О прямом интегрировании уравнений движения

О прямом интегрировании уравнений движения [c.373]

Возникает вопрос о непосредственном применении вариационных принципов механики для определения закона движения системы материальных точек без интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений движения. Ответ на этот вопрос можно найти в прямых методах вариационного исчисления. Не рассматривая этот вопрос подробно, так как такое рассмотрение выходит за пределы содержания этой книги, остановимся на некоторых частных случаях непосредственного применения принципа Гамильтона — Остроградского к решению задач динамики. [c.210]

Ниже рассматриваются некоторые задачи о прямолинейном движении материальной точки, причем во всех случаях координатную ось л мы будем совмещать с прямой, вдоль которой происходит движение. В таких задачах вектор действующей на точку силы полностью определяется его единственной проекцией Рассмотрим несколько случаев прямолинейного движения материальной точки, в которых можно заранее указать методы интегрирования дифференциальных уравнений движения, каждый из случаев относится к определенному характеру действующей силы. [c.25]

Различают две задачи о малых колебаниях молекулы прямую и обратную. В прямой задаче постоянные к , к , к и к считаются заданными и задача сводится к вычислению частот и форм нормальных колебаний молекулы. В обратной задаче по известным из опыта собственным частотам колебаний молекулы требуется определить ее силовое поле, т. е. набор постоянных к , к , к и Н . Решение любой из этих задач в конечном счете сводится к интегрированию системы уравнений движения [c.250]

При решении задач на устойчивость движения прямым. методом интегрирования д н ф ([) е р е н ц и а л ь -пых уравнений возмущенного движения рекомендуется следующий п (3 р я д о к действий [c.646]

Интегрирование уравнения (1) совместно с соответствующим уравнением движения твердого тела и геометрическим условием для определения радиуса пятна контакта типа (2.2) предлагается проводить численно с помощью квадратурных формул, учитывающих наличие неинтегриру-емых особенностей у функции С (Ь,х) на прямых = ж . Этот алгоритм реализован в работах А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [34], А. Г. Горшкова, А. Л. Медведского и Д. В. Тарлаковского [18-22], где кроме симметричной задачи рассмотрен более сложный вопрос о наклонном ударе цилиндрического тела по упругой полуплоскости при различных условиях контакта. В этом случае вместо уравнения (1) приходится рассматривать систему из двух интегральных уравнений. [c.379]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Интегрирование уравнений динамики вязкого газа представляет значительные математические трудности. Простейшим примером такого интегрирования является решение одномерной задачи о переходе безграничного сверхзвукового потока в дозвуковой. Этот переходный процесс протекает в тонкой, но конечной по величине области, которая должна при более глубоком рассмотрении явления заменить принятую в динамике идеального газа упрощенную схему прямого скачка уплотнения или ударной волны, представляющих плоскости разрыва динамических и термодинамических характеристик потока. Как сейчас будет показано, размеры этой переходной области очень малы и, во всяком случае, сравнимы с длиной свободного пробега молекулы. Естественно, возникает вопрос о допустимости применения в областях столь малого размера уравнений динамики сплошной среды, вообще, и выведенных в предыдущем параграфе уравнений, в частности, так как само представление о газе как о некбторой сплошной среде справедливо лишь при движениях в области, размеры которой велики по сравнению с длиной свободного пути пробега молекулы. Имея в виду это существенное возражение ), разберем все же решение поставленной задачи с точки зрения классических уравнений динамики вязкого газа. В оправдание приведем следующие два соображения 1) это решение показывает, что переходная область имеет порядок длины свободного пути пробега молекулы и 2) служит простой и хорошей иллюстрацией применения уравнений динамики вязкого газа ). [c.810]

Частные решения (3) позволяют найти для бассейна, ограниченного двумя вертикальными прямыми х = —6, х = Ъ, решение задачи о движении волн, возникших от сообш,ения жидкости данных начальных скоростей и от начального изменения горизонтального уровня жидкости. Иными словами, с помош,ью частных решений (3) можно найти интеграл уравнения Лапласа, удовлет-воряюп ий, помимо условий (1) 3, также и условиям (3) 3. Это достигается обычными приемами интегрирования уравнений математической физики. [c.30]

Течение жидкости, расположенной между двумя пластинами, вызванное поступательным движением одной из них, называют течением Куэтта. Например, жидкость находится между двумя параллельными пластинами айв, отстоящими друг от друга на расстоянии h. Движение жидкости вдоль оси х осуществляется за счет поступательного движения верхней пластины. Составляющие вектора скорости вдоль осей у и z равны нулю, а и — (у)- В случае стабилизированного (duJdx = 0), стационарного dujdt = 0), безнапорного др дх = 0) течений вязкой жидкости при пренебрежении действием массовых сил х = у = z = Q) уравнения движения примут вид О = vd ujdy или Ux= Су С- , где С и Q —постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий при у — О UX = О, при у = h Ux = UQ. Тогда С = О, а i= ujh. Следовательно, при течении Куэтта распределение скоростей по координате у будет описываться уравнением, которое соответствует прямой линии. [c.51]

Мы переходим теперь к движению точки, притягиваемой двумя неио-движиьтми центрами. Ограничимся сначала тем случаем, когда движение происходит в плоскости, что будет всегда иметь место, если направление начальной скорости лежит в одной плоскости с прямой, соединяющей неподвижные центры. )ту прямую возьмем за ось tg прямую перпендикулярную к ней, проходящую посредине между ненодвижнымп, отстоящими друг от друга на If центрами, возьмем за ось х . Выразим теперь и через Aj и Лд и выберем постоянные и а , входяпще в подстановку, так, что оба неподвижные центра попадают в фокусы софокусной системы тогда мы придем к интегрированию дифференциального уравнения [c.198]

О методах решения задачи. С математической точки зрения рассматриваемая задача сводится к изучению решений нелинейных дифференциал ,ных уравнении, которые в каждой из определенных частей фазового пространства являются линейными, однако имеют в каждой такой части различную аналитическую запись и даже различный порядок [см. (1) и (2) при F = N = О и уравнение (7)]. Аналитическое решение подобной задачи может быть выполнено точными методами — так называемым обратным методом [6], а также методами поэтапного интегрирования, припассовывания, точечных отображений Могут быть использованы и приближенные методы — гармонического баланса и прямого разделегшя движений (см. т. 2, гл. II). Помимо аналитических методов используют графические построе1шя, а также цифровые и аналоговые вычислительные машины. [c.16]

Применимость этого способа к неавтономным системам была проверена иа задаче о колебаниях грузовой платформы, предназначенной для скоростных перевозок [26]. Устойчивость движения этого экипажа определялась из системы уравнений 32-го порядка. Рассматривалось движение по пути, ось которого в плане имеет синусоидальные отклонения от прямой i/ — d sin ot, со = 2nVL , где V — скорость движения L — длина волны. Был взят наиболее неблагоприятный резонансный случай. При этом порядок неавтономной системы был понижен с 32-го до второго. Расхождение при интегрировании полной и укороченной системы составило 5,7%. [c.412]

Задача о движении нескольких вихрей имеет ряд существенных достоинств. Во-первых, она допускает простое численное интегрирование в рамках современных вычислительных подходов. Во-вторых, в ряде случаев симметрии движения относительно прямой или точки удается построить аналитические выражения для зависимости координат от времени или установить относительные траектории движения. Наличие точных решений позволяет оценивать эффективность вычислительных алгоритмов решения задачи Коши применительно к нелинейным вихревым движениям. И, наконец, если задача трех вихрей в целом интегрируема, то четыре и более вихрей обеспечивают простейший (если можно употреблять такое слово) прид1ер хаотического поведения. Отметим, что хаотическое движение нельзя рассматривать как пример турбулентных течений, поскольку турбулентность в обычном понимании означает стохастическое поле скорости, описываемое детерминированными уравнениями Навье — Стокса. Скорее вдесь речь должна идти о новом режиме течения, не укладывающемся в традиционное деление на ламинарное и турбулентное движение. Стохастическое движение системы нескольких вихрей представляет собой ламинарный поток со стохастическими свойствами. Когерентные вихревые структуры в турбулентных ( например сдвиговых ) течениях, наоборот, представляют собой регулярные картины потока в стохастическом поле скорости. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...