Фурье-преобразование теорема свертки

Поскольку дифракционная картина решетки является преобразованием Фурье от ее полной апертурной функции, мы можем, следовательно, сказать, что фурье-преобразование свертки функции одиночной апертуры с последовательностью 5-функций равно произведению отдельных преобразований. Это пример теоремы о свертке, которая утверждает, что фурье-преобразование свертки двух функций равно произведению их собственных преобразований. [c.75]

Мы использовали h(x) для обозначения свертки двух функций f(x) и д(х). Их собственные преобразования Фурье записываются соответственно Я (ц), F (и) и G (и), где х и и-обычные сопряженные переменные. Таким образом, теорема свертки может быть выражена в форме утверждения, что если [c.76]

Такая запись позволяет учесть возможность мозаичного размножения голограммы и оценить влияние функции I/ (v , v ) на восстановление объекта, пользуясь теоремой о свертке теории преобразования Фурье. В соответствии с этой теоремой результат обратного Фурье-преобразования голограммы, выполняемого при ее восстановлении, можно записать как [c.96]

Преобразование Фурье и его различные приложения к операциям свертки, корреляции и распределениям в настоящее время уже вошли в арсенал теоретической оптики и стали ее неотъемлемым инструментом. Это видно на примерах теории образования изображения, интерферометрии, спектроскопии и, наконец, голографии. Даже элементарное рассмотрение теории преобразования Фурье, приведенное ниже, дает исследователям универсальное средство для анализа различных задач физической оптики, теории дифракции и интерферометрии. А во многих случаях использование только таких теорем, как теоремы смещения или теоремы свертки, которые будут даны в следующих разделах, позволяет быстро находить решения целого ряда задач, которые в прошлом требовали применения специально разработанных и часто весьма громоздких методов. [c.194]

Теперь, поскольку мы знаем преобразования Фурье от каждой из функций, входящих в свертку, мы можем легко найти преобразование Фурье свертки по теореме свертки (1,68) как произведение трансформанты линейной решетки (8) [или (18)] и трансформанты элементарной группировки (30) [c.116]

Преобразование Фурье. Метрические свойства трансформант 4. Теорема свертки. Функция межатомных расстояний. . [c.371]

Множитель Ai введен для нормирования и сохранения разно-мерности). Так как предполагается возможность работы квантователя во вторичном времени (например, при обработке записи сигнала), то интервал суммирования распространен и на отрицательную область. Произведя преобразование Фурье, воспользовавшись теоремой о свертке, получим [c.21]

Для определения т (<о) необходимо применить преобразование Фурье к обеим частям этого выражения и воспользоваться теоремой свертки для преобразования произведения, в результате чего мы получим [c.54]

Это соотношение известно как теорема свертки для преобразования Фурье от произведения двух функций. Следует иметь в виду, что между интегралом свертки и конечным корреляционным интегралом имеется различие [3]. В интеграле свертки одна из функций свернута и затем смещена. Для временных фильтров, например, где должно быть выполнено условие физической осуществимости, это весьма существенное обстоятельство. Но в оптике во многих случаях функции оказываются симметричными, и поэтому указанное различие не играет роли. [c.234]

Известна и обратная теорема фурье-преобразование произведения двух функций Ь х, у) Т1 и х, у) равно свертке фурье-преобразований каждой и.ч функций [c.56]

Будем считать, что искомое решение ф(х), правая часть /(х) и ядро уравнения k x — у) имеют соответственно трансформанты Ф(а), F a) и K(ol). Тогда применим преобразование Фурье к обеим частям уравнения и, воспользовавшись теоремой о свертке, получим [c.69]

В фокальной плоскости второй линзы мы имеем изображение, скажем, комплексной амплитуды которое является преобразованием Фурье от Ux- Использование теоремы о свертке и преобразовании S- [c.117]

Числитель в уравнении (6.12) представляет собой косинус-преобразование Фурье от В (ф), а знаменатель выполняет роль простого масштабного коэффициента. Нетрудно заметить, что для каждого значения длины базы D видность дает информацию об одном конкретном фурье-компоненте распределения яркости. Это легко выясняется с помощью теоремы о свертке (разд. 4.5). Выразив наблюдаемую интерференционную картину при данном D в виде свертки В (ф) с инструментальным откликом, мы получаем из теоремы о свертке, что фурье-преобразова-ние этой свертки является произведением отдельных преобразований. Но преобразование инструментального отклика представляет собой набор полос вида os , у которых имеется единственная пространственная частота, определяемая значением D. Поэтому оказывается, что преобразование от наблюдаемой дифракционной картины лепестков при данном D содержит информацию лишь об одной гармонике в распределении яркости источника. [c.130]

Исследуем теперь, как эти различные синусоидальные составляющие передаются оптическим прибором. Произведем гармонический анализ изображения, т. е. найдем преобразование i функции I. Соотношение (3.1) показывает, что / является сверткой функций О и D по теореме Парсе-валя (гл. 2, 4) ее преобразование Фурье равно произведению преобразований О и D. Легко убедиться, что если использовать переменные ц, v, являющиеся пространственными частотами (размерности обратной длины), преобразование Фурье функции / можно написать так [c.59]

Согласно (25), ИУ (24) можно решать при малых Л, как и уравнение (16), методом последовательных приближений, отбрасывая в нулевом приближении интеграл в его правой части. При этом на каждой итерации вновь будет решаться ИУ Винера-Хопфа (18). Решение третьего ИУ (20) находится применением теоремы о свертке для интегрального преобразования Фурье. Таким образом сингулярное асимптотическое разложение решения ИУ (1) при малых Л в форме (21) может быть реально построено с любой желаемой точностью. [c.14]

Как видно из форм щы (10.5), транспарант отображает частотную характеристику фильтра (10.4). Далее объектив О2 осуществляет обратное преобразование Фурье. Для этого на выходе фурье-коррелятора в плоскости П2, оси и ш г/ должны быть направлены в противоположные стороны по отношению к осям ж и / в плоскости III. По теореме о свертке в плоскости П2 формируется поле / (и). [c.598]

Попутно следует упомянуть, что для преобразования Фурье произведения двух функций х) и g x) справедлива так называемая теорема о свертке [c.124]

Согласна уравнению (2а) i/i является сверткой (/с и К тогда на основании теоремы о свертке 1391 получим после обратного преобразования Фурье простое соотношение [c.444]

Последнее обычно легко решается с использованием теоремы о свертках для преобразования Фурье. [c.100]

Переход от первой строчки (24.10) к следующим достигается заменой переменных, например, х = 1 — х . Здесь видна связь с теоремой о свертках для преобразований Лапласа и Фурье. После указанных [c.127]

Как известно [18], интегральные уравнения типа (9.1) легко решаются применением теоремы о свертках для интегрального преобразования Фурье. Именно, умножим обе части (9.1) на (2n) e dx и проинтегрируем от —о° до +< . Получим [c.103]

Решение интегрального уравнения (9,47) может быть найдено с применением теоремы о свертках для преобразования Фурье (см, 9 гл, 2). [c.259]

В этой главе рассматривается разложение периодических функций в ряды Фурье, ведущее к более общему представлению преобразования Фурье-функций. Обсуждаются основные операции, необходимые при системном анализе (умножение, свертка, дифференцирование и интегрирование) как во временной, так и частотной областях. С помощью вводимых понятий и системы обозначений формируется теорема о выборке. И, наконец, обсуждается аналитический сигнал в связи с комплексным представлением вещественных сигналов и понятием огибающей. [c.133]

Предел (3.4) удобно представить еще и в другом виде [104]. Проведем преобразование Фурье над сверткой (3.4). Учитывая, что ее носитель - правая полуось х, для вычисления предела производной можно воспользоваться известной теоремой (обычно формулируемой для преобразования Лапласа). Итак, если предел (3.4) существует, то он равен [c.23]

Вывод общей формулы, описывающей одновременное действие на АК установки и НК линии многих факторов, основывается на вычислении свертки (1.15) АК дефекта Л (у) с функцией Эри в виде (1.17). Как видно из формулы (1.17), свертка каждого члена ряда с АК осуществляет фурье-преобразование. Если формирование АК обусловлено двумя или несколькими факторами, то он сам является сверткой АК соответствующих дефектов. Согласно теореме Бореля, фурье-преобразование от свертки нескольких функций равно произведению фурье-образов Этих функций. Следствием этой теоремы является то обстоятельство, что в формулах типа (1.18) (АК при параболическом дефекте) или типа (1.77) (случайный дефект изготовления зеркал), в которых соответствующий АК ИФП представлен в виде ряда Фурье, при добавлении новой причины, формирующей АК, под знаком суммы появляется новый сомножитель. Этот сомножитель есть коэффициент Фурье в разложении в ряд Фурье АК, обусловленный добавляемым нами фактором. Так, например, при расчете влияния на АК конечного размера круглой выходной диафрагмы под знаком суммы в формулах (1.18) или в (1.77) появляется сомножитель Aj (23xna4). Такой подход [c.69]

Преобразование Фурье играет также другую важную роль в физической оптике. Трудно переоценить его значение и для физики в целом. Эта глава посвящена возможностям, которые открывает преобразование Фурье, обеспечивающее более глубокое понимание соотношения между дифракционной картиной, создаваемой многоапертурной дифракционной системой, такой, как решетка или кристалл, и ее (полной) апертурной функцией или структурой. Основные идеи этого подхода представлены в разд. 4.3-4.5 для различных применений в гл. 5 в связи с формированием и обработкой изображения. В разд. 4.3 мы рассматриваем дифракционную картину решетки и в разд. 4.4-ее апертурную функцию. Последняя обсуждается на языке свертки-т.е. на основе другой концепции и математической процедуры, широко используемой в физике. В разд. 4.5 как пример теоремы свертки совместно представлены две стороны соотношения-апертурная функция решетки и дифракционная картина, создаваемая ею. [c.62]

Как показано на рис. 5.1, хотя и чисто символически в одном измерении, приложение теоремы свертки создает частотный спектр распределения интенсивности изображения в виде произведения спектра частот распределения интенсивности (ЧСРИ) по объекту и преобразования Фурье от ФРТ. Преобразование от ФРТ является оптической передаточной функцией (ОПФ) системы. [c.89]

Теорема Бореля о свертке для фурье-преобразований [226] позволяет вычислить фурье-образ инфракрасной волны на входной грани нелинейной среды после диафрагмы. Используя (3.47) [c.73]

Вычисляя фурье-образы зкспоненциальных функций и производя ряд очевидных преобразований в соответствии с теоремой свертки, получаем [c.124]

В соответствии с (13.3.3) осуществим фурье-преобразование отклонения 5С и в соответствии с (6.5.3) — фурье-преобразование куло-новского потенциала. Пользуясь теоремой о свертке для преобразования Фурье, получаем основное линеаризованное уравнение Власова — Ландау, являющееся нашей отправной точкой [c.112]

Известна теорема Вореля. фурье-преобразование свертки двух функций равно произведению фурье-преобразований этих двух функций [c.56]

При этом для отыскания 6 интегральное уравнение (14) достаточно решить при S (r,). Функция абсолютно интегрируемая и к (14) можно применить интегральное преобразование Фурье по времени Ф /). Воопользовавшись теоремой о свертках fij, получим из (14) [c.149]

Для вычисления п значений корреляционной функции требуется выполнить порядка niV умножений и сложений. При больших п и N это число может быть достаточно большим. Поэтому в этом случае, как и для вычисления цифровой свертки, рекомендуется сначала с помощью алгоритмов БПФ вычислить спектры Фурье анализируемых сигналов (или только один спектр, если вычисляется функция автокоррелиции сигнала), затем эти спектры перемножить, причем один из спектров заменяется своим комплексносопряженным, и выполнить обратное преобразование Фурье. Поскольку этот способ основан на теореме о циклической свертке теории дискретного преобразования Фурье, применяя его, необходимо позаботиться о правильном доопределении недостающих отсчетов анализируемых последовательностей. Один из лучших и наиболее естественных способов доопределения состоит в четном продолжении последовательностей по правилу [c.195]

Заметим, наконец, что можно было бы вывести соотношение (2.27), используя равенство (2.9). Действительно, достаточно заметить, что в уравнении (2.26) член, который соответствует ошибке положения штрихов, имеет синусоидальный вид и его преобразование Фурье состоит из двух симметричных сигналов, соответствующих частотам р. Такое искажение изображения в действительности распространяется только на внутреннюю область прямоугольного зрач ка с отверстием 2 а. Это означает, что функция F является в действительности произведением синусоидальной функции и функции ти1па прямоугольника (2.18). По теореме Парсеваля преобразование F состоит из свертки двух сигналов с частотами р и функции типа sin и/и, которая является преобразованием функции (2.18). [c.51]

Таким образом, переход от предмета к изобран ению снова эквивалептеп действию линейного фильт.ра, однако в этом случае преобразованию подвергается не пространственный фурье-образ комплексной амплитуды, а фурье-образ интенсивности. Функцией частотного отклика системы служит функция ё), которую с помощью (20в), (Юв) и теоремы о свертке можпо записать в виде [c.446]

Из теоремы Парсеваля (которая может быть распространена на случай двух и более переменных) вытекает, что преобразование Фурье свертки I равно произведению преобразования Фурье распределения яркости на объекте О и аппаратной функции А. Для доказательства этого положения можно иаписать выражение для преобразования i Фурье функции I [c.622]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...