Колебания в окрестности положения равновесия

Диск движется без проскальзывания по наклонной плоскости. Центр масс диска находится на расстоянии с от геометрического центра. Записать лагранжиан, найти частоту линейных колебаний в окрестности положения равновесия. [c.210]

Главные координаты и главные колебания. Выясним структуру решений уравнений (8) (или (10)), описывающих малые колебания в окрестности положения равновесия. Для этого рассмотрим пару квадратичных форм [c.502]

Колебания в окрестности положения равновесия 140—149 [c.633]

Глава 10. Малые колебания в окрестности положения равновесия [c.171]

Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов, существующих по теореме Биркгофа (см. 11 гл. II). Причиной расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели — почти резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности положений равновесия. [c.309]

Пример 23.1. Одна из половинок тонкостенной полусферы массой т, радиусом а находится на шероховатой горизонтальной плоскости. Найти лагранжиан и частоту колебаний в окрестности положения равновесия. [c.224]

Малые колебания системы спутник — стабилизатор в плоскости орбиты в окрестности положения равновесия описываются уравнениями [31 ] [c.91]

Предполагая, что движение происходит в центральном ньютоновском поле сил, можно получить следующие уравнения малых колебаний системы в окрестности положения равновесия па круговой орбите [30] [c.92]

Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.392]

Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы. Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.414]

В первом томе были рассмотрены некоторые простейшие вопросы теории колебаний материальной точки с одной степенью свободы. В этой главе мы перейдем к изучению теории колебаний систем с несколькими степенями свободы, ограничившись рассмотрением малых колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. Затем вновь остановимся на рассмотрении колебаний системы с одной степенью свободы. Будут изучаться нелинейные и квазигармонические колебания, не встречавшиеся в элементарной теории, изложенной в первом томе. [c.215]

Частица движется по плоской кривой. Найти частоту линейных колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. [c.130]

Интересный частный случай периодических малых колебаний мы будем иметь, когда Wj, СО3 будут равны одной и той же величине ш. Тогда потенциал в окрестности положения равновесия приведется к виду [c.138]

Когда говорят малые колебания , то обычно имеют в виду движения, описываемые системой дифференциальных уравнений, полученной в результате линеаризации полных (нелинейных) уравнений движения. В случае движений в окрестности положения равновесия консервативной системы линеаризация сводится, как мы видим, к получению Т и П в виде квадратичных форм (5) и (3). [c.501]

Введем некоторые вспомогательные понятия. Как и в задаче о малых колебаниях, будем считать, что кинетическая энергия консервативной системы в окрестности положения равновесия является определенно-положительной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей [c.537]

Уравнение (5.17) можно интерпретировать как линеаризованное уравнение колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса в окрестности положения равновесия. [c.366]

Переходя к уравнениям, описывающим систему в окрестности положения равновесия, находим, что при значениях I решение уравнения (9) 0. Из уравнения (8) следует, что положение равновесия г = го устойчиво. Частота вертикальных колебаний пластинки в окрестности положения равновесия равна Г , [c.319]

Замечание. В общем случае уравнения, описывающие поведение неконсервативной системы с двумя степенями свободы в отсутствие сил трения, имеют форму (7). Однако теперь R12 i 2i- Из (5) следует, что условие 4 det R > (Sp Л)2 приводит к комплексным значениям А2д. Возникают колебания с возрастающими амплитудами, называемые флаттером. Для того, чтобы система оставалась в окрестности положения равновесия, матрица R должна удовлетворять неравенствам [c.147]

Изучение колебаний системы в окрестности положения равновесия или периодического движения обычно начинается с ее линеаризации. Линеаризованная система интегрируется. Основные свойства колебаний в исходной системе после этого часто могут быть выяснены с помощью теории нормальных форм Пуанкаре—Биркгофа. Эта теория — аналог теории возмущений (гл. 5 2). Линеаризованная система играет роль невозмущенной по отношению к исходной. В настоящей главе описаны основные элементы этого подхода. [c.267]

Метод малых колебаний, уже использовавшийся в разд. 2.1.3.6, можно применить и в данном случае. С этой целью разложим функцию /(х, и) в ряд Тейлора по обеим переменным х и и в окрестности положения равновесия х=и=0 [c.114]

Итак, при движении консервативной системы в окрестности положения устойчивого равновесия соответствующего по условию минимуму потенциальной энергии) каждая из главных координат совершает около положения равновесия гармоническое колебание с одной из собственных частот. [c.239]

Частица движется по окружности, вращающейся с постоянной угловой скоростью S2 вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости окружности и проходящей через ее центр. Найти частоту линейных колебаний частицы в окрестности положения устойчивого равновесия. [c.131]

Концы другого проводника, по которому течет ток /, прикреплены к одинаковым пружинам. Найти частоту линейных колебаний проводника в окрестности положения устойчивого равновесия. [c.133]

Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Ог направим вертикально вверх, а оси Ох и Оу — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату z поверхности разложить для малых значений лг и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид [c.426]

В этом параграфе будет показано, с одной стороны, что в окрестности положения термодинамического равновесия невозможны никакие колебания, т. е. приближение к этому состоянию происходит монотонно с другой — что в неравновесной системе может наблюдаться любое сложное поведение концентраций во времени. [c.43]

Исследование нелинейных колебаний можно дополнить исследованием малых линейных колебаний в окрестности устойчивого положения равновесия с использованием известной методики [ 3]. [c.82]

В момент времени 2 достаточное условие (4.50) не выполняется, а условие (4.42) является истинным. Как видно из рис. 4.106, с течением времени фазовая траектория покидает малую окрестность положения равновесия, но остаётся внутри сепаратрисы в пределах области колебательного движения. При этом тело совершает колебания с возрастающей амплитудой. Такой резонансный режим движения устойчив. [c.136]

В точке 3 одновременно выполняется оба условия (4.42) и (4.50). Это означает, что колебательная область расширяется, а фазовая траектория попадает в малую окрестность положения равновесия (рис. 4.10в). В этом случае тело совершает затухающие колебания. Такой резонансный режим движения устойчив и устойчиво движение системы по Ляпунову в малой окрестности положения равновесия. [c.136]

Существо этой теории сводится к линеаризации уравнений Лагранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Поэтому исследование, собственных колебаний нужно начинать с отыскания таких положений. Прежде всего напомним, что необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с голономными идеальными связями является обращение в нуль всех обобщенных сил в некотором положении — положении равновесия ( 7 )ед (/= 1, 2,. .., 5) (см. (5.54)). приведем это условие [c.262]

Это выражение получено в работе [79, с. 52] в результате обширных расчетов второго приближения в предлагаемом авторами методе. Заметим также, что, вопреки обш епринятой точке зрения, решение (2) по методу быстрой фазы описывает не только враш ательное движение, но и колебания в окрестности положения равновесия. Действительно, вычисляя следуюш ие члены ряда (1) и предполагая, что а <С 1, получим решение в виде ср = а sint. [c.453]

Другие случаи, где имеют место аналогичные утверждения, связаны с теорией малых колебаний в окрестности положения равновесия автономной системы или системы с периодическими коэффициентаьш, а также в окрестности замкнутой фазовой кривой фазового потока или в окрестности неподвижной точки симплектического отображения. [c.376]

Ограничимся рассмотрением таких свободных колебаний, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Для того гтобы уравнения движения были линейными, необходимо, чтобы отклонения системы от положения равновесия были достаточно малы (что обеспечивается малостью начальных возмущений). Кроме того, система должна быть такова, чтобы уравнения движения допускали линеаризацию в окрестности положения равновесия. Последнее условие накладывает ограничения на структуру системы, тип связей и свойства действующих сил. [c.55]

Теория малых колебаний является приближенной теорией движения механических систем вблизи положения равновесия или эпределенного состояния движения. Изучение колебательных процессов имеет первостепенное значение для самых разнообразных разделов физики. Начало современного учения о колебаниях относится к классическим работам Галилея, Гюйгенса, Ньютона, Лаг-эанжа. В основе теории лежат приближенные методы исследова-лия движения в окрестности положения равновесия. Предположение о малости колебаний значительно упрощает математическую -торону задачи, позволяет ограничиться линейными дифференциальными уравнениями движения. Результаты оказываются сира- [c.539]

По существу, все механические системы описываются нелинейными уравнениями. Для исследования поведения систем в окрестности положения равновесия применяют метод линеаризанди уравнений движения поведение системы приближенно описывается линейными уравнениями. Если положение равновесия устойчиво, то движение системы называют линейными колебаниями. Этот вид движения широко распространен в природе и технике. [c.136]

Стохастический режим. В точке пересечения критических кривых Rl и Ra (рис. 44) мнимую ось пересекают две пары собственных значений (х,, х,) и щ, Xj), принадлежащих соответственно спектрам собственных значений матриц odi и aS . Поэтому в области П1 на диаграмме устойчивости обе х- и у-подсистемы становятся неустойчивыми. Поскольку собственные частоты колебаний =. = Imxi и 2 = ImXj, вообще говоря, несоизмеримы, в окрестности положений равновесия при надкритических значениях R можно ожидать рождения двумерных инвариантных торов, т.е. д (т) и у(х) будут задаваться двоякопериодическими векторными функциями вида г1)( ,т, ат), где г з( , и) — 2я-периодическая функция по каждому из аргументов. На рис. 49 и 50 представлены результаты численного интегрирования системы (6), (7) в точке а = 2,6, R = 40, принадлежащей области III. Интегрирование проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Рунге — Кутта без контроля точности интегрирования с шагом Дт = 0,002, что по порядку величины составляет 10 T i (Г, = = 2я/тах ( j, а))> и с заданной точностью интегрирования, равной 0,1%. Основной результат оставался неизменным. [c.153]

Пример 3.9.4. Рассмотрим движение груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости и прикрепленного к вертикальной стене с помощью горизонтальной пружины. Если груз оттянуть от стены на достаточно большое (см. ниже) расстояние, то под действием упругости пружины он будет стремиться к исходному положению и возникнут колебания груза в окрестности положения, соответствующего недефор-мированному состоянию пружины (положение равновесия). Пусть х — отклонение груза от положения, в котором пружина недеформирована. На груз действуют две горизонтальные силы сила F = —сх, развиваемая пружиной, где с — жесткость пружины, и сила трения скольжения Ftp = — AssignX. Нормальное давление N на горизонтальную плоскость равно весу груза, к — коэффициент трения. Уравнение движения груза принимает вид [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...