Уравнение автоколебаний

Дифференциальное уравнение автоколебаний системы с одной степенью свободы с нелинейной упругой характеристикой и нелинейной характеристикой посту пления и рассеяния энергии имеет вид [c.355]

Подбором начала отсчета времени можем обеспечить, чтобы решение однородного уравнения (автоколебания) имело вид q = = <7о sin (ojf. [c.109]

Дифференциальные уравнения автоколебаний нелинейны. Линеаризация их позволяет упростить математический анализ явления. Решение линейных дифференциальных уравнений позволяет найти условия возникновения автоколебаний. Модель колебательной системы резца с двумя степенями свободы показана на рис. 83. Масса системы т считается сосредоточенной в вершине резца, а силы сопротивления пропорциональны скоростям [c.91]

Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного мотора. Приведем некоторые примеры систем с более сложным разбиением пространства параметров — грубым по отношению к некоторому классу характеристик. Рассмотрим систему (уравнения автоколебаний синхронного мотора) (гл. 18, 3) [c.449]

Методом малого параметра определить амплитуду а и период автоколебаний, возникающих в системе, движение которой определяется уравнением [c.439]

Период автоколебаний равен Xq 4- т -f ется корнем трансцендентного уравнения [c.117]

АВТОКОЛЕБАНИЯ - устойчивые незатухающие периодические колебания, возникающие в нелинейных динамических системах при отсутствии внешних периодических воздействий. Интенсивность и частота А не зависит от изменения в определенных пределах начальных условий динамической системы. Системы,в которых происходят А, называются автоколебательными. А в физической системе возможны лишь тогда, когда поступление энергии от ее источника за определенный период равно потере (рассеянию) энергии за то же время. Если нелинейная динамическая система описывается дифференциальным уравнением [c.3]

С целью исследования стационарных автоколебаний возвратимся к рассмотрению решения уравнения (11.232) в форме [c.287]

Здесь- д1< 1. Если положить Хо = О, то получим уравнение, которое рассматривалось при изучении автоколебаний. [c.306]

Анализируя уравнение (5.2.7), можно сделать некоторые важные выводы. Если предположить, что коэффициент при первой производной йх/й1 в состоянии покоя системы (х = 0) можно подбором параметров г, Я, С, С,, 5(0) сделать меньше нуля, то в системе могут возникнуть автоколебания. Их частота определяется произведением двух постоянных времени релаксации гС] и ЯС, т. е. (о2 = ( / l) . Условия самовозбуждения системы имеют вид [c.194]

При произвольном к( А) последнее уравнение аналитически не разрешается. Однако для очень малых значений А, можно считать, что амплитуда автоколебаний в автономном режиме и амплитуда автоколебаний при внешнем воздействии близки друг к другу, т. е. Л тогда из второго уравнения (5.6.5) получаем соот- [c.218]

Укороченные уравнения, пригодные для анализа этой системы на линейном участке характеристики (без учета члена удо, ответственного за ограничение амплитуды автоколебаний), запишутся следующим образом [c.229]

Ниже на некоторых характерных примерах поясняется либо только вывод, либо вывод и результат решения нелинейных уравнений свободных колебаний применительно как к консервативной, так и неконсервативной системам качественная сторона нелинейных колебаний, составляю-называемый автоколебаниями, нелинейные вынужденные [c.220]

Автоколебания описываются нелинейным дифференциальным уравнением (или уравнениями), вследствие чего автоколебания относятся к классу нелинейных колебаний. Так, например, в случае системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение имеет вид ) [c.227]

Из уравнения (10а) может быть определена частота автоколебаний [c.137]

Запишем Для 5-го отрезка времени уравнение для постоянной составляющей автоколебаний в форме (6) [c.138]

Отметим, что выполненные выше построения относятся к случаю, когда решение системы дифференциальных уравнений (9.29) отыскивается в классе разрывных функций. Необходимость в этом возникает при исследовании вынужденных колебаний и автоколебаний (см. п. 13) в некоторых нелинейных системах [28 29]. [c.271]

Приведенные условия, вообще говоря, можно использовать для определения периода Т автоколебаний. Однако (13.37), (13.38) формально нельзя рассматривать как условия для определения периода Т. В том случае, когда det (Я — /) = О, период Т следует отыскивать из условия разрешимости системы уравнений (13.35), причем условия (13.37), (13.38) позволяют устранить произвол в вычислении компонент вектора Хо- [c.346]

Экспериментальные исследования показали, что нелинейность демпфирования колебаний штока с инструментом снижает Ту до величины, значительно меньшей и поэтому может быть исключено из уравнений. В этом случае по условию (6.4) можно найти динамические характеристики привода в функции производительности Qo- Так, минимально допустимая частота автоколебаний привода fa определится соотношением [c.148]

Решение упрош,енного уравнения движения (1, 10) показало, что характер < [)азовых портретов качественно соответствует характеру фазовых портретов автоколебаний точной системы (1, 2). Однако амплитуда автоколебаний в упрощенной системе [c.85]

В несколько раз больше амплитуды автоколебаний в точной системе. Например, при D = 0,22 и В --= 0,13 амплитуда в обеих системах была одинаковой, если интенсивность возбуждения П в упрощенной системе была настроена приблизительно в два раза меньшей. Учитывая, что упрощенные уравнения также не интегрируемы, даже для системы без рассеивания энергии, замену более полноценной аппроксимации (2) первыми членами ряда (10) не рекомендуем. [c.86]

Значение упругих гироскопических систем с распределенными и сосредоточенными массами в современном машиностроении продолжает возрастать. Изучение их динамики во многих случаях приводит к рассмотрению систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с квазилинейными краевыми условиями [1]. Б реальных объектах среди действующих сил всегда присутствуют также и диссипативные силы. Однако в большинстве случаев при исследовании колебаний упругих систем силы демпфирования учитывают только в зонах резонанса. Вне этих зон ими обычно пренебрегают. Исключение составляют враш ающиеся системы, где внутреннее трение может служить причиной потери устойчивости в закритической области [2] и привести к возбуждению автоколебаний 3]. [c.5]

Запишем величины соА, в виде (5) и подставим в (3). Приравнивая члены при одинаковых степенях ц, получим системы уравнений, из которых порождающая будет совпадать с (3) и содержать в себе величины ю / , г/ , , имеющие нормальное распределение. Рассмотрим в первую очередь порождающую систему-Осредняя (3) по множеству и имея в виду, что соА = Д, у = = г/ , = , получим уравнения для математических ожиданий амплитуды и фазы автоколебаний ротора [c.19]

Из системы уравнений, включающих в себя (8) и первое уравнение (6), можно найти математическое ожидание и дисперсию амплитуды автоколебаний ротора. [c.20]

За областью стационарных режимов различие в начальных условиях несущественно все три кривые быстро сближаются. До сих пор при исследовании нестационарного перехода через область автоколебаний с частотой мы принимали все остальные составляющие равными нулю в начальный момент времени, т. е. Vi (0) = г/з (0) — (0) = 0. В этом случае нестационарный процесс описывался одним уравнением, содержащим единственную отличную от нуля амплитуду. [c.45]

Рассматриваются колебания несбалансированного ротора, частота оборотов которого меняется по случайному закону. Получены зависимости математических ожиданий амплитуды автоколебаний от математического ожидания частоты оборотов. Выведены уравнения для определения корреляционных функций амплитуды, и фазы автоколебаний ротора. [c.109]

Автоколебания на металлорежущих станках. Принимая во внимание нелинейную характеристику силы резания Р (х), дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы можно написать так [c.92]

При е < 1 автоколебания близки к гармоническим. Если е > 1, то отличие от гармонических колебаний тем больше, чем больше значение е. В том случае, когда е < 1, решение уравнения (13) ищут в виде [c.96]

Экспериментальная проверка формулы (20) подтвердила, что при расчетных значениях жесткости интенсивность автоколебаний не превосходит заданного значения [Л]. Нужно заметить, что при трении уравнение (13) можно использовать только до тех пор, пока при движении скорость скольжения не меняет знак. [c.101]

Среди нелинейных систем особое место занимают автоколебательные системы. Термины автоколебания и автоколебательные системы предложены более 50 лет тому назад А. А. Андроновым. Явление автоколебаний проявляется в самых разнообразных формах, таких, как, например, свист телеграфных проводов, скрип открываемой двери, звучание человеческого голоса или смычковых и духовых музыкальных инструментов. Автоколебательными системами являются часы, ламповые генераторы электромагнитных колебаний, паровые машины и двигатели внутреннего сгорания, словом, все реальные системы, которые способны соверщать незатухающие колебания при отсутствии периодических воздействий извне. (Слово реальные здесь означает, что исключается идеализированный случай, когда система не обладает трением.) Характерные свойства автоколебательных систем обусловлены нелинейностью дифференциальных уравнений, которые описывают поведение таки с систем. Правые части этих дифференциальных уравнений обычно содержат нелинейные функции фазовых переменных л . На рис. 1.1 —1.4 приведены графики функций, которые отражают типовые нелинейности, встречающиеся при рассмотрении многих механических и электрических автоколебательных систем. Характеристика силы сухого (кулоновского) трения имеет вид, показанный на рис. 1.1, а, где у — относительная скорость трущихся [c.10]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Связь нелинейных колебаний с самоорганизующимися процессами объясняется тем, что самоорганизующимися считаются любые автоколебательные процессы, обусловленные образованием устойчивых незатухающих колебаний независимо от начальных условий. В линейной области колебания всегда носят хаотический характер, а в нелинейной возможны автоколебания (упорядоченные колебания). Автоколебания отвечают условию, при котором отклик системы на внешнее воздействие не пропорционален воздействующему усилию. Эта ситуация математически описываегся одними и теми же нелинейными уравнениями независимо от среды и условий, при которых возникают автоколебания [ 13]. [c.253]

Вновь рассмотрим дифференциальное уравнение колебаний маятника (II. 230а). Будем искать приближенное решение этого уравнения, предполагая, что колебательное движение маятника приближается к стационарным автоколебаниям. Б этом случае амплитуда колебаний маятника должна мало отличаться от постоянной величины. Обозначим эту амплитуду a(t) и положим [c.288]

Конечно, равенство (11.241) нельзя рассматривать как точное определение частоты автоколебаний маятника с трением. Это лишь одна из возможных приближенных формул, которые можно применить при определении о>. Подставляя (II. 240а) в уравнение (II. 231Ь), найдем [c.288]

Если усилитель дает сдвиг фаз между напряжениями на его входе и выходе, равный л (/СусСО), то, согласно условию (9.3.6), сдвиг фаз, создаваемый цепочкой, должен равняться (2т+1)л, где т = 0, 1, 2,. ... Каждое из звеньев цепочки (рис. 9.8) дает сдвиг фаз ф, определяемый соотношением tgф= 1/оикС. Для реальной схемы он всегда меньше л/2, и поэтому минимальное число звеньев, входящих в цепь R -генератора, должно равняться трем. Система, описываемая уравнением (9.3.6), в этом случае имеет одну частоту автоколебаний СО1. На этой частоте сдвиг фаз, вносимый цепочкой, равен л. Вторая, более низкая частота со возникает при числе звеньев /г > 6. Сдвиг фаз по цепочке на этой частоте будет равен Зл. Третья частота появится при п> 10 и т. д. [c.317]

На рис. 62 дан график скорости ползуна х в зависимости от координаты А, т. е. решение уравнения движеиия механизма на ф ззовой плоскости. Из этого графика видно, что фазовая траектория рассматриваемого механизма представляет собой постоянно повторяющуюся замкнутую кривую, характерную для режимов движения, известных под названием автоколебаний. [c.221]

Н. Н. Брушлинская [45], [46] применила теорию бифуркаций торов к гидродинамическим уравнениям Навье — Стокса — область, ставшая модной лишь после того, как Рюэль и Такенс объявили о ее связи с турбулентностью [190] (см., впрочем, доклад А. Н. Колмогорова Эксперимент и математическая теория в изучении турбулентности и Н. Н. Брушлинской [46] на заседании Московского математического общества 18 мая 1965 г.). Обзор современного состояния теории бифуркаций торов, написанный Броером, см. в [129]. Бифуркация рождения цикла в гидродинамике исследовалась также В. И. Юдовичем [118] и подробно обсуждается в книге [173]. Эта книга ценна также обширным списком литературы. Ориентированное на вычислителя изложение теории и приложений бифуркации рождения цикла содержится в [160]. Бифуркации в распределенных системах и их приложения к теории горения обсуждаются в обзорах [54], [55]. О бифуркациях торов, рождающихся при потере устойчивости автоколебаний, см. [М], [123]. [c.208]

Нейштадт А. М.. Бифуркации фазового портрета одной системы уравнений. возникающей в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1 4. Прикл. мат. и мех., 1978, 42, вып. 5. 830—840 [c.213]

Приближенная оценка амплитуды автоколебаний. Как известно, в случае /г-неустойчивости , вызванной отрицательным слагаемым уравнения движения, содержащим первую производную агрумента q, скорость предельного цикла не выходит далеко за пределы зоны возбуждения. Например, в случае возбуждения автоколебаний падающей характеристикой силы резания от скорости резания Р — v, при аппроксимации ее кубическим трехчленом, амплитуду автоколебаний в системе без рассеивания энергии в первом приближении можно оценить формулой [3] [c.73]

Аналитическое и графическое исследование уравнений движения колебательной системы, в которой отрицательное влияние ускорения на величину силы резания при возрастании амплитуды колебаний ограничивается самим ускорением колебаний, не дало окончательного о-твета о форме и амплитуде автоколебаний, так как не удалось установить устойчивость пересекающихся интегральных кривых на фазовой плоскости. [c.77]

Рассмотрим возможность приблилсенной оценки амплитуды автоколебаний по граничным значениям зоны возбуждения, подобно тому, как это было сделано в предыдущей статье. В уравнении движения системы (1, 2) отрицательные слагаемые исчезают при ускорении определяемом из условия [c.84]

Исследование механизма на завершающем этапе создания технологического оборудования представлено на рис. 4.1. В диагностике для различных видов оборудования применяются математические модели разных типов. Чаще всего в соответствии с поставленными задачами используются модели, отражающие структуру исследуемых механизмов и взаимосвязь его параметров. Как правило, это системы дифференциальных уравнений, иногда сводимые к системам алгебраических уравнений. Рассматривается динамика переходных (для механизмов периодического действия) и установившихся процессов (например, виброхарактеристики автоколебания). При динамических испытаниях модели применяют в качестве имитаторов входных воздействий и ответных реакций для изучаемых на стендах устройств. По мере усложнения систем возрастает роль стохастических методов. Так, для исследования Г АП получили развитие имитационные модели, созданные ранее для систем массового обслуживания. Обзор ряда других диагностических моделей содержится в [7]. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...