Задача о математическом маятнике

Задачу о математическом маятнике мы можем решить также и исходя из уравнений движения. Уравнение (10) было получено из закона сохранения энергии, записанного в виде соотношения (5). Отметим, что уравнение (10) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируя которое один раз, мы получили соотношение (14). Уравнение же движения, как это будет ясно из дальнейшего, представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. И для того, [c.210]

Постановка задачи, вывод уравнения движения и рассмотрение случая малых колебаний математического маятника были даны уже ранее в 112. В 117 было доказано, что вопрос о движении физического маятника сводится к задаче о математическом маятнике эквивалентной длины. [c.493]

Прежде чем перейти к решению задачи о математическом маятнике, выведем элементарным путём некоторые простейшие свойства эллиптических интегралов и функций. Интеграл [c.216]

Математический маятник. Задачей о математическом маятнике называется задача о движении весомой частицы М по вертикальной окружности. Возьмём начало координат в центре окружности и направим ось Оу вертикально кверху (фиг. 84). Если радиус окружности равен R, то уравнение её будет [c.217]

Математический маятник. В качестве примера применения уравнений (9) рассмотрим задачу о математическом маятнике, т. е. задачу о движении тяжелой материальной точки [c.292]

Задача о математическом маятнике [c.246]

Если принять Я = О, то мы приходим к рассмотренной выше задаче о движении математического маятника в плоскости (0 ,62). При ХфО это та же самая задача о математическом маятнике, только плоскость движения повернута относительно оси l на угол X. [c.260]

Пример. Определим гамильтониан задачи о математическом маятнике (см. 4.8) следующими выражениями [c.302]

Построенная нами картина очень похожа на фазовый портрет задачи о математическом маятнике. [c.395]

Задача 341. По горизонтальной плоскости прямолинейно со скоростью 4 движется куб массы Ж. С кубом соединена ось привеса О математического маятника массы т при длине нити 7. Вычислить кинетическую энергию материальной системы, предполагая известным закон движения маятника <р = ф (О-(Вектор Ф лежит в плоскости качаний маятника.) [c.297]

Задача 4. Математический маятник свисает с неподвижного блока. Другой конец нити находится в руках наблюдателя, который ее медленно выбирает, укорачивая таким образом длину маятника с постоянной скоростью (маятник Эренфеста). Пренебрегая трением, показать, что амплитуда колебаний увеличивается таким образом, что изменение полной энергии от одного положения Й = О до следующего положения 6 = 0 задается выражением [c.150]

Задача 9.93. По горизонтальной плоскости прямолинейно со скоростью V движется куб массой М. С кубом соединена ось подвеса О математического маятника массой те. Длина нити О А = / (рис.). [c.339]

Задача о движении твердого тела вокруг неизменной оси в однородном поле тяжести носит название задачи о физическом маятнике. Мы показали, что задачи о математическом и физическом маятниках описываются одинаковыми уравнениями. [c.250]

В ходе решения задачи о колебаниях математического маятника (см. задачу 284) была определена его круговая частота колебаний [c.223]

Задача 449. Полушар веса Q и радиуса г удерживается в равновесии на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости нитью АВ. При этом плоская часть поверхности полушара составляет угол % с горизонтом (рис. а). Определить после обрыва нити АВ скорость центра О и ее максимальное значение, наибольшее давление полу-шара на горизонтальную плоскость. Найти также, полагая угол а малым, приведенную длину эквивалентного математического маятника. [c.590]

Найдем теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (13). Так как [c.410]

Задача ЛЬ 126. Материальная точка Л1 массы т подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длины /, другой конец которой закреплен неподвижно в точке О (рис. 185). Точке /И сообщили начальную скб-рость перпендикулярную нити, и вывели из равновесного состояния ( математический маятник ). Определить движение точки при условии, что начальная скорость мала. [c.319]

Решение. На точку действуют собственный вес G = mg и натяжение Т нити. Под действием этих сил и полученной начальной скорости математический маятник движется в вертикальной плоскости. Для решения задачи составим уравнение моментов относительно точки О. [c.319]

Р е щ е н и е. Колебание отдельной материальной точки под действием силы тяжести (математический маятник) было изучено выше (см. определение 3.9.1). В рассматриваемом примере имеются две материальные точки, описывающие дуги различных радиусов за одно и то же время. Следовательно, каждая точка должна влиять на движение другой. Применив принцип Даламбера, эту динамическую задачу можно свести к обычной задаче статики, которая, будучи решенной, дает дифференциальные уравнения движения. Пусть ОА — а, ОВ = 6 и угол, образованный стержнем с вертикалью Ог, равен (9. Точка А описывает дугу окружности. Компоненты ее ускорения имеют вид [c.377]

В качестве примера такой задачи рассмотрим задачу о движении математического маятника, длина которого — периодическая функция времени. Изменение длины маятника можно представить как результат движения точки А нитки АОМ, к которой прикреплен маятник М (рис. 43). Составим дифференциальное уравнение движения маятника так, как это было показано в 217 первого тома ). Обозначая, как и раньше, длину маятника ОМ через а, найдем на основании теоремы об изменении момента количества движения [c.307]

Дополнение 1. Точное решение задачи о колебании математического маятника [c.236]

Рассмотренный в предыдущем параграфе пример маятника показывает, какие математические трудности возникают при точной постановке задачи о нелинейных колебаниях. Вместе с тем необходимость в решении задач такого рода, выдвинутых вначале астрономией и механикой, а затем главным образом радиотехникой, настолько возросла, что потребовала созданий при ближенных методов, доступных для практических вычислений. [c.504]

Постоянная R носит название длины эквивалентного математического маятника, т. е. такого, для которого угол (р изменяется по тому, же закону, как и для рассматриваемого тела. Как видим, вопрос о движении физического маятника свёлся к известной уже нам задаче о движении эквивалентного ему математического маятника ( 132). [c.591]

Расчетная модель двойного физического маятника широко используется в различных задачах динамики машиностроительных и строительных конструкций, например, о колебании подвешенного груза в упругой конструкции, виброгашении, приборах, конструкциях с жидкими массами и т. д. Рассмотрение этой задачи имеет также большой методический смысл, так как математическая модель двойного физического маятника является естественным развитием предыдущей задачи об одномассовом маятнике и может рассматриваться как введение в исследование задачи [c.266]

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях математического маятника, описываемых уравнениями [c.30]

Когда /X = О, имеем интегрируемый случай — математический маятник. В этой интегрируемой задаче можно перейти к переменным действие-угол I, ср. Они определяются из следующих соотношений [c.31]

Задача о маятнике. Рассмотрим движение материальной точки (г, т), ограниченное голономными связями = О, (г + + (г2)2 = р2 = onst. Предположим, что на эту точку действует активная сила тяжести = т gei, где g > О - постоянная, ej - (1,0,0). Такая задача называется задачей о математическом маятнике. [c.247]

Интеграл энергии. В задаче о математическом маятнике связи голономны и не зависят явно от времени, а силы потенциальны, и потенциал тоже не зависит явно от времени, т.е. в этой задаче должен существовать интеграл энергии Т + U = Е = = onst. Запишем этот интеграл явно [c.250]

Основные положения теории размерности и подо бия. Знаменитые задачи П. Л. Капицы и его задача №24 об определении периода колебаний математического маятника. Задача о колебаниях маятника для астрофизики — проблема пульсации звезд. Еще одна оценка периода колебаний математического маятника и другиетдачи. Правило Уилера. [c.34]

Главными стимулами построения теории стали новые задачи о движении тел. Математическое описание Кеплером движения планет, осознание Галилеем физических причин падения земных тел и получение соответствующих математических законов. Задачи о передаче движения посредством удара, ставшие одним из важнейших звеньев декартовой системы натуральной философии и получившие математические решения у Уоллиса, Рена, Гюйгенса, Мариотта. Сугубо техническая задача о колебаниях маятника, решенная Гюйгенсом геометрическим методом, привела к понятиям центробежной силы и центра колебаний. Задачи удара тел породили понятия, связанные с деформацией тел (упругость, абсолютная твердость,...), укрепили представления о взаимодействии тел как о причине их движения. Иосле введения Декартом понятия количества движения эта причинно-следственная [c.269]

Точное решение задачи о плоском математическом маятнике можно найти в Основном курсе теоретической механики Н. Н. Бухгольца, часть , ОГИЗ, 1945, стр. 328. [c.486]

Задача 83. Материальная точка веса P=mg, подвешенная на невесо- / мой нерастяжимой нити длины I к неподвижной точке О (рис. 288), совершает под действием собственного веса некоторое движение по сфере около положения равновесия (сферический математический маятник). Определить закон движения для случая малых [c.487]

Применим уравнение моментов к задаче о движении так называемого математического маятника , т. е. небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела iio сравнению с длинои нити можно пренебречь (рис. 140). За ось мс.мента выберем горизонтальную ось, проходящую через точку подвеса перпендикулярно к плоскости качаний маятника. Момент силы натяжения нити относительно этой оси всегда равен пулю. [c.303]

Из (14) следует, что в этом случае ср = = onst, и мы приходим к задаче о движении математического маятника в плоскости (р = (fQ. Эта задача подробно изучена в п. 93-96. [c.332]

Еще одна важная механическая задача начинает свою историю с Галилея — задача о маятнике. Галилей, по-видимому, первый подметил изохронность колебаний маятника и, как и в задаче о падении тел, дал ту абстрактную схему, в которой сохраняется существенное, характерное для изучаемого явления и устраняется побочное, затемняющее закономерность,— математический маятник. Два пункта остаются неясными до сих пор. Во-первых, Галилей утверждал изохронность колебаний маятника при любой амплитуде,/хотя проделал (по рассказу Вивиани, основанному на сообщенных [c.96]

От исследований Галилея, посвященных задаче о маятнике, берет начало динамика твердого тела. Реальные маятники, с которыми усердно экспериментировали ученые того времени, явно подчинялись закономерностям, аналогичным тем, которые быжи установлены для идеализированной схемы — математического маятника/Но как теоретически осуществить сведение одной задачи к другой По-видимому, Мерсенну принадлежит постановка проблемы о законах колебания физического маятника. руководствуясь [c.97]

Задача (рис. 11). На жестком невесомом стержне Лах укреплены две точечные массы m-i и соответственно в точках % и на заданных расстояниях и 2 от точки подвеса стержня А. Требуется найти плечо Zq точки о или длину математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебдний маятника Аа . [c.139]

Проблема центра качаний была поставлена, можно сказать, в конкурсном порядке, тем же Мерсенном, который так интересовался открытиями Галилея в акустике. Отсылая за подробностями к гл. V (см. стр. 97), укажем здесь, что Гюйгенсу принадлежит не только решение задачи о центре качания, т. е. приведенной длине физического маятника, но и точная трактовка вопроса о периоде малых колебаний математического маятника. Таким образом, была решена задача и о периоде малых колебаний физического маятника. Гюйгенс определил также центры тяжести и центры качания для многих фигур, открыл циклоидальный маятник и доказал (строгую) изохронность его колебаний. Все это шло об руку с техническими изобретениями часов с коническим маятником, часов с циклоидальным маятником, с существенным усовершенствованием обычных маятниковых часов, идея которых возникла у Гюйгенса, видимо, вполне самостоятельно. Гюйгенсу не удалось создать хронометра, удовлетворяющего требованиям моряков, но его технические изобретения во всяком случае позволили значительно уточнить измерение времени, столь существенное и для исследования колебаний. Его вклад в теорию колебаний тоже велик помимо указанного выше явления, он открыл явление, названное позже принудительным консонансом . С этими (конструк- [c.254]

Задача 18.5. Двойной математический маятник, (рис. 18.15) состоит из двух невесомых стержней длины и /з, на концах которых укреплены материальные точки Ml и Ма веса Pi — niig и P — m g соответственно. Первый стержень может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О, а второй —вокруг горизонтальной оси, связанной с первой точкой. Ввести обобщенные координаты и вычислить обобщенные силы. [c.426]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...