннее растяжение или сжатие, величина которого определяется модулем /Ч ), и поворот на угол, равный аргументу / (г). Отсюда следует, что если провести на плоскости 2 через какую-либо точку, в которой / (2) ф О, две кривых, то угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения сохранится при переходе на плоскость го, так как каждая касательная при этом повернется на один и тот же угол в одном и том же направлении. Направление отсчета углов при этом также сохранится. Преобразование, сохраняющее углы по величине и направлению отсчета, называется конформным преоб азованием. Итак, можно сказать, что всякая регулярная функция комплекв-ного переменного осуществляет во всех точках, где / (г) 0, конформное преобразование плоскости 2 на плоскость и>. Разумеется, коэффициент линейного растяжения или сжатия и угол поворота, вообще говоря, различны для разных точек плоскости 2. Поэтому конформное преобразование можно охарактеризовать как обобщенное преобразование подобия (иными словами, как преобразование, сохраняющее подобие бесконечно малых элементов). [c.215]

Кроме того, можно заметить, что весь рассеянный в пределах угла ср свет собирается в фокус в одной точке задней фокальной плоскости. Это эквивалентно интерференции в бесконечно удаленной точке. Следовательно, распределение амплитуды на задней фокальной плоскости соответствует дифракционной картине Фраунгофера, которая дается функцией фурье-преобразования F(u, v). В этом случае и = (81пфд.)/Я, и если ср не слишком велико, то можно написать и = х/Д, V = y/fX. Таким образом, процесс получения изображения можно описать с помощью двух фурье-преобразований излучение, рассеянное объектом, интерферирует па задней фокальной плоскости и дает, дифракционную картину Фраунгофера, которая [c.66]

С теоретической точки зрения указанные два метода должны давать одинаковые нормировочные постоянные если бы экспериментальные данные были свободны от опшбок, то, по-видимому, не было бы никаких оснований отдавать предпочтение одному из методов. В действительности в первом методе экспериментальные данные при больших углах играют гораздо более важную роль, чем во втором. В интегральном методе используются данные для всего доступного интервала значений s в частности, весьма важный вклад вносит, по-видимому, область первого большого пика функции i (s). Для проверки согласованности ко всякому имеющемуся набору данных следует, вероятно, применять оба метода. Для вычисления интеграла (117) нетрудно приспособить цифровую вычислительную программу, используемую при фурье-преобразовании экспериментальных данных по дифракции. Всякое грубое несоответствие результатов, получйнных этими двумя методами, указывало бы на то, что либо в вычислении нормировочных постоянных содержится ошибка, либо данные по рассеянию внутренне не согласованы. Нормировочные постоянные, полученные двумя различными методами для 13 состояний жидкого аргона, изученных Миколаем и Пингсом [62], оказались в хорошем согласии. [c.47]

Нелинейные взаимодействия возможны как при попутном, так и при встречном распространении акустич. волн, а также если их направления распространения пересекаются под нек-рым углом в пространстве (некол-линеарные взаимодействия). Для создания акустоэлектронных устройств наиболее часто используется встречное взаимодействие акустич. волн, к-рое позволяет производить нек-рые функциональные преобразования сигналов — операции свёртки и корреляции. Соответствующие устройства наз. конволюторами, или к о н-в о л ь в е р а м и. Математич. преобразование свёртки состоит в вычислении интеграла по времени г от произведения двух функций и р2 (сигналов), причём одна из функций задерживается на переменное время задержки т, т. е. функция свёртки [c.47]

В области АОВ имеет место частное решение, в котором компо- нты напряжения с , и выражаются в виде линейных и одно-мных функций координат х, у . Четыре произвольные постоянные, содящие в это частное решение, и неизвестные углы а, находят-I из условий на прямых ОА и ОВ. После простых преобразований злучим [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...