Определение корней алгебраических уравнений

Алгоритм и программа расчета тепловой схемы. Алгоритм и программу расчета тепловой схемы целесообразно строить по блочному принципу, выделяя стандартную часть, к которой относят блоки расчета параметров пара интерполяции табличных данных определения корней алгебраических уравнений и т. п. Помимо этой стандартной части, используется общая библиотека стандартных подпрограмм трансляция с входного языка данных обращение к внешним запоминающим устройствам печать результатов расчета и др. [c.176]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ [c.27]

Пример 2.10. Решим задачу об определении знаков действительных частей корней алгебраического уравнении [c.106]

Выразив заданные на торцах оболочки однородные граничные условия (по четыре условия на каждом торце) через функцию w и подчинив последнее выражение этим граничным условиям, придем к системе восьми однородных линейных алгебраических уравнений относительно постоянных Л,-. Условие обращения в нуль определителя этой системы уравнений позволяет найти собственные значения нагрузки Перебирая различные значения числа волн в окружном направлении п, для каждой конкретной оболочки можно найти кр, приводящее к наименьшему собственному значению нагрузки В таком решении машинный счет используется для определения корней характеристического уравнения и для раскрытия определителя восьмого порядка. [c.262]

Определенному решению этих уравнений действительно соответствует при достаточно малых значениях ц единственное аналитическое относительно J. и устойчивое периодическое решение основной системы с периодом ((г), обращающееся при И = О в порождающее, если все корни алгебраического уравнения степени k — 1 [c.55]

Пример 1. Покажем, что в доказательстве существования корня алгебраического уравнения (см. п. 31.2) Пуанкаре практически использует аксиому сводимости. Обсудим этот пример несколько подробнее, воспользовавшись приведёнными определениями и расширив иерархию типов аргумента. [c.217]

Для этих множеств имеем включение й С М С С С Р, т. е. каждое из них включает в себя предыдущее. Поэтому высказываниям относительно значений Г хо) можно присвоить порядок, на единицу больший, чем порядок её аргумента. В доказательстве существования корня алгебраического уравнения А. Пуанкаре вместо непредикативного определения значения Е хо) хо е М) использовал принадлежащий более широкому множеству аргумент второго порядка, для которого определение (дефиниция) значения Р хо) предикативно. [c.218]

Если известно решение х = уравнения (f x, ) = О в некоторой точке t = to, то решение задачи Коши x to) = для уравнения (30.7) является одним из корней уравнения (ж, i) = О [225]. Переходя к фазовому пространству ж, р, запишем гамильтониан Н = pf(x, t). Таким образом, для определения корней алгебраических или трансцендентных уравнений необходимо найти решение канонической системы в виде ж = = x t). Заметим, что в случае (/)(ж, t) = t — F x) решение поставленной задачи позволяет найти функцию x t), обратную F t). [c.333]

Определение корней характеристического уравнения, особенно для систем высокого порядка, является сложным процессом. Поэтому в теории управления разработаны косвенные признаки (критерии устойчивости), которые позволяют судить об устойчивости без определения корней характеристического уравнения. Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости. [c.87]

Решение системы двух алгебраических уравнений соответственно т-й и п-й степени с двумя неизвестными сводится к составлению уравнения т п)-й степени с одним неизвестным путем исключения из системы другого неизвестного после отыскания корней составленного уравнения они подставляются в одно из уравнений заданной системы для определения другого неизвестного. [c.121]

Здесь р2 T3.Pl— невязки величин Р , и Р . Такая форма записи алгебраических уравнений статики позволяет использовать для определения корней обычный метод решения дифференциальных уравнений, сводя к нулю Р 2 и Pj- [c.38]

Расчет искомых параметров состояния на ЭВМ по уравнениям состояния в виде явных функций не вызывает принципиальных вычислительных трудностей. Вычисление искомых параметров состояния из неявных функций, т. е. определение -корней нелинейных алгебраических уравнений, в ряде случаев может привести к значительному замедлению расчета на ЭВМ. Поэтому актуальным является выбор метода ускоренного поиска корпя. В ряде работ [Л. 6, 9, 18] предлагаются приближенные аппроксимирующие зависимости искомых параметров для уточнения корня. При поиске корня в заданных узких пределах изменения аргумента рационально использовать стандартные процедуры поиска корня методом хорд, методом половинного деления, методом Ньютона и т. д. [c.17]

При ограниченном объеме оперативной памяти использование стандартных процедур поиска корня и в случае заданных широких пределов изменения аргумента более рационально, чем обращение к довольно громоздким по размерам программам расчета по аппроксимирующим зависимостям. Определение корней нелинейных алгебраических уравнений часто встречается для расчета температуры при известных значениях одного из параметров состояния i, v, s и давления р. В этом случае. также эффективны вышеуказанные итеративные методы. [c.17]

Более сложен алгоритм определения неизвестных значений р и Т при использовании уравнений состояния (2-1), если i, S — заданные или известные значения. В этом случае определяются корни системы из двух нелинейных алгебраических уравнений [c.17]

Для решения системы (2-3) — (2-4) можно воспользоваться стандартной процедурой поиска корней системы нелинейных алгебраических уравнений при задании начального приближения, близкого к точному решению. Вышеприведенные алгоритмы пригодны для определения параметров состояния и при табличном их описании. [c.18]

В процедуре ПАР имеется обращение к процедуре TS(p), IS p), SS p) для расчета температуры насыщенного пара, энтальпии и энтропии воды на линии насыщения. Для определения искомого значения температуры пара используется процедура Корень с признаком О или 1. В теле процедуры Корень имеется обращение к стандартной процедуре поиска корней нелинейного алгебраического уравнения (в интервале от TS до 700°С). [c.30]

Алгоритмы различных вычислительных процессов могут содержать одинаковые по своему назначению участки. Среди них можно отметить вычисление квадратного корня, тригонометрических и других элементарных функций, определенного интеграла, решение системы линейных алгебраических уравнений и др. Для таких участков нецелесообразно каждый раз заново создавать программы. Эти участки объявляются стандартными, а программы стандартных участков называются стандартными подпрограммами (СП). СП является частью общей программы и может использоваться для вычислений в различных местах программы, но записывается только один раз. Каждая СП имеет следующую структуру 1) в подпрограмме может быть только один вход и один выход, задаваемые своими адресами 2) исходные данные для вычислений по подпрограмме должны храниться в одних [c.116]

Определение спектра собственных значений упругих систем сводится к поиску корней трансцендентного уравнения Л со,Р) =0, где А -матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений МГЭ. Корни трансцендентного уравнения (3.2) наиболее просто определяются методом последовательного перебора в сочетании с прямым ходом метода исключения Гаусса. Алгоритм МГЭ объединяет в себе преимущества МКЭ, метода перемещений (отсутствие точек разрыва 2-го рода в трансцендентном уравнении для собственных значений, возможность определения точного спектра, простота логики формирования уравнения (3.2) и т.д.) и отбрасывает их недостатки. Достигается это ценой более высокого порядка частотного уравнения по сравнению с существующими методами. [c.388]

После определения корней необходимо удовлетворить граничным условиям. В результате получается система однородных алгебраических уравнений, нетривиальному решению которых соответствует равенство нулю ее определителя. Это условие позволяет вычислить нагрузку при заданных значениях геометрических параметров и параметров окружных волн. Минимум погрузки по п отвечает критическому состоянию оболочки. Иногда вместо ряда (1.1) используют ряд из произведений экспонент на тригонометрические функции. [c.78]

Так как динамические жесткости зависят от частоты р, то равенство (12) представляет собой алгебраическое уравнение для определения р (характеристическое уравнение системы). Корни уравнения (12) являются частотами собственных колебаний. [c.480]

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Рассмотрим задачу об определении корней х = x t) алгебраического или трансцендентного уравнения ip x, t) = 0. [c.333]

Определение действительных корней алгебраического или трансцендентного уравнения. Если для ур-ия f(x) = 0 принять 1(х)=у, то оно определит нек-рую кривую, к-рую можно нанести по точкам, причем искомыми корнями ур-ия [c.276]

Определение корней системы двух алгебраических или трансцендентных уравнений с двумя неизвестными = /(ж)я у = (р(х), Найдя ряд точек, наносят кривые, определяемые этими ур-иями (фиг. 13). Координаты точки пересечения А обеих кривых являют- [c.276]

Поскольку имеется п характеристических значений, будем иметь п соответствующих векторов, компонентами которых являются перемещения. В случае некратных корней для различных собственных значений п — 1) амплитуды собственных векторов можно выразить через одну последнюю амплитуду, решая систему (п — 1) алгебраических уравнений. Однако можно видеть, что такие громоздкие вычисления не требуются, если рассмотреть формальное определение матрицы, обратной матрице Н,, [c.246]

После того как установлены определенные требования, относящиеся к коэффициентам алгебраического уравнения, следующего нз дифференциальных уравнений, подобных уравнениям (<1), можно судить о.знаках действительных частей корней без решения уравнений ). Если имеется, например, кубическое уравнение [c.217]

Известен целый ряд стандартных программ определения корней алгебраических уравнений, и инженер имеет возможность выбрать ту или иную из них. Таковой является, например, подпрограмма РОЬКТ, входящая в пакет программ для научных исследований фирмы ШМ. В ней метод Ньютона используется для нахождения всех п корней алгебраического уравнения п-й степени. Программа для решения уравнения из данного примера с помощью подпрограммы РОЬНТ имеет вид [c.30]

К Sylvester y и Hermite y также восходит следующее предложение , Для того, чтобы корни полиномов g (г) и Л (г) были вещественны и перемежались, необходимо и достаточно, чтобы форма ( ) была определенной (по поводу приложений квадратичных форм в теории определения корней алгебраических уравнений см. брошюру М. Неймарка и автора [9]). [c.246]

Для оценки устойчивости без определения корней характеристического уравнения системы разработан ряд критериев, в частности алгебраический критерий Рауса — Гурвица, частотный i pii-терий и др. [c.296]

Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например от доказательства существования корня алгебраического уравнения. [c.213]

Метод Лобачевского применяется к решению алгебраических уравнений и не требует предварительного отделения корней. Он даёт возможность находить все корни алгебраического уравнения, включая и комплексные. Основная идея метода Лобачевского заключается в преобразовании данного уравнения в другое, для которого корнями служат некоторые достаточно высокие степени корней данного уравнения. При этом преобразовании абсолютные величины корней нового уравнения оказываются настолько сильно отличающимися друг от друга, что в соотношениях между коэфициентами и корнями уравнения (стр. 105) меньшими из корней можно пренебречь и, таким образом, получить простые приближённые формулы для определения корней. [c.240]

Доказано, что общие выражения, позво-.ляющие непосредственно вычислять корни алгебраического уравнения по его коэффициентам, существуют только для уравнений до четвертой степени включительно. Определение орней для уравнений пятой и более высоких степеней производится методами приближенных вычислений. Несмотря на детальную разработку методики вычислений, эта операция все же сложна и трудоемка. В связи с этим в настоящее время исследования такого рода аедутся косвенными методами, позволяющими при помощи так называемых критериев устойчивости определить устойчивость системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его кор- яей или даже по экспериментально снятым характеристикам. [c.523]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает, В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Peuienne этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений,— как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет веш,ественные корни для os 0, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор- [c.476]

Моделирование на АВМ. Исследование системы (2) осуществлялось на АВМ переменного тока типа А-110 (Anala -110). Выбор этой машины был обусловлен рядом преимуществ, которыми она обладает по сравнению с другими АВМ, и в первую очередь высокой точностью (0,01—0,1%) решения. К числу других достоинств следует отнести возможность решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, заданных в неявном виде (причем как с постоянными, так и с переменными коэффициентами), возможность решения алгебраических уравнений и определения всех корней (действительных и комплексных), а также одновременного перемножения до трех постоянных или переменных величин, что является существенным при исследовании системы (2). Кроме того, АВМ А-110 содержит высокоточный двухкоординатный регистрирующий прибор, предназначенный для записи результатов решения задачи, а также цифровой вольтметр, позволяющий с точностью до 1-10 выставлять постоянные коэффициенты и начальные условия и, кроме того, измерять значения переменных в контрольных точках. [c.9]

Определение главных осей и главныл моментов инерции сводится к алгебраической задаче о приведении матрицы моментов инерции к диагональному виду. Так, главные моменты инерции равны корням характеристического уравнения [c.46]

Решение системы линейных алгебраических уравнений — более простая (и привычная) математическая задача, чем задача минимизации квадратичной формы (8.16), Матрица А — положительно определенная симметричная матрица, в общем случае она является плотной (не разреженной) матрицей, и поэтому для решения системы нормальных уравнений линейного МНК (8.17) следует применять соответствующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений ([21, 25]), например метод Холецкого, называемый также методом квадратного корня. [c.471]

Нетривиальное решение системы уравнений существует при условии равенства нулю ее детерАгинанта. Из этого условия вытекает се-кулярное (вековое) алгебраическое уравнение -й степени иоЕ, имеющее решение только при определенных значениях энергии Ei, Ео, - Еп- Наименьший из корней секулярного уравнения является наилучши.м приближением к энергии основного состояния системы при заданном базисе функций ф . Остальные корни интерпретируются как приближенные энергетические уровни возбунчденных состояний системы. [c.133]

Занятия по теме Методы решения задач на ЭВМ для преподавателей механики проводятся в виде курса лекщ1й, в котором излагаются численные методы, наиболее часто использующиеся в задачах теоретической механики. К ним относятся методы решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения корней функций, вычисления определенных интегралов, решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1,2]. [c.20]

Уравнение (43.16) называется характеристическим или векошм уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение сте пени 5 относительно ш и в общем случае имеет 5 различных вещественных и положительных корней (а = 1,2,. .., ). Определенные таким образом величины называют собственными частотами системы. В частных случаях некоторые из корней векового уравнения могут совпадать. Совпадающие собственные частоты со называются вырожденными. Если у системы имеются две совпадающие частоты со = (о = (о, то колебание с частотой а называется дважды вырожденным могут быть и трехкратно вырожденные собствен ные частоты. Вырождение собственных колебаний механической системы всегда связано с наличием определенной симметрии ее равновесной конфигурации. [c.239]

Наиболее сложной частью построения равномерной асимптотики оказывается определение параметров эталонного интеграла. Чтобы избежать решения системы трех иррациональных алгебраических уравнений, дпя определения X, Y, целесообразно вместо подстановки в (17.38) громоздких выражений O7-40) перейти к уравнениям, содержащим симметрические функции корней [146, 1.61 которые выражаются [c.378]

Метод Холецкого является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Существуют два варианта метода Холецкого, один из которых имеет второе название, известное в литературе как метод квадратного корня. Не останавливаясь на анализе метода квадратного корня, перейдем к обсуждению второго варианта метода Холецкого, принятого здесь в качестве основного прямого метода решения систем уравнений МКЭ. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...