Неустойчивость вращения вокруг средней оси инерции

Итак, в рассмотренной задаче вращение устойчиво вокруг большей оси эллипсоида инерции при любой угловой скорости, а вращение вокруг меньшей оси эллипсоида инерции устойчиво при условии, что угловая скорость превосходит некоторую критическую величину. В противном случае вращение неустойчиво. Вращение вокруг средней оси инерции неустойчиво. [c.386]

Неустойчивость вращения вокруг средней оси инерции [c.434]

Теорема. Если, эллипсоид инерции трехосный, то постоянные вращения твердого тела вокруг большей и меньшей осей инерции являются устойчивыми, а постоянные вращения вокруг средней оси инерции — неустойчивыми. [c.419]

Пусть вращение совершается вокруг средней оси инерции, то есть А>С>В или 8>С>А. Тогда п<0 и при любых Ло вращение вокруг средней оси инерции неустойчиво. [c.383]

Рис. 5. Фазовый портрет задачи Эйлера. Устойчивые неподвижные точки и прямые Ь = О соответствуют устойчивым перманентным вращениям относительно большой и малой осей, неустойчивые точки — вращениям вокруг средней оси инерции, сепаратрисы образуются двоякоасимптотическими траекториями, связывающими неустойчивые перманентные вращения.

Неустойчивые вращения вокруг средней оси обозначены пунктиром, в этом случае средняя ось инерции тела в неподвижном пространстве описывает локсодромическую кривую (локсодрома) на сфере, поворачиваясь на 180° (см. рис. 18). [c.99]

Из этих условий следует, что вращение вокруг главной оси инерции Ог является устойчивым, если момент инерции относительно этой оси наибольший или наименьший. В случае а < 0 следует ожидать появления неустойчивости. В этом случае является средним по сравнению с J X J у [c.478]

Покажем теперь, что вращения Oj, а , т. е. перманентные вращения вокруг наибольшей оси х и наименьшей оси z эллипсоида инерции, будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси у, т е. вращения Од, будут неустойчивыми. [c.94]

Таким образом, мы заключаем, что перманентные вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующие решению Од, неустойчивы (фиг. 15). [c.97]

Таким образом, вращение вокруг средней оси отличается от остальных двух вращений своей неустойчивостью. Разберём теперь, по какому признаку узнать, происходит ли постоянное вращение вокруг большой или вокруг малой оси эллипсоида инерции. С этой целью проследим, в какую сторону перемещается конец мгновенной оси по соответствующей полодии в возмущённом движении. Координатами проекции конца [c.543]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Эти решения имеют прозрачный механический смысл они совпадают с неустойчивыми стационарными вращениями твердого тела вокруг средней оси инерции в противоположных направлениях. Из неравенства (т, 7) (т,т)(7,7) и независимости классических интегралов на вытекает, что > 0. [c.269]

Используя развитый аппарат, мы доказали известный нам результат. Постоянное вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции неустойчиво. [c.435]

В 4, излагая исследование Пуансо, мы установили, что перманентные вращения тела вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции устойчивы в том смысле, что при малой погрешности в начальных условиях —при малом отклонении оси вращения от оси эллипсоида —мы получим движение, мало отличающееся от перманентного вращения. Перманентное вращение вокруг средней оси неустойчиво. Здесь невозмущенным движением является перманентное вращение, а возмущенным — то движение, которое возникнет в результате малой ошибки в начальный момент времени. [c.428]

Пр и м е р 4. Как известно , движение тела вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром тяжести, в отсутствие других сил (случай Эйлера) можно представить, согласно интерпретации Л. Пуансо, качением эллипсоида инерции тела относительно неподвижной точки по неподвижной плоскости. При этом точка пересечения мгновенной оси вращения с поверхностью эллипсоида инерции (полюс) описывает на поверхности эллипсоида кривые полодии), приблизительное расположение которых показано на рис. 109. Вблизи концов наибольшей АА и наименьшей ВВ осей эллипсоида полодии представляют собой замкнутые кривые, окружающие эти концы подобно кривым, окружающим особую точку типа центра. Вблизи концов средней оси СС полодии располагаются так, как фазовые траектории около особых точек типа седла. По движению полюсов по поверхности эллипсоида можно судить об устойчивости или неустойчивости вращений вокруг осей, совпадающих с осями эллипсоида инерции. Вращения вокруг осей, совпадающих с наибольшей или наименьшей осями эллипсоида, будут, очевидно, устойчивыми, так как малое отклонение оси вращения переведет полюс на близкую к концу оси эллипсоида полодию, по которой он и будет двигаться в возмущенном движении, оставаясь в ближайшей окрестности невозмущенного состояния. Вращение вокруг средней оси неустойчиво. Малое отклонение мгновенной оси переместит полюс на полодию, по которой он будет удаляться от конца средней оси эллипсоида. Рис. 109 [c.439]

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей т], соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой — средний по величине) неустойчиво. [c.235]

Покажем, что вращения вокруг главных осей, соответствующих наибольшему и наименьшему главным моментам инерции, являются устойчивыми а вращение вокруг главной оси, соответствующей среднему из главных моментов инерции, — неустойчивым. Мы будем исходить из преобразованных уравнений (26.17) и (26.18), введя в них компоненты момента импульса L, М, 7V, что весьма удобно для последующего графического представления [c.196]

Рис. 466. Неустойчивое вращение трехосного волчка вокруг средней оси эллипсоида инерции

Следует ожидать, что вдоль радиуса-вектора должна быть направлена наибольшая ось эллипсоида инерции, так как, по аналогии с гантелью, вытянутость вдоль радиуса-вектора наилучшим образом способствует восстанавливающему действию ньютоновского поля сил. В самом деле, в приложении 1 показано, что в неподвижном ньютоновском поле абсолютное равновесие устойчиво тогда и только тогда, когда большая ось эллипсоида инерции совпадает с направлением на центр притяжения. Но тогда следует ожидать, что второй осью в плоскости орбиты (в случае круговой орбиты, направленной по касательной к траектории) должна быть средняя ось эллипсоида инерции. Действительно, в этом случае наилучшим образом используется оставшаяся динамическая вытянутость тела для стабилизации его положения вдоль касательной к орбите под действием центробежных сил. Такое положение средней оси следует и из того, что она не может быть расположена по бинормали к орбите, так как относительное равновесие тела есть абсолютное вращение вокруг направления бинормали, а вращение свободного тела около средней оси инерции неустойчиво ньютоновские и центробежные силы не ликвидируют эту неустойчивость. [c.28]

Рис. 14. Полодии (аз < аг < ах). В общем случае представляют собой пространственные алгебраические кривые четвертого порядка. В двух особых случаях они представляют собой пересекающиеся эллипсы — сепаратрисы, которые заполнены двоякоасимптотическими движениями к неустойчивым перманентным движениям вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующих точкам пересечения эллипсов. Полодии вырождаются в точки для перманентных вращений вокруг малой и большой оси эллипсоида инерции, которые являются устойчивыми.

Случай Эйлера. В 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные М, а, /3,7). Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось 0Z направлена вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем [c.321]

Покажем, что перманентное враш,ение вокруг средней оси эллипсоида инерции неустойчиво. Для определенности предположим, что вращение происходит с угловой скоростью > 0. В е-окрестности (е = с ) в качестве используемой в теоремах 5.2 — 5.4 области М рассмотрим [c.27]

Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию между движением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравнивая рис. 3 а (в случае равных интенсивностей) с фазовым портретом задачи Эйлера—Пуансо (см., например, [12]), можно связать коллинеарные конфигурации (лежащие на прямой L = 0) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, томсоновские решения (при которых L/G = 1) — с вращениями вокруг большой (малой) оси эллипсоида инерции. Особые точки системы, которые соответствуют периодическим решениям задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда слиты в одной точке, а их интенсивности складываются), лежащие на прямой L = О, можно связать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции. При прохождении системой коллинеарного положения (три [c.51]

Пример 1 (Неустойчивость стационарного вращения твердого тела в СЛУЧАЕ Эйлера вокруг оси среднего по величине момента ИНЕРЦИИ ). Рассмотрим устойчивость вращения (2) твердого тела в случае Эйлера, предполагая, что ось вращения отвечает среднему по величине главному моменту инерции тела для неподвижной точки О. Для определенности будем считать, что С > А > В и и > 0. [c.526]

Если и X > О, то в области V > о, определяемой неравенства-ми у > O z > о, производная V положительна. На основании теоремы Четаева отсюда следует вывод о неустойчивости вращения тела вокруг оси, отвечающей среднему по величине моменту инерции. [c.526]

Ось 1—/ (см. рис. 161), проходящая через наибольшие грани параллелепипеда, соответствует наибольшему моменту инерции, а ось II—1Г — наименьшему. В 64 будет показано, что для любого тела существуют три свободные взаимно перпендикулярные оси свободного вращения, проходящие через центр масс. В общей теории доказывается, что вращение вокруг осп, которая соответствует среднему по величине моменту инерции, является неустойчивым, например, вращение вокруг оси III—ПГ (см. рис. 161) неустойчиво. [c.218]

Вращение тела вокруг оси со средним значением момента инерции I2 неустойчиво, т. е. это — аналог распадной моды 3. [c.356]

IV.2. Вращение волчка вокруг своих главных осей. В случае несимметричного волчка (см. рис. 46а, б) вращение вокруг главных осей, соответствующих наибольшему или наименьшему моментам инерции, является устойчивым, а вращение вокруг оси, соответствующей среднему главному моменту, — неустойчивым. Для аналитического доказательства этого предложения нужно исходить из уравнений Эйлера и принять угловую скорость вращения вокруг оси, равной р = onst = ро- Угловые скорости вращения q и г вокруг остальных двух главных осей инерции, которые вначале равны нулю, под влиянием внешнего возмущения принимают отличные от нуля значения. Если предположить, что возмущение мало, то из первого уравнения Эйлера следует, что р в первом приближении остается неизменным и равным р + 0. Из остальных двух уравнений получаем для q и г систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Полагая q = и г = где а иЬ произвольные константы, получаем квадратное уравнение для Л, из рассмотрения которого и вытекает высказанное нами выше утверждение. [c.326]

Мы доказали теорему Решения уравнений Эйлера, описы-ваюи ие стационарное вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции, устойчивы, а решение, описывающее стационарное вращение вокруг главной оси со средним значением момента инерции, неустойчиво. [c.377]

Точка (L = О, / = 0) отвечает равномерному вращению вокруг средней главной оси инерции тела. Это решение неустойчиво. При малых вариациях начальных данных переменные L, I будут существенно отклоняться от равновесных значений. В обоих этих случаях dlldt = 0. Угловая скорость вращения тела определяется уравнением [c.395]

При сообщении свободному твердому телу начальной угловой скорости вокруг одной из осей эллипсоида инерции три направления — этой оси, мгновенной оси вращения (вектора о) и главного момента количеств движения К совпадают и сохраняют неизменное направление в пространстве. При малом возмущении вектор ю будет описывать конус с малым углом раствора (конус герполопии) вокруг нового, но неизменного в пространстве направления вектора К однако угол раствора конуса герполодии, описываемого вектором <л по отношению к осям, связанным с телом, будет оставаться достаточно малым лишь при условии, что начальное вращение происходило вокруг оси наибольшего или наименьшего моментов инерции. В этом смысле говорят, что вращения свободного твердого тела вокруг осей наибольшего или наименьшего моментов инерции устойчивы, а вокруг оси среднего момента инерции неустойчивы. Вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчивее в том смысле, что малое возмущение начального вращения вокруг этой оси создает конус герполодии с меньшим углом раствора, чем возмущение вокруг оси наименьшего момента инерции. (Прим. ред.) [c.703]

Если а <С О, что может иметь место, если разности J3 — /2 и /з — Л имеют противоположные знаки, т. е. ось Сг является средней осью эллипсоида инерции, то решения уравнений (8) выражаются через показательные функции, и при достаточно большом t угловые скорости и м , могут слелаться сколь угодно большими. В этом случае вращение вокруг оси Сг неустойчиво. [c.598]

Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущениям величин р, г. Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий на эллипсоиде инерции (см. рис. 99) вблизи осей Ох и Oz эллипсоида инерции, отвечающих наибольшему и наименьшему моментам инерции, полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси Оу, отвечающей среднему по величине моменту инерцищ полодии не охватывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси. Ниже в п. 235 мы строго докажем неустойчивость стационарного вращения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела. [c.520]

Вследствие предположения, которое сделано при выводе уравнений (8), осью 2 может быть ось наибольшего или наименьшего, но не среднего главного момента инерции. Проведенные вычисления показывают, что если мгновенная ось вращения при / = О бесконечно мало отклонена от оси наибольшего или наименьшего главного момента инерции, то она всегда остается бесконечно близкой к этой оси. Поэтому говорят, что вращение тела вокруг оси наибольшего и вокруг оси наименьшего главных моментов инерции устойчиво. Пусть тело может вращаться также вокруг оси среднего главного момента инерции, тогда уравнения (4) выполняются, если предположить р = О, р = О, г = onst но это вращение неустойчиво, т. е, если бесконечно мало отклонить мгновенную ось вращения при i = О от рассматриваемой главной оси, то это отклонение станет конечным с течением времени (хотя бы по истечении бесконечно больщого промежутка времени). Именно, пусть и бесконечно малы, т. е. в силу уравнений (7) и (8) бесконечно мало отличается от единицы, эллиптические функции /, которые входят в уравнение (5), превращаются в показательные функции, и обсуждение этого случая приводит к высказанной теореме, что, однако, не должно здесь рассматриваться. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...