Построение касательных и касание окружностей

ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ И КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ [c.50]

Касательная к двум окружностям разных радиусов. При построении касательных к двум окружностям различают два случая внешнее касание (фиг. 54) и внутреннее касание (фиг. 55). [c.39]

Задания на построение касательных и сопряжений включают следующие задачи построение касательной к одной или двум окружностям, касание окружностей, сопряжение с помощью дуг и вычерчивание простейших технических контуров, имеющих в своих очертаниях элементы сопряжений. [c.26]

Касательная к двум окружностям. При построении касательных к двум окружностям возможны два случая внешнее и внутреннее касания. [c.21]

Точки сопряжения зачастую имеют большое значение при проектировании и изготовлении многих изделий. Поэтому на учебных чертежах они должны быть определены соответствующими линиями построения, как это сделано в очертании кулачка на рис. 3.79,6, выполненного по условиям рис. 3.79, а, где циклоида задана направляющей прямой /, производящей окружностью 0 56 и начальной точкой К, Р — точка касания циклоиды с окружностью Р64, — прямая, касательная к окружности Р64 в точке О и к окружности / г, радиус которой и точки касания подлежат определению к — прямая, касательная к циклоиде в точке и к окружности Р26. [c.80]

Из точек деления окружности О, Г, 2 . .. проводим касательные и откладываем на них от точек касания отрезки а , flo + Si. ao + Si и т. д. Соединяя конечные точки построенных отрезков плавной кривой, получаем теоретический, а затем и практический профили кулачка. [c.196]

Проведение касательных к данной окружности из заданной точки, лежащей вне этой окружности, и проведение внешних и внутренних касательных к двум данным окружностям можно также рассматривать как задачи на построение сопряжений прямых с дугами окружностей, так как точки касания являются точками сопряжения прямых и дуг окружностей. [c.38]

Построение касательной к окружности (черт. 32). Касательная прямая имеет с окружностью одну общую точку и составляет угол 90 с радиусом, проведенным в эту точку касания. При построении прямой, касающейся окружности в заданной точке С, проводят иско- [c.14]

Из геометрии известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному через точку касания. Поэтому проводят радиус ОА и в точке А строят перпендикуляр к ОА. Прямая ВАС-—искомая касательная. На рис. 22 показано построение касательной к окружности при помощи чертежной линейки и угольника. [c.18]

Чаще всего промежуточной линией является дуга окружности, называемая дугой сопряжения или сопрягающей дугой. Радиус сопрягающей дуги носит название радиуса сопряжения, а центр дуги — центра сопряжения. Дуга сопряжения касается одновременно двух сопрягаемых линий. При сопряжении всегда имеются две точки перехода (на рис. 102 точки Л и В), через каждую из них можно провести по одной общей касательной. Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей. [c.50]

Построение касательной к окружности. Построение касательной к окружности в заданной на ней точке А (рис. 103). Построение основано на том, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу окружности, проведенному через точку касания. Через точку Л и центр окружности О проводят прямую, и в точке Л восставляют перпендикуляр к радиусу ОА. Проведенный перпендикуляр МК является искомой касательной. [c.50]

Построение касательных к эллипсу (рис. 10) выполняется следующим образом. Проводятся дуги окружностей К,=РР2 и К2=АВ, на пересечении дуг получаем точки Е и С, соединив которые с Р,, находим точки касания М и N. [c.182]

Построение внешней касательной к окружностям радиусов / и (рис. 119). Соединяют центры заданных окружностей прямой и делят отрезок 00 точкой 0 пополам. Из точки О проводят окружность радиусом Я — Яц а из точки 0 — вспомогательную окружность радиусом 00 . Точки Е и О пересечения этих окружностей соединяют с центром О и продолжают отрезки ОЕ и ОВ до пересечения с окружностью радиуса Я в точках С и В касания окружности радиуса Я. Соединяют точки Е и В с центром 0 . Из точек С и В параллельно прямым О Е и 0 0 проводят прямые, касательные к двум окружностям. Точки А и Р касания окружности радиуса Яг определяют восставив из точки 0 перпендикуляры к прямым О Е и О В. [c.104]

Построение внутренней касательной к окружности радиусов Л и / 1 (рис. 120). Из точки 0 — середины отрезка 00 — проводят дугу радиусом ОЮ, а из центра О — дугу радиусом Я + Точки Е и В пересечения этих дур соединяют с точкой 0 . Касательные, сопрягающие заданные окружности, будут параллельны прямым ЕО и ВО . Точки В и С касания получают на пересечении отрезков ОВ и ОЕ с окружностью радиуса Я. Точки Р и А касания находят, проведя из центра О прямые, параллельные соответственно прямым ОВ и ОС. [c.104]

Построение окружности по двум касательным и точке. В этом случае необходимо сначала указать две точки касания на каких-либо линейных отрезках, являющихся касательными к создаваемой окружности. Затем задается третья точка, через которую проходит создаваемая окружность и указывается ее положение (рис. 4.30). [c.102]

Чтобы определить длину собачки, воспользуемся условием наивыгоднейшего расположения собачки. Известно, что наименьшее усилие, действующее на собачку, будет тогда, когда точка соприкосновения касательной проходит через ось вращения собачки. Поэтому, пользуясь этим наивыгоднейшим условием, длину собачки найдем из геометрических построений (рис. 91, б). На межцентровом расстоянии собачки и храпового колеса построим полуокружность так, чтобы она прошла через внешнюю окружность колеса в точке касания собачки. Линия ВА в этом случае, как известно, перпендикулярна радиусу храповика. Длину собачки просто выразить и аналитически, если точку В соединить с центром полуокружности С и решить косоугольный треугольник ОВС [c.154]

Через такую точку можно провести бесчисленное количество прямых, касательных к сфере. Геометрическое место касательных прямых представляет собой коническую поверхность с вершиной в заданной точке А. Эта коническая поверхность описана вокруг сферы и касается ее по окружности Е—К—Р—Е. Любая плоскость Р, касательная к конусу, будет вместе с тем касаться и сферы. Действительно, у плоскости Р, которая касается конуса по образующей АМ, и сферы имеется только одна общая точка К — точка касания. Задача, таким образом, допускает бесчисленное множество решений. Искомые плоскости легко построить, если прямая, соединяющая точку А и центр сферы 2, перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. В случае, когда Л2 — прямая общего положения, необходимо преобразовать эпюр с таким расчетом, чтобы одна из проекций прямой Л2 оказалась точкой. Решение завершается построением плоскости, касательной к вспомогательному прямому круговому конусу. [c.206]

Отложим дуги 01, 12, 23 и т. д. по окружности. Так как касательная перпендикулярна к радиусу в точке касания, то, проведя в точках 1, 2, 3 п т. д. перпендикуляры к радиусам и отложив отрезки 1/Пь 2ш2, 3/Пз и т. д., равные-соответственно дугам 01, 01 + 12, 01+12+23 и т. д., получим ряд точек Шг,. гпз и т. Д., которые лежат на искомой траектории. Для облегчения построения удобно разделить окружность на несколько равных частей и затем откладывать одну часть соответствующее число раз на касательных. [c.87]

Точка 2, связанная с точкой 2 указанным образом, и называется отражением точки 2 в окружности Г. Ясно, что в свою очередь 2 является отражением 2 в том же смысле. Преобразование (3), связывающее 2 и 2, называется также инверсией. Точки 2 и 2 называются также сопряженными относительно окружности Г, Когда дана одна из них, то другую легко построить при помощи циркуля и линейки если, например, данная точка 2 расположена вне Г, то для построения соответствующей точки 2 достаточно провести касательную из 2 к Г и из точки касания опустить перпендикуляр на луч О2 (рис. 20). [c.169]

На рис. 179 показано построение тени от цилиндра. Падающая тень верхнего основания цилиндра ограничена окружностью, проведенной из центра Сн радиусом R. Тень нижнего основания совпадает с основанием цилиндра. Тень, падающая от боковой поверхности цилиндра, ограничена касательными к окружностям — контурам падающих теней верхнего и нижнего оснований. Контур собственной тени ограничен образующими AAi и ВВи проходящими через точки касания А я В. [c.159]

Построение сопряжений основано на теоремах из геометрии о прямых, касательных к окружности, и окружностях, касательных одна к другой. Во всех задачах на сопряжение следует точно строить положение центра сопрягающей дуги и точки касания (сопряжения). Как известно, эта точка находится при сопряжении прямой с дугой окружности на пересечении перпендикуляра, опущенного из центра дуги на прямую, а при сопряжении окружностей — на линии, соединяющей их центры в точке пересечения ее с дугами окружностей. [c.18]

Тень конуса (рис. 198, а). При построении тени конуса сначала строят падающую тень, с помощью которой определяют затем контур собственной тени. Начинают с построения падающей тени вершины на плоскость основания конуса. Такой тенью является мнимая тень Sh. Касательные, проведенные из этой точки к основанию конуса, определяют теневые образующие конуса, которые и являются контуром собственной тени. Точки касания графически точно определяются с помощью окружности, построенной на проекции падающей тени S — S высоты конуса. Контур собственной тени конуса-линия касания боковой поверхности конуса лучевыми плоскостями, параллельными световым лучам, а контур падающей тени - горизонтальные следы лучевых плоскостей. [c.148]

Построение линии наибольшего ската и горизонталей геликоида показано на рис. 424. Радиус винтовой линии равен 8 единицам длины, ее уклон составляет 1 4. Пусть нужно, чтобы уклон поверхности был равен 1 1,5. Подставив эти данные в формулу, установим, что радиус окружности, эвольвентой которой является горизонталь поверхности, равен 3 единицам длины. Проследим за приближенным построением, например, пятой горизонтали поверхности. Из точки 5, принадлежащей винтовой линии, проводим касательную к окружности радиуса 3 единицы с центром в точке г. Отметив точку касания А, проводим дугу окружности радиуса А — 5 до пересечения в точке В с касательной к окружности, проходящей через точку 6. Проведем дугу радиуса ВС. Она пересечется с касательной к окружности, проходящей через точку 7 и т. д. Аналогично строятся горизонтали и второго геликоида, пересекающегося с первым по винтовой линии проведя касательную к окружности через точку 6, строим дугу радиуса О — 5 до пересечения в точке Е с касательной к окружности, проведенной через точку 6. Радиус следующей дуги равен отрезку ЯС и т. д. При построении эвольвенты окружности следует учитывать, что чем меньше расстояние между взятыми на проекции винтовой линии точками, тем точнее проведенная линия. [c.286]

Цилиндр и конус. На рис. 481 изображен прямой круговой конус. Чтобы построить его аксонометрию, заданную аксонометрическими осями и показателями искажения (рис. 482), нужно изобразить в аксонометрии окружность (основание конуса), как было сделано на рис. 480. Вторичная проекция вершины совпадает с аксонометрией центра окружности, расположенного в пересечении диагоналей описанного вокруг окружности квадрата. Проведя через эту точку прямую, параллельную оси г, отложим на ней от ее вторичной проекции отрезок, равный координате г вершины. Построение аксонометрии конуса заканчивается проведением очерковых образующих эти линии проходят через точку 5 касательно к аксонометрии основания. Точки касания, вообще говоря, не лежат на прямой, параллельной оси X или у. Следует заметить, что очерковые относительно фронтальной плоскости проекций образующие конуса не совпадают с очерковыми образующими в аксонометрии (относительно плоскости аксонометрических проекций). [c.335]

Построение внутренних касательных показано на рис. 71. Из центра 0 проведем окружность радиуса / +/ 2, равного сумме радиусов заданных окружностей, и построим к ней касательную О2С, Соединив точку касания С с центром окружности — точкой О], проведем прямую О2А параллельно прямой 0 С. На пересечении этих линий с соответствующими окружностями найдем точки касания А и В, которые соединим между собой. Полученная прямая АВ является внутренней касательной. Так же строится и вторая внутренняя касательная ВЕ. [c.47]

Построение касательной к двум окружностям. Внешнее касание (рис. 16.33, а). Из центра О, большей окружности построить вспомогательную окружность радиусом Л,—К2- Разделить отрезок О, О2 пополам в точке К и провести вторую вспомогательную окружность с центром в точке К радиусом К - КО . Точка В пересечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса О К , где — искомая точка сопряжения для окружности Л,. Для построения точки К2 сопряжения для / 2 достаточно из центра >2 провести радиус О2К2 параллельно радиусу [c.448]

Пусть две эвольвенты EF и GH, построенные на основных окружностях радиусов г,уу и введены в зацепление, при этом центры окружностей заняли положения Oj и О2, а эвольвенты коснулись друг друга в некоторой произвольной точке С. Из свойств эвольвенты вытекает, что нормаль МуС к профилю EF в точке касания С должна быть касательной к основной окружности радиуса 0,1, а нормаль М С к профилю (1Н — касательной к основной окруж ности радиуса Г/,.,. Так как в точке касания двух кривых можно про вести только одну общую нормаль, то отрезки Mi и М С ярляются [c.259]

Построим начальные окружности с центрами в Oi и О2 и проведем через точку их касания, т. е. через полюс зацепления Р, линию, составляющую угол aw с перпендикуляром к межосе-вой линии О1О2 (рис. 145). По свойству эвольвентного зацепления построенная линия будет общей касательной к основным окружностям. Радиусы основных окружностей найдем, опустив на эту касательную перпендикуляры из точек О] и Од. Для контроля вычислений и построений имеем формулы (22.14) [c.432]

Построгние профиля зуба. Эвольвентную кривую основной окружности радиуса можно построить по точкам в прямоугольных координатах X,Y, направляя ось Д--ОВ по касательном к оснсвной окружности, а ось у-ой перпендикуляр.,о к оси a"-ob в точке касания последней с основной окружностью Значения х vi у ряда точек, необходимых для построения профиля зуба, даны в табл. 22 для Го = 1. Для значений г , отличающихся от I, х и у следует умножить на /о- Кривая, проходящая через точки X, у, будет эвольвентой. [c.272]

На начальной прямой фрезы от точки Р касания центроид откладывают равные отрезки Ре1 = ехе = = 62 3 = . ., а на начальной окружности изделия равные этим отрезкам дуги Рс11 = = 11(12 = 3 = (для упрощения построения вместо дуг откладывают хорды, но при этом длина хорд не должна превышать 0,1 г, где г — радиус начальной окружности изделия). Из точек ёг, й2. . . начальной окружности проводят нормали к профилю изделия йхПи й а .. . и радиусы Оёх, 0 2,. .. Из точек е1, 2, -. начальной прямой проводят прямые 2 2,. . параллельные соответствующим радиусам, т. е. ефг 0(/ь 62 2 II 0 2, и откладывают на них отрезки 161 = 101, ефг = 202,. . Полученные точки Ьи 62, Ь ,. . . являются сопряженными г точками профиля изделия, т. е. точками профиля режущего лезвия фрезы. Последняя точка профиля зуба фрезы В определяется пересечением касательной к внутренней окружности изделия, параллельной начальной прямой. [c.980]

На рис. 42 дано построение эллипса по заданным осям АВ и СО другим способом. На большой и малой осях строят прямоугольник Е8ММ. Делят ЕС на несколько равных частей и на такое же количество равных частей делят полуось ОС. Далее соединяют точку А с точками 1, 2, 3, а точку В —с точками 1и 2, 3. Пересечение прямых А1 с В1, А2 с В2и Аз с В3 определяет положение искомых точек /, II, III левой четверти эллипса. Аналогично этому строят точки, расположенные симметрично относительно осей в остальных четвертях эллипса. На рис. 42 дано построение касательных к эллипсу из точки М, расположенной вне эллипса. Для этого из точки М радиусом МР и из точки Р радиусом АВ проводят дуги окружностей, которые пересекаются между собой в точках Ь и Р. Соединяя эти точки прямыми с точкой Ри получим при пересечении их с эллипсом точки касания Г1 и Т2. [c.24]

Пример 1. Построить контур собственной тени выпуклой поверхности вращения-овои-да (рис. 204). Для построения точек тени на экваторе поверхности опишем вокруг поверхности соосный цилиндр и на окружности касания определим общие точки тени Г и 2. Затем построим фронтальные проекции вспомогательных касательных конусов с углом наклона образующей 35°, проведя касательные к очерку овоида до пересечения с осью, а из этой точки-прямую под углом 45° к линии касания, получим высшую точку 3 (невидимую) и низшую 4. Конусы с углом наклона образующей 45° дадут на очерке поверхности точки 5 и 7 и точки, совпадающие с проекцией оси, 6 (невидимая) и 8. Если восьми точек окажется недостаточно, проводят дополнительную параллель поверхности и строят касательный конус произвольного вида. Через полученные точки проводят плавную кривую, в точках 5 и 7 она должна коснуться очерка овоида. [c.154]

Построение внешней касательной к двум окружностям радиусов Ri и R2 (рис. 105). Из центра окружности большего радиуса — точки Oi —описывают окружность радиуса R1—R2 (рис. 105,а). Находят середину отрезка О2О1—точку О3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиуса О3О2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках А и В. Точки Oj и В соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиуса Ri определяют точку касания D (рис. 105,6). Из точки О2 параллельно прямой OiD проводят линию до пересечения с окружностью радиуса R2 и получают вторую точку касания С. Прямая D является искомой касательной. Так же строится вторая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF). [c.51]

Построение внутренней касательной к двум окружностям радиусов Ri и R2 (рис. 106). Из центра любой окружности, например точки Oi, описывают окружность радиуса Ri- -R2 (рис. 106,а). Разделив отрезок О2О1 пополам, получают точку О3. Из точки О3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиуса 0з02 = 0з01 и отмечают точки Л и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки Л и Oi (рис. 106,6), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса R2 проводят [c.51]

Касательные к эллипсу из точки s можно провести и так, как это показано на рис. 212, г сначала провести касательную из точки s к окружности, построенной на малой оси эллипса как на диаметре, получить точку й и по ней точку S. Повернув окружность основания конуса до параллельности пл. V (на рис. 212, в показана только часть этой окружности, проведенная из точки (У радиусом О / ), получаем точку й о и полухорду о (Sq. Откладывая от прямой sO вверх и вниз отрезок, равный этой полухорде, получаем точки 8 и S,— точки касания очерковых образующих о эллипсом. Эллипс должен пройти через эти точки. [c.165]

На рис. 224, в показано построение проекций прямой АВ и сферы на пл. Т и проекций nti и точек касания, на прямцх, проведенных из точки щ (й<) касательно к окружности с центром ti Заключительная стадия построения показана на рис. [c.176]

Для построения проекций поверхности 7 из точек М и М" проводим касательные к окружностям й и f — проекциям сферы. Отмечаем точки касания 1 (1 и 1 ), 2 (2 и 2"), 3 (3 и 3") и 4 (4 и 4 ). Горизонтальная гфоекция окружности -линия касания конической поверхности и сферы спроецируется в [ 1 2 Для нахождения точек эллипса, в который эта окружность спроецируется на фронтальную плоскость проекций, воспользуемся параллелями сферы. [c.143]

Прямые /4 и /5 на рис. 11 определены параметрами и условиями касания. Условие касания прямой 4 и окружности радиуса R эквивалентно заданию одного параметра прямой /4. Зададим точку /4 Ох и потребуем совпадения направлений отсчета параметров по окружности и по прямой. Это позволяет опре-делйть единственную прямую Ц, проходящую через точку и касательную к окружности. Алгоритм построения такой прямой известен. [c.35]

Для построения сопряжённых профилей на двух круглых колёсах поступаем следующим образом. Строим прежде всего обе круговые центроиды с полюсом зацепления Р в их точке касания (фиг. 249) и проводим через эту точку их общую касательную. Вообразим теперь зубчатую рейку с каким-либо профилем АцРВ , движущуюся так, что общая касательная к центроидам является её центроидой. Тогда на каждом колесе получится профиль зуба, сопряжённый с профилем реечного зуба. Из построения видно, что соответственные точки этих профилей, например, В и В , двигаясь каждая по своей окружности, придут в совпадение в точке В пересечения этих окружностей. Но, согласно этому же построению, точка В есть точка касания профиля воображаемой рейки с каждым профилем на колёсах, а потому является и точкой касания этих профилей между собой кроме того, общая нормаль ко всем трём профилям в точке В проходит через полюс зацепления. Поэтому 90 [c.190]

Эллипс на горизонтальной проекции можно построить по двум его осям малой de и большой, равной по своей величине d e (диаметру окружности основания конуса). Прямые sb к sf получатся, если провести из точки S касательные к эллипсу. Построение этих прямых заключается в отыскании проекций тех образующих конуса, по которым происходит соприкосновение конуса и упомянутых выше плоскостей. Для этого использована сфера, вписанная в конус. Так как проецирующая на Н плоскость одновременно касается конуса и сферы, то можно провести касательную из точки S к окружности — проекции экватора сферы — и принять эту касательную за проекцию искомой образующей. Построение можно начать с отыскания точки а — фронтальной проекции одной из точек искомой образующей. Точка а получается при пересечении фронтальных проекций 1) окружности касания конуса и сферы (прямая т п ) и 2) экватора сферы (прямая /г / ). Теперь можно найти проек- [c.228]

Для построения перекрестной симметричной передачи (рис. 2-8, справа) задаются углы поворота валов а и и расстояние между центрами валов 00. Затем выбирается по конструктивным соображениям радиус одного из рычагов, например OE = R. Тогда радиус рычага 0[Л будет Ri = Rs nO,5a sinO,5 . Строим окружности радиусами a = R os 0,5а и 1 = = / i osO,5 и проводим к ним касательную /—I. Точки касания прямой /—/ с обеими окружностями соединяем с центрами валов О и О]. Это будут биссектрисы углов а и . Откладывая от биссектрис в обе стороны углы 0,5а и 0,5 , получаем крайние положения рычагов OiA и ОБ. Если a= , то R=Rx и линия АБ при крайних положениях рычагов О А и ОБ делит расстояние 00] пополам. В симметричной перекрестной передаче угловая скорость вала Ох не сохраняется постояной при постоянной частоте вращения вала О. [c.55]

Построения эюльвенты начинают с деления окружности на 12 равных частей (рис. 69, а). В точках деления проводят касательные к окружности (перпендикулярно радиусам). Касательные легче всего провести при помощи рейсшины и угольника с углами 30 и 60°. На касательных от точек их касания с окружностью откладывают отрезки, равные длине дуги окружности от начальной точки построения эвольвенты А до соответствующей точки касания (лО/12, пО/6, яО/4 и т.д.). Все полученные точки соеди1Гяются плавной кривой. [c.50]

В точке профилирования нормали к сопряженным профилям детали и режущей кромки инструмента должны проходить через полюс профилирования Р. Вычерчивают (рис, 3.81) в рабочем положении центроиды детали и инструмента. От полюса Р (точки касания их центроид) откладывают по центроиде детали равные дуги с1пйп+, по центроиде инструмента равные им отрезки е е +1 Рй = = Й2 = Й2 з = = Ре = 6x62 = 6263=. В точках йп строят последовательные положения заданного профиля детали. Для упрощения построения при прямолинейном профиле следует провести вспомогательную окружность, касательную к профилю, проходящему через полюс Р центр вспомогательной окружности (ее радиус [c.259]

Как приложение приведённой теоремы о двойном касании, на черт. 19 даётся построение круговых сечений трёхосного эллипсоида. Для их построения мы используем вспомогательную сферу, радиус которой равен средней полуоси эллипсоида, а центр совпадает с его центром. Как легко видеть, концы Л и 5 средней оси эллипсоида являются точками его касания со сферой (общие касательные плоскости Г и Г]), и по теореме о двойном касании линия пересечения наших поверхностей состоит из двух окружностей в плоскостях Р, и Р . Кроме найденных двух круговых сечений эллипсоида другие получаются в сечении его плоскостями, параллельными Р и Р . [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...