Движение двоякоасимптотическое

Лемма 1. Любые две точки а,Ъ Е М можно соединить минимальной кривой 7 из заданного гомотопического класса. Кривая 7 является либо траекторией нулевой энергии, либо цепочкой траекторий нулевой энергии а и 71 и. .. и 7 и /3, где а является траекторией, начинающейся в точке а и асимптотической к до при I +ОС, 3 является траекторией, асимптотической к до при 1 —оо и заканчивающейся в точке Ъ, а кривые 7 являются траекториями движений, двоякоасимптотических к положению равновесия до. [c.152]

Отметим еще, что эти исследования точечного отображения TL обнаружили не только случаи превращения фазовой траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия, в периодическое движение, но и более сложные бифуркации, изучение которых примыкает к рассмотрению гомоклинических структур, о чем будет довольно подробно в дальнейшем рассказано. [c.264]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Под гомоклинической структурой понимается некоторое множество седловых периодических движений одного и того же типа и двоякоасимптотических к ним движений 7. . Фазовая траектория у, двоякоасимптотическая в том смысле, что при t — оо она асимптотически приближается к периодическому движению а при [c.314]

Множество троек может быть представлено графом с направленными ребрами. Для этого каждому седловому движению Г - сопоставим вершину /М графа, а каждому двоякоасимптотическому движению y f. — направленное ребро т ., соединяющее вершину М,- с вершиной А1/. На рис. 7.64 изображен граф, отвечающий множеству Ш, [c.314]

На рис. 7.66 изображены седловые периодические движения Г,- - и Гу- - и двоякоасимптотическое к ним движение yfj, инвариантные поверхности Sj и Si, которые пересекаются по кривой yij, а также секущие плоскости 5 и Sj, /ц-г пересекающие Г/ " и Г/ соот- [c.320]

Как уже говорилось, под гомоклинической структурой понимается содержащая циклы совокупность нескольких седловых периодических движений и двоякоасимптотических к ним движений. Гомоклиническая структура в своей окрестности содержит очень сложную совокупность [c.331]

Рассматриваемое точечное отображение Т можно интерпретировать как точечное отображение на секущей, порождаемое фазовыми траекториями трехмерной динамической системы с фазовым портретом, показанным на рис. 6.10. На нем Г — седловое периодическое движение, ему на секущей плоскости отвечает неподвижная товка О, у — двоякоасимптотическая фазовая кривая, приближающаяся к Г при t +0О и i —оо. [c.139]

Все описанное происходит в окрестности б седлового периодического движения Г и двоякоасимптотической к нему фазовой траектории у. В частности, среди всевозможных фазовых траекторий, лежащих в этой малой окрестности Г и есть всевозможные двоякоасимптотические фазовые траектории для последовательностей чисел т, вида [c.140]

С любым периодом ш. В окрестности любых фазовых траекторий Гш и уа, в свою очередь, имеется бесконечное множество фазовых траекторий, подобных тем, которые есть в окрестности Г и Аналогичная картина имеет место и в отношении седлового периодического движения Г и указанных всевозможных двоякоасимптотических фазовых траекторий, отвечающих всевозможным последовательностям вида (2.3). Во всем этом нельзя не видеть некоторой иерархии вложенных структур, когда одна и та же структура некоторого общего вида вкладывается в предыдущую, и так происходит бесконечное число раз. [c.140]

Эта формула задает двоякоасимптотические движения маятника к верхнему неустойчивому положению равновесия. На фазовом портрете им отвечают движения по сепаратрисам. [c.43]

В работах [41-50] содержится детальное исследование связи между нелинейной неустойчивостью устойчивых в линейном приближении периодических движений (в частности, равновесий), сугцествованием асимптотических к ним траекторий, наличием стохастической компоненты движения и ограниченностью траекторий системы в окрестности ее неустойчивого движения. Отправной точкой этого исследования была гипотеза о том, что вышеупомянутые асимптотические траектории в действительности являются гомоклиническими двоякоасимптотическими траекториями, которые разрушаются при наличии возмугцений. Анализ поведения этих двоякоасимптотических траекто- [c.122]

Мы также приводим некоторые неустойчивые периодические решения, порождающие семейство двоякоасимптотических движений, поведение которых является наиболее сложным и даже при наличии дополнительного интеграла выглядит неупорядоченным. При возмущении такие решения разрушаются в первую очередь и вблизи них в фазовом пространстве появляются целые области, заполненные уже настоящими хаотическими траекториями. [c.18]

Рис. 14. Полодии (аз < аг < ах). В общем случае представляют собой пространственные алгебраические кривые четвертого порядка. В двух особых случаях они представляют собой пересекающиеся эллипсы — сепаратрисы, которые заполнены двоякоасимптотическими движениями к неустойчивым перманентным движениям вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующих точкам пересечения эллипсов. Полодии вырождаются в точки для перманентных вращений вокруг малой и большой оси эллипсоида инерции, которые являются устойчивыми.

Напомним, что локсодрома составляет одинаковый угол со всеми меридианами. Двоякоасимптотические движения тела в случае Эйлера подробнее разобраны в 9 гл. 5. [c.99]

С. А. Чаплыгин указал условия, а также способ явного интегрирования этого случая в своей магистерской диссертации (1897 г.) [178]. Однако он не отметил явно его связи со случаем Гесса. В 1982 г. он независимо и в более общем виде был обнаружен В. В. Козловым и Д. А. Онищенко [98], которые получили его из условия расщепления сепаратрис. Оказалось, что в этом случае, так же как и в случае Гесса, одна пара сепаратрис приведенной системы (задаваемая соотношением (1.16)) является сдвоенной и определяет однопараметрическое семейство двоякоасимптотических движений. [c.176]

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем [c.320]

Явные выражения для двоякоасимптотических движений были применены к изучению интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона и Кирхгофа в ситуации полной динамической несимметрии (см. [97]). [c.322]

Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем 323 решений для равномерных вертикальных вращений следующие [c.323]

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при и —> оо) и прообразы (при п —> —оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При I оо эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14]. [c.326]

При г = Г1 каждая из сепаратрис становится двоякоасимптотической к седлу О (рис. 22.206). При переходе г через Г1 из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодические движения — предельные циклы и Хг- Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное множество оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), и при Г1 < г < Г2, где г и 24,06, все траектории по-прежнему стремятся к С . Ситуация на рис. 22.20в отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы Г+ и Г идут к не своим состояниям равновесия С и соответственно. При г = Гг сепаратрисы Г+ и Г наматываются на седловые траектории Ьх и 2 (рис. 22.20г). [c.486]

Re I.J отрицательны для р и положительны для q корней, причём p + q — n. Если р п (р = 0), точка <У наз. устойчивым (неустойчивым) узлом траектория с началом в мало11 окрестности точки О попадает в О при t—>.-(-03 t—со). Если p O q, точка О на.ч. седлом. Через неё про. одят две поверхности / -мерная Wl и -мерная W o, наз. устойчивой и неустойчивой сепаратрисами точки О они образованы траекториями, стремящимися к О при t— - 00 и t— —оо соответственно. Остальные траектории уходят из окрестности седла при I -—оо (рис. 1). Траектория, лежащая одновременно в Wl и W o (и не совпадающая с О), наз. двоякоасимптотической к О или петлей сепаратрисы седла. При стационарном движении ей отвечает бегущая локализов. волна, в данном случае спадающая при t — 00 (таковы нек-рые соли тоны). [c.626]

S - —оо соответственно. Их множества образуют многообразия S" " и S периодического движения. ..оисаа... Фазовая траектория, отвечающая последовательности вида. .. аа... а а... аа..., является двоякоасимптотической к периодической траектории. .. ааа... Фазовая траектория. .. аа... . асимптоти- [c.136]

Тип а характеризует область колебательных движений (например, при жесткой восстанавливающей силе). В случае в имеется пара сдвоенных сепаратрис соответствующие двоякоасимптотические решения Пуанкаре назвал гетероклини-ческими (такой фазовый портрет имеет, например, система Дуффинга при мягкой восстанавливающей силе). Петля сепаратрисы в случае б является траекторией гомоклинических решений (по Пуанкаре). Фазовый портрет такого типа получится при добавлении квадратичного по х слагаемого в выражение для восстанавливающей силы. [c.235]

Более того, как установил С. А. Довбыш [49], в несимметричном случае при малых е ф О обязательно существуют двоякоасимптотические траектории (не обязательно гетероклинные, как в невозмущенной задаче), причем соответствующие пересекающиеся асимптотические поверхности не совпадают. С учетом этого обстоятельства из теоремы 1 2 вытекает неинтегрируемость возмущенной задачи в существенно более сильном смысле уравнения движения не допускают нетривиального аналитического поля симметрий. Этот результат получен в работе [101]. [c.270]

Случай Жуковского-Вольтерра. Приведем вид двоякоасимптотических движений в пространстве моментов (М1,М2,Мз). В этом случае, как показано в 7 гл. 5, траектории, представляющие собой пересечения квадрик [c.324]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...