Задача о маятнике

Одно иэ главных открытий Галилея, как известно, открытие изохрон 253 ности (малых ) колебаний маятника. Собственно, Галилей сделал в задаче о маятнике и больше, и меньше того, что содержится в такой краткой формулировке, [c.253]

Задачу о маятнике решали почти все великие ученые. Как указывает Л. И. Мандельштам, прк решении такой задачи Христиан Гюйгенс пришел к одной из первых формулировок закона сохранения энергий в механике. [c.57]

В задаче о маятнике (4.1) требуется получить 0=я/4 при /=1,0 с. Каким для этого должен быть угол 0 при =0, если (3 (0)=0 [c.100]

Задача о маятнике показала недостаточность линейной трактовки некоторых явлений, причем эта недостаточность особенно выпукло проявилась с развитием теории автоматического регулирования. [c.8]

Здесь удобно иное расположение осей по сравнению с их расположением в задаче о маятнике Фуко. [c.422]

В ходе решения задачи о колебаниях математического маятника (см. задачу 284) была определена его круговая частота колебаний [c.223]

Найдем теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (13). Так как [c.410]

Для решения задачи о движении маятника можно, очевидно, использовать результаты п. 12. Однако в данном случае будет несколько удобнее провести исследование не в цилиндрических, а в сферических координатах. [c.427]

В начальный момент при / = О, X = Jto, у = О, О, Vy = Va. Ось Ог направлена по вертикали вниз, а Ох и Oi/ лежат в горизонтальной плоскости. Начало координат находится в центре сферы. Определить движение точки и силу реакции сферы на точку. Эта задача известна как задача о сферическом маятнике. [c.228]

Пример. Материальная точка массой т (рис. 14) движется под действием силы тяжести по внутреннем части поверхности сферы радиусом / вблизи устойчивого положения равновесия. В начальный момент при 1=0 х = Хд, у О, ал = 0, ц,, =у . Ось 02 направлена по вертикали вниз, а OJ и Ор расположены в горизонтальной плоскости. Начало координат находится в центре сферы. Определить движение точки и силу реакции сферы на точку. Эта задача известна каи задача о сферическом маятнике. [c.247]

Сравнивая приближенное решение задачи о колебаниях маятника ( 107) методом переменной амплитуды с решением этой задачи методом усреднения, приходим к заключению, что эти методы имеют сходство, но метод усреднения более совершенен, так как он не требует дополнительных предположений, сделанных при получении уравнения (11.244). В частности, оказалось, что члены с коэффициентами Аг не влияют на первое приближение, причем никаких ограничений на Аг налагать не следует. [c.294]

В качестве примера такой задачи рассмотрим задачу о движении математического маятника, длина которого — периодическая функция времени. Изменение длины маятника можно представить как результат движения точки А нитки АОМ, к которой прикреплен маятник М (рис. 43). Составим дифференциальное уравнение движения маятника так, как это было показано в 217 первого тома ). Обозначая, как и раньше, длину маятника ОМ через а, найдем на основании теоремы об изменении момента количества движения [c.307]

Предполагается, что функции ф1(0 и фг(0. а значит, и функция Ф(0 —периодические функции времени. Возвращаясь к задаче о колебаниях маятника переменной длины, предположим, что длина маятника а 1) —периодическая функция времени. [c.308]

В качестве примера может служить задача о движении сферического маятника, рассмотренная в 229 первого тома. [c.344]

Задачу о математическом маятнике мы можем решить также и исходя из уравнений движения. Уравнение (10) было получено из закона сохранения энергии, записанного в виде соотношения (5). Отметим, что уравнение (10) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируя которое один раз, мы получили соотношение (14). Уравнение же движения, как это будет ясно из дальнейшего, представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. И для того, [c.210]

Дополнение 1. Точное решение задачи о колебании математического маятника [c.236]

Более полно задача о движении маятника будет рассмотрена далее в 177. [c.159]

Постановка задачи, вывод уравнения движения и рассмотрение случая малых колебаний математического маятника были даны уже ранее в 112. В 117 было доказано, что вопрос о движении физического маятника сводится к задаче о математическом маятнике эквивалентной длины. [c.493]

Угол ф принимает прежнее значение по истечении периода колебаний. Вообще один и тот же угол ф соответствует значениям t, отличающимся на целое число периодов, а углам ф противоположного знака соответствуют значения t, отличающиеся нечетным числом полупериодов. Время не однозначно выражается через угол, но угол представляет собой однозначную периодическую функцию времени, меняющую свой знак через каждый полупериод. Поэтому представление угла в зависимости от времени проще и нагляднее представления времени в зависимости от угла. Это легко обнаруживается уже в простейшей задаче о малых колебаниях маятника первое представление дается синусом [c.500]

Возвращаясь к задаче о колебаниях маятника и сравнивая (44) и (45), находим [c.503]

Рассмотренный в предыдущем параграфе пример маятника показывает, какие математические трудности возникают при точной постановке задачи о нелинейных колебаниях. Вместе с тем необходимость в решении задач такого рода, выдвинутых вначале астрономией и механикой, а затем главным образом радиотехникой, настолько возросла, что потребовала созданий при ближенных методов, доступных для практических вычислений. [c.504]

Задача 116. Маятник состоит из стержня АВ с прикрепленным к нему шаром массой М и радиусом Я, центр которого С находится на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стержня, в какой точке О стержня надо поместить ось подвеса для того, чтобы продолжительность одного размаха при малых колебаниях имела данную величину Т. [c.686]

Сферический маятник. Рассмотрим задачу о движении тяжелой точки по неподвижной сфере. С этой целью введем неподвижные оси координат с началом в центре сферы О ось z направим вертикально вверх, ах, г/ — как-либо в горизонтальной плоскости. В горизонтальной нлоскости введем полярные координаты г, 0. Исследование будем проводить в цилиндрических координатах z, г, 0. [c.115]

Решение. Энергию колебания маятника в начальный момент обозначим через о, а энергию его колебания через время = 480 с — через Et. По условию задачи, (/ о = 0,01. Так как энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды (см. 45), то // 0 = >01 =- о, I = е откуда —P = ln 0,1 = [c.185]

Движение снаряда. В задаче о маятнике Фуко мы считали V = gz, поскольку изменение координаты z было мало. Этим выражением для V можно пользоваться в некоторых случаях и тогда, когда движение имеет больший масштаб, например при изучений движения снаряда. Однако в этом случае это приближение будет более грубым. Для более точного расчета произведем сравнительную оценку членов, которыми мы пренебрегли в первом приближении, и найдем те из них, которые играют существенную роль. Как и ранее. Землю будем считать шаром, скорость вращения ее — постоянной и центр ее — неподвижным. Мы уже указывали, что сй мало (около 7,27-10сек ). Имеем ( 10.7) [c.192]

Подойдем теперв к решению задачи о маятнике с иной точки зрения. Возьмем функцию Гамильтона (25.2.23) и перейдем от переменных (а, р) к переменным (а, Р ) [c.509]

Еще одна важная механическая задача начинает свою историю с Галилея — задача о маятнике. Галилей, по-видимому, первый подметил изохронность колебаний маятника и, как и в задаче о падении тел, дал ту абстрактную схему, в которой сохраняется существенное, характерное для изучаемого явления и устраняется побочное, затемняющее закономерность,— математический маятник. Два пункта остаются неясными до сих пор. Во-первых, Галилей утверждал изохронность колебаний маятника при любой амплитуде,/хотя проделал (по рассказу Вивиани, основанному на сообщенных [c.96]

От исследований Галилея, посвященных задаче о маятнике, берет начало динамика твердого тела. Реальные маятники, с которыми усердно экспериментировали ученые того времени, явно подчинялись закономерностям, аналогичным тем, которые быжи установлены для идеализированной схемы — математического маятника/Но как теоретически осуществить сведение одной задачи к другой По-видимому, Мерсенну принадлежит постановка проблемы о законах колебания физического маятника. руководствуясь [c.97]

Принцип Даламбера — Лагранжа не исчерпывал все возможности познания движения. Еще в XVIII в. возникли новые задачи, в которых искомые движения выделяются из всех мыслимых движений (допускаемых связями) при помощи некоторого экстремального принципа отбора. К таким задачам относятся, например, задача о линии наибыстрейшего ската, задача о маятнике с постоянным периодом, не зависящим от амплитуды, и др. Задачи такого рода сводятся к отысканию экстремума интегралов от некоторых функций. Задача экстремума отвечает и более ран- [c.443]

Задача о маятнике. Рассмотрим движение материальной точки (г, т), ограниченное голономными связями = О, (г + + (г2)2 = р2 = onst. Предположим, что на эту точку действует активная сила тяжести = т gei, где g > О - постоянная, ej - (1,0,0). Такая задача называется задачей о математическом маятнике. [c.247]

Теория автоколебаний маятника Фроуда была развита С. П. Стрелковым по предложению Л. И. Мандельштама ЖТФ, том 3, стр. 563, 1933), Было бы вообще интересно проследить во всей полноте связь между задачами, поставленными в области теории колебаний Рэлеем, и работами Л. И. Мандельштама. Ряд проблем, либо только намеченных Рэлеем, либо в какой-то мере им разрешенных, нашел затем исчерпывающий ответ в исследованиях Л. И. Мандельштама, его сотрудников и учеников, Эгу связь можно обнаружить пе только в отношении общих проблем (теория автоколебаний, теория параметрических систем), но и на отдельных частных вопросах. Из числа таких вопросов, затронутых в Теории звука , можно назвать — кроме уже упомянутого исследования по теории возмущений, задачи об электромагнитном прерывателе и задачи о маятнике Фроуда — еще вопрос о возбуждении и форме автоколебаний скрипичной струны, рассмотренный А. А. Виттом ЖТФ, том 6, стр. 1459, 1936 и том 7, стр. 542, 1937), и вопрос о поведении собственных частот мембраны при закреплении отдельных ее точек ( 213а), исследованный А, А. Виттом и С. П. Шубиным ЖТФ, том 1, стр. 428, 1931), [c.13]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Рассмотрим сначала задачу о нахождении установивше/ося движения маятника под действием периодически сообщаемых с периодом т импульсов, причем за каждый период сообщается два импульса противоположного направления один в начале периода, другой — по истечении полупериода. Речь идет, таким образом, о нахождении периодического решения дифференциального уравнения [c.544]

Точное решение задачи о плоском математическом маятнике можно найти в Основном курсе теоретической механики Н. Н. Бухгольца, часть , ОГИЗ, 1945, стр. 328. [c.486]

Применим уравнение моментов к задаче о движении так называемого математического маятника , т. е. небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела iio сравнению с длинои нити можно пренебречь (рис. 140). За ось мс.мента выберем горизонтальную ось, проходящую через точку подвеса перпендикулярно к плоскости качаний маятника. Момент силы натяжения нити относительно этой оси всегда равен пулю. [c.303]

Идея o HOiBHoro принципа динамики босходит к ученикам Иоганна Бернулли Герману и Эйлеру, первым академикам Петербургской Академии наук. В Phoronomia (1716) Герман разрешил задачу о сложном маятнике, исходя из принципа, что если движущие силы направить в противоположную сторону, то они должны находиться в равновесии с силами тяжести. [c.140]

И перед нами снова, как в предыдущей задаче с маятником, открываются две возможности. Если Л = О, то тогда функция у становится тождественно равной нулю, т. е. при всех значениях г обращается в нуль. Это означает, что прямолинейная форма удовлетворяет условиям равновесия. Этот вывод тривиален и новой для нас информации не содержит. Имеется вторая возможность. Постоянная Л в нуль не обращается, а нулю равен sinkl. Тогда [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...