Системы Гамильтона с циклическими координатами

Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона — Якоби, системы с циклическими координатами (главы И, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом. [c.9]

Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа I, называются циклическими координатами ( 127). Очевидно, что циклические координаты не войдут явно и в функцию Гамильтона Н. Пусть, например, первые k обобщенных координат 9[, 9а,. -ч Як механической системы с s степенями свободы циклические. Тогда функция Гамильтона примет вид [c.375]

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять— они просто равны произвольным постоянным С/. При интегрировании вносится т дополнительных произвольных постоянных N/. Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно 2п, т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии гп циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на 2т, поскольку уравнения (36) для нециклических координат отщепляются , и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью т независимых квадратур (39). [c.271]

Следствие 2. Пусть д — циклическая координата. Тогда jPj — первый интеграл. При атом изменение остальные координат со временем такое же, как в системе с п — 1 независимой координатой д ,. . ., дп и с функцией Гамильтона [c.64]

Случай Гесса во многом аналогичен случаю Лагранжа и связан с наличием у системы (3.1) циклической переменной (явная симметрия гамильтониана относительно вращений) на одном из уровней некоторого циклического интеграла. Для того чтобы показать это явно, запишем гамильтониан (3.1) в системе координат, для которой одна из осей Охз совпадет с осью, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида (3.2) (см. рис. 57, гл. 2) [c.241]

Величина К2 вида (1.45) может рассматриваться как оператор Гамильтона некоторой динамической системы, описываемой г обобщенными координатами т,- (превращающимися в циклические в пределе а(т) оо), г обобщенными импульсами р/ N — г)/2 динамическими переменными и (N — г)12 динамическими переменными с а > 0. Скобки Пуассона между [c.155]

Наличие одной циклической координаты понижает порядок системы канонических уравнений на две единицы. Функция Гамильтона в этом случае не зависит от переменной 9 -, а переменная постоянна и равна своему начальному значению. Уравнения (1.4) образуют в этом случае корректно определенную систему дифференциальных уравнений порядка 2и-2, если исключить уравнения с номером / = у. Переменная может быть найдена после отыскания обшего решения полученной системы квадратурой [c.145]

Об устойчивости в первом приближении. Координата дз является циклической. Заменив в функции Гамильтона (2) импульс рз на его постоянное значение из (5), получим гамильтониан Н д1, д2, рг, Р2 , вь,9с) приведенной системы с двумя степенями свободы. Эта система допускает 2тг-периодическое по г решение, задаваемое равенствами (3), (4). [c.540]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

В этом случае уравнения Гамильтона становятся разрешимыми поеле применения канонического преобразования, приводящего к новой системе, в которой пространетвенная координата являетея циклической. Так как ответ для этой задачи уже известен, то она может служить только иллюстрацией общего метода, с помощью которого все координаты делаются циклическими за счет надлежащего выбора производящей функции. На данном этапе не очевидно, что определение этой функции представляет собой что-либо иное, кроме догадки. Разработка некоторого рацио- [c.94]

Циклический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение , заключающийся в том, что каждой обобщенной циклической координате отвечает некоторый.сохраняющийся обобщенный импульс, по существу говоря, был известен уже Лагранжу который и закон сохранения энергии связывал с цикличностью временной координаты В 70—80-х годах XIX в. эта идея Лагранжа была существенно развита и применена к анализу не только механических, но и физических систем в работах Рауса (1877 г.), Гельмгольца, В. Томсона и Тэта, Дж. Дж. Томсона и др. (1879—1888 гг.). Разработанная на основе метода циклических координат (называемых также игнорируемыми , отсутствующими , киностеническими , скоростными и т. д.) теория скрытых движений позволяла механически интерпретировать лагранжианы, имеющие значение в теории теплоты и электродинамике. Вместе с тем упомянутые исследователи не обращали достаточного внимания на, так сказать, нетеровский аспект метода циклических координат. Ведь циклический характер некоторой координаты означает, что движение системы, как целого, соответствующее этой координате, никак не сказывается на свойствах системы. А это эквивалентно инвариантности (или симметрии) системы (ее лагранжиана или гамильтониана) относительно преобразования, характеризующего циклическое движение. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между симметриями типа однородности и изотропности пространства с законами сохранения типа импульса. Характер циклической координаты (трансляционный иди вращательный) [c.236]

И новых координатах 1 = Ру — < 4- Следовательно, функция Гамильтона И не зависи г от сопряженных переменных З2 и /З . Таким образом, число счененей (чюбоды понижено на две единицы получено зависящее о т двух параме гров 2 и семейство гамиль-гоновых систем с двумя степенями свободы. Симплектическими координатами являются переменные i, з, / Ь/бз. При аг = 4 = 0 <1>ункция М является интегралом приведенной системы. Следовательно, эта гамильтонова система с двумя степенями свободы вполне интегрируема, В частности, функции i, з,/ui,/З3 можно найти с помощью квадратур. Оставшиеся циклические координаты (З2 и /У4 ввиду формул р2 = дК/да2, 4 — дК/да , К а,[3) = = Н х,у) находятся простым интегрированием. [c.93]

Произвольная постоянная а введена, чтобы удовлетворить определению 31.2 полного интеграла. Полный интеграл (31.15) с точностью до обозначений для произвольной постоянной совпадает с полуглавной функцией Гамильтона (29.28). Главная функция Гамильтона (29.27) — еш,е один полный интеграл уравнения (31.9). Отметим две характерные особенности, проявившиеся в рассмотренном примере при аддитивном разделении переменных (31.14) для циклической координаты ди дН/дд = 0) можно положить Зи дк) = адг, а в случае обобш,енно-консервативной системы дН/д1 = 0) — положить S o(i) = Qioi. Подстановка полного интеграла (31.15) в формулы [c.177]

Укажем классический способ сведения задачи Эйлера к га-мильтоиовой системе с одной степенью свободы, использующий специальные канонические переменные. Пусть оХ 1 — неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, одг /2 —подвижная система координат (главные оси инерции тела). Положение твердого тела в неподвижном пространстве определяется тоемя углами Эйлера О (угол нутации)—угол между осями о2 и ог, ф (собственного вращения) — между осью ох и линией пересечения плоскостей оху и оХУ (называемой линией узлов), (угол прецессии) — между осью оХ и линией узлов. Углы О, ф, 1 ) образуют на 50(3) систему координат, подобную географическим координатам на сфере с особенностями у полюсов (где 0=0, л) и многозначностью на одном меридиане. Пусть р. рщ, — канонические импульсы, сопряженные с координатами О, ф, 11). Еслн твердое тело вращается в осесимметричном силовом поле с осью симметрии oZ, то функция Гамильтона не будет зависеть от угла 1 ). Понижение порядка в этом случае можно трактовать как исключение узла — исключение циклической переменной я ), определяющей положение линии узлов в неподвижном пространстве. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...