Мгновенная ось вращения и мгновенная угловая скорость тела

Мгновенная ось вращения и мгновенная угловая скорость. Очевидно, что перевод твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, из одного положения, соответствующего моменту 1, в другое положение, соответствующее моменту +ДЛ одним поворотом вокруг оси конечного вращения на угол Да, вообще не представляет действительного перемещения этого тела. Однако чем меньше будет промежуток времени Д , тем перемещение, совершаемое поворотом вокруг оси на угол Да, будет ближе к действительному перемещению тела. [c.380]

Перманентная и мгновенная оси вращения. Если скорости точек тела, лежащих на оси АВ, равны нулю ао все время движения, то эта ось называется перманентной или постоянной осью вращения. Изложенные выше результаты относятся именно к этому случаю. Если же скорости точек тела, лежащих на некоторой оси, равны нулю только в данный момент времени, то эта ось называется мгновенной осью вращения. Значения скоростей всех точек тела в этом случае также определяются формулой (21), где векторная величина о, направленная по мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью тела, В отличие от перманентной оси, мгновенная ось вращения, а с ней и вектор мгновенной угловой скорости 0) непрерывно изменяют свое направление как в самом теле, так и по отношению к основной системе отсчета. [c.100]

Нап-равление этого вектора, вообще говоря, не совпадает с мгновенной осью вращения. Пусть, например, угловая скорость тела, имеющего неподвижную точку О (рис. 109) и не показанного на [c.180]

Найдем кинетический момент гироскопа относительно неподвижной точки О. Сложив векторы оз, и о) , получим абсолютную мгновенную угловую скорость гироскопа Q [см. равенство (107)]. Так как гироскоп есть тело вращения вокруг оси у, то эта ось и две перпендикулярные к ней оси х w z являются главными осями инерции гироскопа в точке О, а потому, как было указано выше, кинетические моменты гироскопа относительно этих осей равны [c.350]

Ох и Оу разместим в горизонтальной плоскости. Эти оси не показаны на рис. 55. Ось 0 подвижной системы координат, как и раньше, направим по оси симметрии тела ОС (рис. 55). Ось Ог направим по линии узлов, ось 0% лежит в плоскости О г. Как известно, мгновенная угловая скорость тела является результатом сложения трех вращений вокруг осей Ог, Оц и 0 с угловыми скоростями ф, 0 и ф соответственно. [c.431]

Последние три из уравнений (1) определяют движение тела относительно системы координат 0 т]С (относительное движение тела), т. е. движение тела вокруг полюса О, который занимает в этой подвижной системе координат неизменное положение. Это относительное сферическое движение таково, что в каждый данный момент существует проходящая через полюс О мгновенная ось вращения ОР, вокруг которой тело вращается с некоторой мгновенной угловой скоростью и) и с мгновенным угловым ускорением е. Если последние три из уравнений (1) заданы, то модуль и направление вектора ш, а также и вектора е могут быть определены по формулам, выведенным в 75. [c.396]

В частных случаях, когда эллипсоид инерции тела для точки О будет приводиться к шару J — J = У ) или когда вращение тела происходит вокруг одной из главных осей инерции, например оси г (и> = (Оу = 0), направление векторов кинетического момента Ко и мгновенной угловой скорости (О между собой совпадают, т. е. [c.698]

Рис. 11 и 12. Диск со штангой (Л5) и шар со штангой (Л5) катятся по плоскости конец штанги (Л) неподвижен (изображен вид сечения). Мгновенная ось вращения СС проходит через неподвижную точку Л = С и через ту точку диска или шара Р, которой катящееся тело в данное мгновение соприкасается с плоскостью (Р = С) скорость этой точки (в данное мгновение) равна нулю. Вместе с тем сама точка касания С как видимый образ движется по плоскости с ненулевой скоростью. Подвижная система координат (угол поворота tjj) вращается так, что в ней точка касания неподвижна и происходит вращение тела вокруг штанги абсолютная угловая скорость есть сумма переносной и относительной. Указанное на чертеже направление отсчета угла ф не совпадает с фактическим направлением вращения [c.279]

При сложении двух направленных в противоположные стороны вращений вокруг параллельных осей абсолютное движение тела таково, что в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения тела, параллельная осям данных вращений и делящая расстояние между ними внешним образом на части, обратно пропорциональные относительной и переносной угловым скоростям. Мгновенная абсолютная угловая скорость тела параллельна относительной и переносной угловым скоростям и направлена в сторону большей из них, а ее модуль равен разности модулей этих угловых скоростей. [c.366]

Полученное правило сложения вращений вокруг пересекающихся осей позволит нам теперь выразить проекции мгновенной угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную точку О, через углы Эйлера и их производные. [c.252]

Оси вращения тела и двух вспомогательных систем пересекаются в одной точке. Следовательно, результирующее движение тела относительно системы уи у , уз будет вращение с мгновенной угловой скоростью , равной сумме о , ю" (см, гл. I, 11) [c.380]

В 6 мы рассмотрели частное решение уравнений движения в случае Лагранжа — регулярную прецессию. Затем, предполагая, что величина Го (проекция мгновенной угловой скорости тела на ось собственного вращения) большая, мы, качественно исследуя нелинейные уравнения движения, оценили (строго) размах колебаний оси собственного вращения и отклонение величины скорости собственного вращения от постоянной. Оценки показали, что, назначая достаточно большое Го, мы можем сделать сколь угодно малым размах колебаний оси волчка, а скорость собственного вращения — сколь угодно близкой к постоянной. В этом смысле можно говорить об устойчивости (при большом значении Го) регулярной прецессии в случае Лагранжа. [c.428]

Для того чтобы определить кинетическую энергию То-, обратим внимание на то, что в относительном движении точка О неподвижна (она находится в начале координат системы х, у, г ), и поэтому Го- подсчитывается как кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. При наличии неподвижной точки всегда существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку. В рассматриваемое мгновение скорости распределяются так, как если бы тело вращалось с угловой скоростью о вокруг этой оси, поэтому [c.171]

Если твердое тело одновременно участвует в двух вращениях вокруг пересекающихся осей, то одно из этих движений принимается за переносное вращение, а второе — за относительное. Обозначая мгновенные угловые скорости переносного движения через о,, и относительного движения через можно [c.480]

Мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение rej a. Угловая скорость ш, с которой происходит элементарный поворот тела вокруг мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью или угловой скоростью тела в данный момент времени. Вектор W направлен вдоль мгновенной оси вращения и может быть приложен в любой ее точке, в частности в точке О, общей для всех мгновенных осей. При движении тела вектор (О в общем случае изменяется со временем и по модулю и по направлению, т. е. (О = W (/). Производная от w по времени определяет вектор [c.134]

Переносное движение, т. е. движение системы О х у г по отношению к Охуг, зададим абсолютной скоростью VQ полюса О и вектором угловой скорости вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через О. Определению подлежат абсолютная скорость ( 0 ) полюса О" и абсолютная угловая скорость тела в а. [c.325]

Мгновенная ось вращения ОР изменяет свое положение при движении тела, оставляя след в виде конуса, и в движущемся теле и в поступательно движущейся системе отсчета Эти два конуса имеют общую вершину О и в каждый данный момент касаются вдоль общей образующей, по которой направлен вектор мгновенной угловой скорости Ш. [c.397]

Другими словами, если мгновенные угловые скорости (й и ft)i пересекаются, то результирующее движение твердого тела будет мгновенным вращением с мгновенной угловой скоростью Q, равной геометрической сумме мгновенных угловых скоростей (о и (О). В этом заключается теорема о сложении мгновенных вращений вокруг пересекающихся осей. [c.39]

Проекции же мгновенной угловой скорости 2 вращения тела Т на оси х, у, г не равны (Од , (Оу, со , а составляют. величины 2ж) и соответственно. [c.37]

Твердое тело с пятью степенями свободы. Положение свободного твердого тела в пространстве зависит от шести параметров (п. 183). Если между этими параметрами установить какое-нибудь соотношение, то тело будет иметь только пять степеней свободы и его положение будет зависеть от пяти параметров д , д ,. .., д, . Доказать, что если тело поместить теперь в какое-либо определенное положение, то все воз.можные перемещения, допускаемые наложенными на него связями, должны удовлетворять следующему геометрическому условию. Существует такая неподвижная прямая D, что проекция на нее скорости поступательного движения, сообщенной определенной точке тела, находится в постоянном соотношении с проекцией на ту же ось сообщенной телу мгновенной угловой скорости вращения. Нужно заметить, что координаты Xq, уо, Zq определенной точки тела и девять направляющих косинусов осей Ох, Оу, Ог прямоугольного координатного триэдра, связанного с телом, относительно неподвижных осей 0 Х- , уу, z (п. 51) будут функциями пяти параметров д . Тогда, если сообщить этим параметрам произвольные вариации Ъд- , Ьд ,. .., ёд в течение промежутка времени at, то проекции Vy, к возможной скорости точки О на оси Охуг и компоненты р, д, г возможной мгновенной угловой скорости вращения по тем [c.254]

Правые части L, М, N этих уравнений являются функциями переменных 9, ср, ( ), если заданные силы зависят только от положения тела, и они будут функциями переменных 9, ср, ф, р, д, г, если эти силы зависят также и от скоростей. Если бы потребовалось вычислить непосредственно 9, ср, с ), то исключение р, д, г приведет к трем уравнениям второго порядка относительно 9, ср, с ). Общие интегралы будут содержать шесть постоянных, которые можно определить, зная начальное положение тела и начальную мгновенную угловую скорость вращения, т. е. зная ср . с )о, р , д и Гу. [c.144]

Что касается мгновенной угловой скорости о) вращения твердого тела, то она может быть получена следующим образом. Если ф и б известны, то известно положение триэдра Охуг и остается только определить положение тела относительно этого триэдра. Для этого достаточно знать угол ср, который образует с осью Ох какая-нибудь прямая ОА в плоскости хОу, неизменно связанная с телом, считая этот угол положительным в сторону положительного вращения вокруг оси Ог. [c.190]

Тогда тело можно переместить из какого-нибудь одного положения в другое бесконечно близкое к нему положение, повернув его на углы й ф, 9, ср вокруг осей Од,, Ох, Ог. Мгновенная угловая скорость О) вращения тела есть результирующая угловых скоростей /, 9, ср вращения вокруг тех же трех осей, и мы получаем для составляющих этой угловой скорости [c.190]

Движение твердого тела около неподвижной точки.—Если твердое тело закреплено в одной точке О, то скорость этой точки постоянно равна нулю, поэтому движение тела в каждый момент времени представляет собой мгновенное вращение вокруг оси OR, проходящей через точку О (п° 65). Если движение тела не есть непрерывное вращение вокруг неподвижной оси, мгновенная угловая скорость постоянно изменяется по направлению и по величине как в неподвижном пространстве, так и в движущемся теле. Геометрическое место мгновенных осей в пространстве есть коническая поверхность с вершиной в точке О (неподвижный аксоид), геометрическое место этих осей в теле есть другая коническая поверхность с вершиной в той же точке (подвижный аксоид). В каждый момент времени [c.83]

Если вектор ю мгновенной угловой скорости остается параллельным постоянному направлению, то ускорение любой точки тела равно геометрической сумме ускорения точки О тела, взятой произвольно, и ускорений касательного и нормального в непрерывном вращении м вокруг точки О. [c.111]

Вращение вокруг мгновенной оси должно иметь такое направление, чтобы скорость точки О имела такое же направление, что и скорость V. Отсюда получаем совпадение направлений вращения относительного и абсолютного вращений. Следова-гельно, Q = o. Таким образом, при сложении поступательного перепоатго и вращательного относительного движений твердого тела, у которого скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения, эквивалентное абсолютное движение является вращением вокруг мгновенной оси, параллельной оси относительного вращения с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью относительного вращения. [c.215]

Мгновенная ось (ось абсолютного вращения) проходит через точку В пересечения осей переносного и относительного вращений и через точку касания диска с неподвижной плоскостью. Применив теорему о сложении вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей 0J = (1) построим параллелограмм угловых скоростей, являющийся в рассматриваемой задаче прямоугольником. Обозначив угол СВйР через а, нетрудно найти, что [c.296]

Мы принимаем за оси Oxyz главные оси Рис. 136 эллипсоида инерции тела, построенного относительно неподвижной точки О. Обозначим К — количество движения тела, и — вектор мгновенной угловой скорости вращения тела, Fv — действующие на твердое тело активные силы, R — реакцию неподвижной точки. Радиусы-векторы точек тела обозначим через г, а через т — массы, через обозначим радиус-вектор центра тяжести тела. Скорость точки тела равна [со, г] отсюда вектор количества движения К определяется соотношениями [c.188]

Если бы в процессе двиисення углы ф, 6 п ф оставались неизменными, то тело перемещалось бы поступательно в соответствии с тремя первыми уравнениями системы (4.4). Если бы полюс Л тола оставался неподвижным, то тело двигалось бы вокруг неподвижной точки А согласно трем последним уравнениям системы (4.4). В действительности же в общем случае движения твердого тела меняется как положение полюса, так и углы Эйлера. Поэтому мы можем сказать, что в общем случае движеи ие твердого тела в каждый момент времени слагается из поступательного движения, при котором все точки движутся со скоростью произвольно выбранного полюса Л, и из вращения с мгновенной угловой скоростью (о вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс А. [c.75]

Мы видели раньше (п. 382), что мгновенная угловая скорость вращения w есть геометрическая сумма трех угловых скоростей 9, ср и ф, направленных соответственно вдоль О/, Ог и Ог,. В рассматриваемом случае угол zOzi постоянен, 9 равно нулю, ср и ф тоже постоянны (рис. 227). Мгновенная угловая скорость вращения to есть диагональ параллелограмма, построенного на ф и ср. Этот параллелограмм не меняется в течение всего времени движения. Геометрическое место мгновенных осей вращения со в теле есть, следовательно, круговой конус с осью Oz-, геометрическое место мгновенных осей в пространстве есть круговой конус с осью Ог . Движение тела получается как результат равномерного качения одного конуса по другому. [c.157]

В самом деле, переносная скорость этой точки равна по модулю (О ВС и направлена по прямой, перпендикулярной к плоскости чертежа (от читателя) относительная скорость точки С равна по модулю (о ЕС и направлена по той же прямой в противоположную сторону. Произведения ш ОС и т СЕ равны, так как каждое из них выражает площадь одного и того же параллелограмма ОАСВ. Отсюда следует, что абсолютная скорость точки С равна нулю. А так как скорость неподвижной точки О также равна нулю, то в данный момент абсолютные скорости двух точек тела оказываются равными нулю, а потому в абсолютном движении тела прямая ОС представляет собой мгновенную ось вращения этого тела. Определим угловую скорость Q этого вращения. Для этого возьмем в данном теле точку, совпадающую с точкой В ее абсолютная скорость по модулю равна й-ЕВ с другой стороны, эта скорость равна, очевидно, по модулю и направлению переносной скорости точки В, так как относительная скорость точки В равна нулю. Отсюда прежде всего следует, что вращение [c.374]

Будем рассматривать твердое тело с неподвижной точкой О, которое совершает движение относительно неподвижной системы координат OxiUiZu Пусть некоторая подвижная система координат Oxyz совершает самостоятельное движение, вообще не связанное с движением твердого тела, с мгновенной угловой скоростью й, изменяющейся с течением времени по величине и по направлению. Мгновенную угловую скорость вращения твердого тела обозначим через (О (рис. 228), а ее проекции на оси х, у, z через р, q, г. Пусть Р, Q, R — проекции вектора Q на те же оси, а L, М, N, как и прежде, обозначают проекции вектора Шо на оси х, у, г. Для живой силы твердого тела будем иметь значение [c.396]

Теорема . Не изменяя движения тела и сохраняя его мгновенную угловую скоростыл, можно перенести мгновенную ось вращения параллельно ее начальному направлению в произвольное положение в теле, сообщив при этом телу дополнительную переносную мгновенную поступательную скорость. [c.171]

На основании общей теории сложного движения твердого тела можно заключить, что при илоскоиараллельном движении существует мгновенная ось вращения. Действительно, вращение вокруг полюса — это вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой движется плоская фигура. Следовательно, для линейной скорости полюса Vq и угловой скорости 0 вращения вокруг полюса существует соотношение [c.190]

Если положение триэдра Gxyz известно, то, для того чтобы узнать положение тела, достаточно будет знать еще угол <р, который образует радиус GM окружности К, неизменно с ней связанный, с осью Gx. Мгновенная угловая скорость <о тела будет тогда результирующей угловой скорости Q триэдра Gxyz и угловой скорости ср вокруг оси Gz. Следовательно, составляющие р, q, г этого вращения будут (п. 400) [c.223]

Если Р равно нулю, то X будет постоянной, что дает теорему площадей. Второе приложение. Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки. Рассмотрим твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О, и вычислим энергию ускорений S, относя движение к системе осей Охуг, движущихся одновременно как относительно тела, так и в пространстве. Обозначим через Q мгновенную угловую скорость вращения триедра Охуг и через Р, Q, R— его составляющие по осям, через w— мгновенную угловую скорость вращения тела и через р, q, г — ее составляющие. Частица т тела с координатами х, у, г обладает абсолютной скоростью д с проекциями [c.336]

Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки. Пусть О — неподвижная точка, Оху г—главные оси инерции в этой точке и. 4, В, С — соответствующие моменты инерции. До удара тело будет соверщать мгновенное вращение с составляющими угловой скорости по осям Охуг, равными Ра, да. Га, а после удара оно будет совершать мгновенное вращение с составляющими р , д , щ. Проекции скорости Од точки т х, у, г) равны [c.453]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...