Перемещения в случае простого растяжения

Перемещения в случае простого растяжения [c.117]

Перемещения и деформации в случае простого растяжения. [c.57]

Так как трудности, непреодолимые при интегрировании в случае заданных сил, исчезают, когда имеем дело с заданными перемещениями, и значительно уменьшаются, когда принимают заданными одновременно часть сил и часть перемещений или их зависимости, разыскивая остальное, то это приводит к тому смешанному методу, который особенна удобен в изложенном вопросе и который мы применяли в другом месте ). Использовав его в случае простого растяжения ( 12) и вновь напомнив прямое ( 13), но лишь приближенное решение для случая изгиба, которое было предложено двумя блестящими математиками и послужило исходной точкой для наших исследований, мы устанавливаем принимаемые условия для нашей смешанной задачи ( 14) и узнаем путем первого и простого интегрирования ( 16), что ее решение сводится к решению уравнения в частных производных второго порядка при определенном условии, что никакое давление не действует на боковые поверхности призм в продольном направлении. [c.391]

Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия. [c.45]

Отметим, что в задачах о равновесии и движении упругих тел (за исключением задачи вида II, когда заранее задаются перемещения границы) поверхность деформируемого тела, на которой задаются граничные условия, заранее неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. Однако в линейной теории упругости предполагается, что деформированная поверхность тела мало отличается от его начальной недеформированной поверхности. В этом случае, пренебрегая малыми второго порядка, можно считать, что граничные условия должны выполняться на недеформированной, а следовательно, известной поверхности (см. гл. VII т. 1). Именно так мы поступали при решении задач о простом растяжении бруса и о деформации трубы под действием заданных внутреннего и внешнего давлений. [c.342]

Заметим также, что использование зависимостей приращений деформаций от приращений перемещений (зависимостей Коши) при переходе от одного деформированного состояния к другому близкому к нему деформированному состоянию так, что приращения деформаций и перемещений при этом малы, приводит к понятию логарифмической деформации в простейшем случае одноосного растяжения. [c.45]

Упражнение 1.3. Показать, что в случае главной квазилинейной теории вязкоупругости с мгновенной линейной упругостью, описываемой соотношениями (6.5) и (6.12) предыдущей главы, перемещения при простом растяжении стержня имеют вид [c.120]

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным. [c.257]

Данная закономерность, которая очевидна при одноосном растяжении, справедлива и в случае объемного напряженного состояния тела, но при этом должны выполняться условия, сформулированные в теореме о разгрузке. Эта теорема, доказанная А. А. Ильюшиным [69], утверждает, что перемещения точки (а также деформации и напряжения) в некоторый момент разгрузки равны разностям между их значениями в момент начала разгрузки и упругими перемещениями (соответственно деформациями и напряжениями), которые возникли бы в ненагруженном теле под действием внешних сил, равных разностям нагрузок до и после разгрузки. При этом нагрузка и разгрузка должны быть простыми. Предположим, что для данного тела, находящегося под действием внешних объемных (X, У, I) и поверхностных 2 ) сил, задача пластичности [c.120]

Когда призма подвергается одновременно продольному растяжению, поперечному сдвигу, изгибу в двух перпендикулярных направлениях и кручению, то для получения полных перемещений в ее точках следует ( 119, 120) просто сложить вместе перемещения, которые имели бы место в том случае, когда она подвергалась бы только одному из этих четырех воздействий. [c.343]

В случае растяжения (сжатия эта связь имеет очевидный и простой характер взаимное перемещение двух каких-либо сече.чий равно удлинению части бруса, ограниченной этими двумя сечениями. [c.36]

Колебания растяжения—сжатия. Простейшей формой колебаний типа растяжения — сжатия является форма, при которой центральная линия кольца образует кольцо с периодически изменяющимся радиусом, а все поперечные сечения перемещаются в радиальном направлении без поворотов (рис. 5.33, б). Обозначим через и перемещение в радиальном направлении (за положительное берется направление наружу) произвольной точки кольца. Тогда относительное удлинение кольца в окружном направлении (деформация растяжения) равно и г. Потенциальная энергия деформации, представляющая в данном случае энергию простого растяжения, будет представляться следующим выражением [c.431]

В осесимметричных оболочках, как и в любых других, существуют и изгибные и мембранные усилия. Они однозначно определяются величинами обобщенных деформаций, под которыми в данном случае понимаются растяжения и искривления срединной поверхности Если перемещения каждой точки срединной поверхности известны, то такие деформации и результирующие внутренних напряжений, или просто напряжения, определяются по формулам, которые можно найти в обычных курсах теории оболочек. [c.259]

В предыдущих главах подробно изложена процедура МКЭ па примере симплекс-элементов, т. е. конечных элементов с линейной или простейшей из возможных аппроксимаций для искомых функций. Однако уже анализ решения задачи о растяжении стержня под действием собственного веса (см. рис. 1.5) показывает, что использование симплекс-элементов в этом случае не дает удовлетворительных результатов. При этом возникает естественное желание увеличить порядок интерполяционного полинома для перемещений. Например, от линейной аппроксимации перемещений в элементе перейти к квадратичной, чтобы при дифференцировании перемещений получить линейно изменяющиеся в элементе напряжения. [c.69]

Последнее утверждение нуждается в пояснении. У нас имеется две системы сил. Прикладываем первую систему сил (шаровой тензор) — получаем энергию изменения объема. Прикладываем вторую систему сил (девиатор) — получаем энергию изменения формы. Но когда мы прикладываем вторую систему, первая, приложенная ранее, должна совершить работу на обобщенном перемещении, вызванном второй системой сил. Получается, что работа суммы сил равна не просто сумме работ. При совместном действии сил надо учесть еще и взаимную работу — работу ранее приложенной силы на перемещении, вызванном последующей силой. Поэтому, вообще говоря, работа суммы сил не равна сумме их работ. Но в данном случае дело обстоит иначе. Мы разделили напряженное состояние на две части не произвольно, а так, чтобы девиаторная часть не приводила к изменению объема. Но изменение объема как раз и представляет собой обобщенное перемещение для гидростатического давления или всестороннего растяжения. Поэтому первая система сил на перемещениях, вызванных второй системой сил, производит работу, равную нулю, а энергия может рассматриваться как сумма работ в двух напряженных состояниях. [c.49]

Подход к решению задач об изгибе, основанный на решении краевых задач, так же, как при растяжении-сжатии и кручении, может быть применен и к СН балкам. Однако в общем случае он, очевидно, является громоздким, поскольку здесь необходимо использовать уравнение (5.23) четвертого порядка или метод раскрытия статической неопределимости, изложенный в гл. 7. Там же приведены более простые способы определения перемещений. [c.143]

Среди различных типов собственных колебаний, возникающих в упругом стержне, продольные колебания являются наиболее простыми для исследования. В стержне могут возникнуть крутильные и поперечные колебания, которые рассматриваются в соответствующих параграфах. При исследовании продольных колебаний предполагаем, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и что каждая точка поперечного сечения совершает только осевые перемещения. Продольные растяжения и сжатия, имеющие место при таких колебаниях стержня, сопровождаются возникновением той или иной величины поперечных деформаций. Однако в последующем обсуждении рассмотрим только те случаи, для которых длина продольных волн колебаний велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня. В этих случаях , не совершая существенной ошибки, можно пренебречь влиянием поперечных перемещений на характер продольных движений [c.323]

Далее следует цикл по времени к — параметр цикла) для каждой из составляющих. Последовательно находятся скорости перемещений узловых точек тела и скорости изменения напряжений. Задав приращение времени определяют напряжения в звеньях в следующий момент времени — 1к + и т. д. Выход из цикла осуществляется по условию, что текущее значение времени стало больше наперед заданного конечного значения времени I или текущее значение напряжения стало меньше некоторого наперед заданного конечного уровня напряжения. Интервал времени Д/ в общем случае устанавливается, как правило, переменным. В частности, для выбора рационального интервала времени Д/ или шага по напряжениям Да целесообразно параллельно, но с опережением на один шаг решать задачу вязкоупругости для простого одноосного растяжения материала. [c.32]

Функцию Ф(( ) МЫ будем называть потенциалом перемещении, формула (5.2.7) составляет содержание теоремы Кастилья-но. Потенциал Ф называют также дополнительной работой, как п в случае просто го одноосного растяжения. Вспомивая опреде-леппе основных термодинамических потенциалов, мы убеждаемся, что для адиабатического процесса Ф представляет собою энтальпию, для изотермического — свободную энталытию. [c.150]

Здесь Wo — мгновенное упругое перемещение наружной поверхности от единичного давления (изменением во времени упругих констант пренебрегаем). Ядро Р t, т) совпадает с ядром ползучести при простом растяжении — сжатии, если коэффициент Пуассона V2 (i, т) = Vq = onst. В общем случае функцию Р t, т) можно построить, определив из опытов или расчетным путем функцию 8и t, т), представляющую собой перемещение наружной поверхности цилиндра от давления q (t) =1, приложенного в момент г. [c.216]

В случае если конструкция является двух- или трехмерной и к ней приложена система нагрузок, понятие устойчивости не является столь ясным, как при простом растяжении и сжатии. Строгое определение поведения, не зависящего от времени, дается в [9, 10]. Оно гласит, что в любой квазиста-тической системе перемещений от равновесной конфигурации работа, проделанная системой сил, поддерживающей равновесие, должна быть положительной. Следует заметить, что речь идет о работе второго порядка, т. е. работе, выполняемой системой дополнительных сил на дополнительных перемещениях, в которую не включается работа первого порядка, выполненная ранее приложенной системой сил. Другими словами, нагруженная равновесная конфигурация устойчива, если приложенная к конструкции система сил не производит работу. [c.19]

Испытания на изгиб и кручение часто более удобны для определения реологических постоянных, чем испытания на простое растяжение. При реологических испытаниях наблюдаемыми кинематическими величинами редко являются непосредственно деформация или скорость деформации. Чаще это смещение или скорость смещения. При простом растяжении, где деформация является чистой, полное смещение есть сумма элементарных смещений. При изгибе стержня, где имеет место новорот элементов, смещения возрастают по длине стержня, как у вращающейся стрелки какого-либо измерительного устройства. Возьмем, к примеру, в одну руку конец небольшого стержня из какого-либо упругого материала и приложим второй рукой к другому концу некоторую силу. Если сила будет растягивающей в направлении оси стержня, то перемещения свободного конца будут едва заметны. Если сила приложена ла свободном конце в направлении, перпендикулярном к оси, то в этом случае перемещения будут заметны при условии, что стержень не слишком жесткий. Чтобы сделать этот пример более определенным, предположим, что стержень изготовлен из мягкой стали с квадратным поперечным сечением площадью в 1 мм и длиной 10 см. Прикладывая растягивающую силу в 100 г, получили относительное удлинение, согласно равенству (III, т), ei = = 3 10 см и, следовательно, в соответствии с формулой (III. 9) перемещение свободного конца равно Ai = 3-10 см. Прикладывая ту же силу в направлении, перпендикулярном к оси, найдем, что перемещение будет таким же, как в центре опертой по обоим концам балки двойной длины при приложении удвоенной силы. Это перемещение в соответствии с формулой (IV. 25) равно [c.92]

К такому же уравнению пришли бы мы и в том случае, если бы считали деформацию плоской. Поэтому полученный нами закон распределения напряжений при простом растяжении совершенно совпадает с результатами Г. Кирша. Если от напряжений перейти к определению перемещений, то тут такого совпадения уже не получится. [c.118]

Деформация называется однородной в случае, когда каждая прямая линия деформируется снова в прямую см. Трусделл и Тупин [1960, стр. 285]. Градиенты деформации (13.28) постоянны в элементе плоскости деформируются в плоскости, прямые — в прямые. Однако симплексные модели поля перемещений не всегда приводят к состояниям однородной деформации. Если, например, начальные координаты не прямоугольные декартовы, то деформация, соответствующая симплексной модели поля перемещений, в общем случае не будет однородной. В цилиндрической системе координат (г, 2, 0), например, перемещение = Л приведет к окружной деформации, зависящей от г. Имеется ряд случаев однородной деформации, представляющих особый интерес (например простой сдвиг, однородное растяжение). В этих случаях конечноэлементная модель дает точное описание кинематики деформации. См. Оден [19686, 1970а] и Оден и Агирре-Рамирес [1969]. [c.203]

Расшяжеиие упругого листа. Для начала рассмотрим относительно простую задачу о растяжении на заданную величину тонкого упругого листа. Тонкое прямоугольное тело защемлено по противоположным краям и растягивается в своей плоскости, как показано на рис. 18.2. Узловые силы на сторонах = +6/2 равны нулю, а компоненты узловых перемещений на границе x = +а/2 заданы равными +а (е — 1)/2, где е — относительное удлинение в направлении координатной линии х . Эта задача соответствует испытаниям так называемых двухосных полос, широко используемым для описания предельных свойств таких материалов, как резины, полимеры, твердые топлива и клеи. Несмотря на простоту формулировки, точного решения задачи о поведении двухосных полос при конечных упругих деформациях, по-видимому, не существует. Что же касается получения численных решений, то использование метода конечных элементов в случае этой задачи особенно удобно, поскольку на границах заданы (отличные от нуля) перемещения, а не усилия, так что не приходится исследовать изменения формы нагруженных поверхностей. [c.339]

Таким образом, простое растяжение в направлении х можно разложить на равномерное растяжение (рис. 297, Ь) и сочетание явлений чистого сдвига по плоскостям ху и Х2 (рис. 297, с). Можно видеть, что работа напряжений, вызывающая лишь искажение формы (рис. 297, с), на перемещениях, возникающих от равномерного растяжения (рис. 297, Ь), обращается в нуль. Энергии деформации случаев (Ь> и (с), таким образом, не зависят друг от друга, и полная энергия деформации при простом растяжении (рис. 297, а) получается п)пгем сложения энергии деформации при всестороннем равномерном растяжении и энергии деформации изменения формы. [c.377]

Эти простейшие задачи на основании различных произвольных допущений относительно деформации тел были разрешены значительно ранее установления обпщх уравнений теории упругости. Сюда относятся случаи растяжения и сжатия призматических стержней, задача о всестороннем равномерном сжатии, чистый изгиб призматических стержней и пластинок и кручение круглых стержней. Все эти вопросы излагаются в элементарном курсе сопротивления материалов. Здесь мы еще раз возвращаемся к ним, чтобы на самых простых примерах показать общий ход решения задач теории упругости и выяснить общий метод определения перемещений точек упругого тела, если известно распределение напряжений. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...