Интеграл эталонный

Ес.чи q (z) имеет в точке нуль порядка т, а /(г) регулярна вблизи г , то t(s) = q(za) — Эталонный интеграл выражается через гамма-функцию (см. Эйлера интегралы). [c.556]

Если q (z) имеет два близко расположенных простых нуля Zi J, то t(s) = Яд 4- os 4 /3, о —> о, яд — постоянная. Эталонный интеграл выражается через Эйри функцию. Если сг конечна, то надо учитывать вклады каждого нуля отдельно (случай 1). [c.556]

Схема метода эталонных задач состоит в следующем. Рассматриваемая исходная задача заменяется простейшей эталонной задачей, допускающей точное решение обычно путем разделения переменных. Точное решение эталонной задачи исследуется при (О — оо и из него выделяется выражение, которое асимптотически описывает волновое поле в интересующей нас области, где поле лучей обладает специфическими для рассматриваемой задачи особенностями. Обычно это выражение представляет собою произведение специальных функций или контурный интеграл от специальных функций, аргументами которых являются асимптотические ряды по дробным отрицательным степеням большого параметра и. Волновое поле в исходной [c.14]

Рассмотрим сначала случай простого полюса (п - 1). Согласно [240, с. 120], при п = 1 эталонный интеграл равен [c.229]

Подставим (11.81) в (11.80). Используя (11.78) в качестве эталонного интеграла, получим, подобно (11.72), [c.236]

Если вблизи конца контура интегрирования расположены две стационарные точки, эталонным будет интеграл [c.237]

По существу, соотношение (11.97) - это разложение (i) по формуле Тейлора. Выберем а так, чтобы основной вклад в (11.93) давал интеграл от (а). В отличие от метода эталонных интегралов, величина а не полагается заранее совпадающей с какой-либо критической точкой, а отыскивается из условия обращения в нуль интеграла от первого поправочного [c.239]

Эталонный интеграл с двумя седловыми точками (11.87) выражается через функцию Эйри (о ее свойствах см. п. 3.5) [c.365]

Следующий эталонный интеграл, который мы только упомянем, поскольку он уже рассматривался в 21, будет (см. (21.10)) [c.166]

Мы получили эталонный интеграл, рассмотренный в 27. Заметим, что согласно (29.4) Im j> О (поскольку arg п < л/4). В результате согласно [c.175]

Эталонный интеграл 165 Эталонные уравнения 137 [c.341]

Интегратор предназначен для использования в системах непрерывного и непрерывно-порционного дозирования материалов. Интегратор (рис. 181) имеет преобразователь 1 постоянного тока в частоту и генератор 5 эталонной частоты, которые служат для формирования импульсов с частотой повторения, пропорциональной входному сигналу. Комбинированный делитель частоты 2 обеспечивает согласование частоты повторения выходных импульсов преобразователя с быстродействием счетчика. Выходные каскады двоичного и десятичного делителей частоты формируют соответственно выходные сигналы повышенной и основной частоты. Выходное устройство 3 предназначено для формирования импульсов достаточной мощности, необходимых для приведения в действие электромеханических счетчиков. Электромеханический счетчик импульсов 4 осуществляет цифровой отсчет значения интеграла от входного сигнала по времени (число импульсов). [c.260]

На след, этапе вычислений производят замену переменной t(s) = q(z) так, чтобы максимум ф-ции х дости-галсн при S = О, а производная t (s) обладала нулями такого же порядка, как и ф-ция q (z). От выбора t(i) зависит вид эталонного интеграла. [c.556]

Ввиду сложной структуры интеграла столкновений в настоящее время получено очень небольшое число точных решений уравнения Больцмана. Нзсмотря на то, что большая часть этих решений описывает весьма искусственные ситуации, они представляют большую ценность как эталонные решения для апробации приближенных методов расчета, а также дают ценную информацию о качественном поведении решений уравнения Больцмана. [c.242]

Подробнее всего исследуем задачу о круговом металлическом цилиндре. На примере скалярной задачи рассмотрим два типа рядов, получающихся при использовании метода разделения переменных — ряды Релея и ряды Ватсона. Векторная задача интересна тем, что на ней иллюстрируется явление деполяризации. Решение скалярной задачи о диэлектрическом круговом цилиндре в форме Релея получается без привлечения новых идей, а задача о диэлектрическом некруговом цилиндре более сложна. Теория дифракции на сфере аналогична теории дифракции на круговом цилиндре, но при дифракции на сфере всегда происходит деполяризация. В теории дифракции на клиие интерес представляет аналитическое суммирование ряда Релея, преобразование его в контурный интеграл и исследование этого интеграла для различных точек пространства. Задачи о дифракции на цилиндре, сфере и клине иногда называют эталонными, подчеркивая этим, что некоторые характеристики полученных решений переносятся на более сложные задачи. [c.42]

Истечение симметричной струи. Одной из простейших эталонных задач о газовых струях является задача об истечении си.мметричиой струи из бесконечного угловидного (или конусовидного) сосуда. Качественная картина всей конфигурации на плоскости течения показана на рис. 1. Здесь АВ и А В — стенки симметричного относительно оси х сосуда, ВС и В С — свободные границы газовой струи, а сечение ВВ представляет собой отверстие, через которое и вытекает газ в окружающее пространство. Заданы ширина (диаметр) отверстия 2/io и угол во наклона стенок к оси х, причем О < 00 тт. В бесконечности вверх по течению, т. е. в сосуде вдали от отверстия, газ покоится и имеет заданные параметры ро, ро (значит, известна и скорость звука со). Тем самым определена константа — 1 с1), интеграл Вернулли (22.24) становится конкретным [c.244]

Выберем функцию p t) так, чтобы интеграл (5.10) описывал волновое поле, соответствующее точечному источнику зчданной интенсивности. Обратимся к построенному нами в 4 решению (4.28) эталонной задачи. При переходе к постоянной скорости распространения волн и постоянному радиусу кривизны условие [c.368]

Формулы для равномерной асимптотики диаграмм эталонных волн приведены в 111, 116] и имеют вид (4.33), т. е. суммы двух слагаемых произведения диаграммы направленности падающей волны на интеграл Френеля и регулярной поправки. [c.123]

Проанализировав эталонный интеграл (11.45), перейдем к отысканию равномерной асимптотики исходного интеграла (11.1). Заменой переменных (11.4) он приводится к виду (11.5). В рассматриваемом случае [c.230]

Аналогично изложенному выше проводится рассмотрение и в общем случае, когда показатель зкспоненты в (11.63) равен p/(w) и функция /(w) имеет единственную простую седловую точку. Заменой переменных (11.4) такой интеграл сводится к (11.63). Однако разрез на плоскости s может иметь сложную форму. Возникает вопрос как выбрать параметры зталонного интеграла (11.64), чтобы обеспечить подобие в относительном расположении контура интегрирования п разреза в эталонной и исходной задачах Ответ на этот вопрос дан в работах [87, 373]. Равномерная асимптотика однозначно определяется по известной локальной асимптотике, полученной методом перевала для изолированных критических точек. [c.234]

Дадим краткий обзор других случаев, для которых построены равномерные асимптотики. Когда под интегралом по бесконечному контуру имеется две перевальные tvvku, эталонным служит интеграл [c.236]

Суммируя, отметим, что мы изложили систематический подход к построению равномерной асимптотики интеграла вида (11.1). Его основными этапами являются а)выделение критических точек б)вь1бор эталонного интеграла, обладаюшего теми же и сходно расположенными критическими точками в)регулярная замена переменных w = (у), приводящая показатель экспоненты в (11.1) к виду, который имеет этот показатель в эталонном интеграле г)аппроксимация регулярной функции в интеграле по новой переменной з, приводящая к нулевой погрешности во всех критических точках. Этот подход в общем случае приводит, к асимптотическому разложению интеграла (11.1) следующей структуры [c.238]

До сих пор мы считали, что интегралы по контурам 7 H7i равны, т.е. шсло пересечений 7i с разрезом четно. Чтобы рассмотреть случай нечет иого числа пересечений, можно было бы вновь найти асимптотику интегра ла по перевальному контуру, при помощи эталонного интеграла (11,65) вычислить асимптотику интеграла по охватывающему разрез контуру 72 сложить результаты и убедиться, что для рг вновь получается выражение (12,29), Однако можно обойтись и без выкладок, физически ясно и может быть доказано на основе интегрального представления (12.9), что звуковое поле является аналитической функцией 6, Поскольку левая и правая части (12.29) - аналитические функции 6, то по принципу аналитического продолжения формула (12.29), доказанная при Reu > О, справедлива и при Reu <0. [c.251]

Следуя обшей схеме метода эталонных интегралов, параметры / и выберем так, чтобы замена переменных переводила стадионарные точки эта лонного интеграла в стационарные точки исходного. <71,2 <7( t,2)> [c.366]

Метод эталонных функций. Высокочастотное волновое поле в произвольной плавно-неоднородной среде может быть представлено в виде интеграла (17.1) методом канонического оператора Члслоъя [189, 192]. Поэтому формула (17.19) п. 17.1, прн вьшоде которой использовано только существование интегрального представления, описывает звуковое поле в окрестности простой каустики не только в слоистой, но и в трехмернонеоднородной среде. [c.369]

Подчеркнем, что все три метода эталонных уравнений, эталонных интегралов и эталонных функций — тесно связаны между собой. Решая одномерное волновое уравнение методом Лапласа [131, ч. 1, 19], исследование го высокочастотной асимптотики можно свести к анализу интеграла вида (11.1). Свяэь первых двух методов с третьим была проиллюстрирована выше. Метод эталонных функций является довольно универсальным, но мало наглядным. Во многих задачах ои позволяет сравнительно просто вычислить коэффициенты асимптотического раэложения интегралов и решений дифференциальных уравнений, однако анализ условий применимости полученного результата оказывается более с ложным, чем в других методах. Кроме того, заранее должна быть известна исходная форма решения. [c.374]

Дпя исследования характера фокусировки высокочастотного эвукового поля применим метод эталонных интегралов. Чтобы решить задачу, нужно построить асимптотику интеграла вида (17.1) с тремя перевальными точками =<7 1.2,3- В вершине О каустического острия все три перевальные точки сливаются, производная q) обрашается в нуль. Поэтому обычная каустическая асимптотика (17.14) не годится для расчета поля в окрестности точки О. [c.375]

Как отмечалось в п. 11.3, эталонным для задачи с тремя сташюнарными точками является интеграл Пирси (11.91) [c.375]

Наиболее сложной частью построения равномерной асимптотики оказывается определение параметров эталонного интеграла. Чтобы избежать решения системы трех иррациональных алгебраических уравнений, дпя определения X, Y, целесообразно вместо подстановки в (17.38) громоздких выражений O7-40) перейти к уравнениям, содержащим симметрические функции корней [146, 1.61 которые выражаются [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...