Квадратичная главные оси

Квадратичная форма (4.18), приведенная к главным осям, имеет вид [c.117]

Первые пять замечаний позволяют в некоторых важных случаях сразу указать главные или даже главные центральные оси инерции. В общем случае для нахождения главных осей инерции надо по обычным правилам линейной алгебры привести квадратичную форму (29) к каноническому виду (к главным осям). [c.184]

Подробный анализ условий существования обобщенных координат 0а здесь не произведен. Очевидно, что при наличии функции рассеяния координаты 0а существуют тогда, когда направления главных осей двух поверхностей, определенных квадратичными формами — потенциальной энергии и функции рассеяния, — совпадают ). [c.269]

Из теории квадратичных форм известно, что соответствующим подбором направления координатных осей (которые называются главными осями) можно добиться того, чтобы квадратичная форма приняла главный вид [c.200]

Будем называть главными осями тензора деформаций те оси, в которых реализуется главный вид квадратичной формы (2.13). Естественно, что тогда деформация сдвига обращается в нуль. Удлинение вдоль главных осей будем называть главным удлинением, а так как поверхность деформаций есть поверхность второго порядка, то главные удлинения являются экстремальными. [c.210]

Перейдем к определению направлений главных осей и, как следствие, к определению главных деформаций. Введем в рассмотрение множитель Лагранжа и найдем экстремум квадратичной формы [c.210]

Рис. 9. Эллипсоидальная поверхность прочности (квадратичный критерий) в пространстве напряжений для случая, когда главные оси тензора напряжений (а , аг, Об) не совпадают с главными осями прочности (Я), Яг, Яв).

С рассеиванием энергии. Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные колебания и вопросы перехода к непрерывным системам. Наиболее ценными являются сведения, изложенные в конце книги, где коротко рассматриваются квадратичные формы и преобразования к главным осям. При изложении вопроса об одновременной диагонализации матриц Г и V автор не пользуется матричной алгеброй, но успешно преодолевает трудности, связанные с наличием кратных корней. [c.376]

Эта книга убедительно доказывает важность теории малых колебаний в современной электротехнике. Значительное внимание уделяется в ней квадратичным формам и преобразованиям к главным осям. Изложение вопросов, связанных с использованием матричной алгебры, проводится на высоком уровне и отличается изяществом. [c.376]

Покажем теперь, как тесно связана задача о малых колебаниях механических систем около положения равновесия с определением главных осей для потенциальной энергии V. Главные оси поверхности второго порядка обладают определенными экстремальными свойствами. Их можно найти, отыскивая на поверхности те точки, для которых расстояния от начала координат имеют стационарные значения. Поэтому задача состоит в нахождении стационарного значения квадратичной формы [c.179]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния h от данной плоскости называется квадратичным моментом" относительно плоскости. ( Статика", 70.) Если мы примем в качестве координатных осей главные оси инерции относительно точки О, то квадратичный момент относительно плоскости [c.67]

Примером могла бы служить система, которая содержит тело, вращающееся без трения и без (других) сопротивлений вокруг одной из его главных осей инерции как маятник, который мы рассматривали в 22. Угол, производная по времени от которого определяет угловую скорость вращающегося тела, является соответствующей координатой р далее, нужно было бы предположить, что силы прилагаются всегда только к обоим концам валов, так что всегда отсутствует момент, ускоряющий или замедляющий вращение. Максвелл пользуется образом вращающегося тела, подчиненного такому условию, для того чтобы объяснить магнетизм внутри элемента объема эфира, и разъясняет этим тот факт, что электромагнитная энергия эфира содержит члены, линейные относительно сил тока, тогда как чисто электродинамическая энергия является однородной квадратичной функцией сил тока. Силы тока Максвелл рассматривает как скорости изменения циклических координат. [c.493]

Для ортотропного в отношении свойств ползучести материала при условии его сжимаемости, когда оси декартовой системы координат совпадают с главными осями анизотропии, число независимых постоянных Ui/ki, как отмечалось выше, равно 9. В развернутом виде линейный и квадратичный инварианты запишутся так [c.112]

Оси, в которых тензор е, имеет вид (9.7), называются главными осями тензора скоростей деформаций (это главные оси квадратичной формы Р). Величины еь ег, ез, которые входят а [c.30]

Главными осями тела в точке О называют оси, в которых квадратичная форма (2) приводится к виду [c.94]

Наиболее простая развернутая запись формулы (7) получается при пользовании осями, неизменно связанными с телом. Это связано с введением проекций 1 05, оз скорости полюса О на эти оси, т. е. опять таки квазискоростей в главных осях инерции в точке О получаем выражение в виде квадратичной формы шести квазискоростей [c.157]

Инвариантная квадратичная форма, связанная с деформацией. Поверхность деформаций, главные оси. Замена координат. Формула (4 ) 12 может быть записана так [c.45]

Рассмотрим теперь общий случай последовательности конечных однородных деформаций в несжимаемой среде, сочетающихся с поворотом главных осей напряжения и деформации. Состояние чистой деформации определяется шестью величинами тремя квадратичными удлинениями ) [c.119]

Общей процедурой отыскания главных осей инерции является известный алгебраический процесс приведения квадратичной формы к каноническому виду. Наиболее просто диагонализация осуществляется в тех случаях, когда тело обладает симметрией в распределении масс, или, как говорят, материальной, сим-мет р и е й. [c.351]

Если ограничиться линейными и квадратичными слагаемыми (такие ограничения обычны при практическом использовании критерия), то для ортотропного тела, рассматриваемого в главных осях симметрии, при плоском напряженном состоянии формула (8.123) имеет вид [c.261]

Рассмотрим для простоты квадратичный закон сопротивления. Если считать главными осями анизотропии, то тензор К будет диагональным и может быть записан в форме [c.156]

В более общем случае, когда симметрия произвольна, но по-прежнему Рд, = 0, получаем вместо р положительную квадратичную форму. После приведения к главным осям она выглядит следующим образом [c.30]

Как известно из линейной алгебры, пару квадратичных форм Ад, д), Вд, д), первая из которых положительно определена, можно привести к главным осям единой линейной заменой координат ) [c.94]

В самом деле, на главной оси любой квадратичной формы В, отвечающей собственному числу Я, форма В — "КЕ обращается в О вместе со своим градиентом. Обращение в О самой этой формы в точке пересечения главной оси с гиперплоскостью означает, что [c.437]

Экспонента квадратичной функции от к], входяш,ая в (239), в том виде, как она написана, не годится для того, чтобы легко произвести интегрирование. Однако простой поворот осей делает это интегрирование чрезвычайно простым. Мы повернем оси ку, А з таким образом, чтобы они стали главными осями тензора [c.430]

Этот результат указывает, какой следующий шаг необходимо сделать для получения решения. Обозначенные через и <р функции представляют собой по одну и другую сторону плоскости 2 = 0 потенциалы простого слоя, распространенного с плотностью Р по поверхности давления в точках этой поверхности потенциал представляет квадратичную функцию координат. Припомним что потенциал однородного эллипсоида во внутренних точках будет квадратичной функцией координат точки. Попытаемся удовлетворить условиям задачи, допустив, что поверхность давления совпадает с поверхностью сильно сплющенного эллипсоида и что давление Р получается путем перехода к пределу, когда масса эллипсоида сохраняется постоянной, а одна из главных осей неограниченно убывает. Если эллипсоид имеет плотность р и уравнение, отнесенное к главным осям [c.206]

Пару квадратичных форм, Т% и V%, одна из которых (Гг) положительно определена, можно привести к главным осям единой линейной заменой переменных. Координаты можно выбрать так, что форма Т% приведется к сумме квадратов. > [c.268]

Приведём квадратичную форму Р., к главным осям деформированной поверхности [c.201]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

С помощью поворота координат (это преобразование называется приведением квадратичной формы к главным осям) всегда можно найти новую систему главных осей. Размеры и ориентация эллипсоида (7.2.3) зависят, разумеется, от направления приложенного поля, а также от 18 матричных элементов. Выще мы уже доказали, что в кристаллах, обладающих центром инверсии (центросим-метричностью), = 0. Вид тензора (но не его величина) может быть получен из соображений симметрии, которые позволяют установить, какие из 18 коэффициентов равны нулю, и найти соотношения между остальными коэффициентами. В табл. 7.2 представлены электрооптические тензоры для всех нецентросимметричных кристаллических классов, а в табл. 7.3 перечислены электрооптические коэффициенты для некоторых кристаллов. [c.244]

Часть материалов настоящего тома была впервые опубликована в монографии, изданной на немецком языке в 1927 г., на английском—в 1931 г. и в русском переводе американского издания— в 1936 г., а ее сжатое изложение в 1928 г. было помещено в одном из разделов шестого тома Handbu h der Physik. Цель настоящей книги—дать современное изложение механики пластических деформаций твердых тел. Несколько новых глав вводят в теорию простых и обобщенных типов вещества, представление о которых основано на типах деформаций—упругой, пластической и их сочетании, а также на типах принятых законов деформирования. Целиком пересмотрены главы, относящиеся к исследованию напряженных состояний в пластически деформированных цилиндрах и дисках и к математической теории неоднородного состояния плоской пластической деформации и поверхностей скольжения. В гл. XII и XIII добавлены анализ конечных однородных деформаций, основанный на введении квадратичного удлинения X, и теория конечной плоской деформации, где использованы зависимости, выраженные через составляющие натуральных деформаций. Синтез малых упругих и пластических деформаций обобщен в теории стесненной пластической деформации, с которой приходится иметь дело в случаях, когда главные оси напряжений меняют свое направление в материале. [c.5]

В гомогенной смеси с с компонентами термодинамическое состояние имеет с-4-1 степень свободы (см. гл. 6, 6, п.1). Если критическое состояние определено наложением двух дополнительных условий, соответствующих (Б.7) или (Б.9), та оно будет иметь соответственно с — 1 степень свободы. Обычное условие устойчивости гомогенной системы состоит в том, что некоторая квадратичная форма должна быть положительной. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения этой формы были положительными. В критической точке эта квадратичная форма вырождается, т. е. одно из собственных значений стремится к нулю (или к бесконечности) при асимптотическом приближении к некоторому состоянию. Если форма, определяющая устойчивость, представляет собой сумму квадратов, то это условие совпада ет с условиями (Б.7) или (Б.9). Если число компонентов больше двух, то возникает осложнение, связанное с тем. что в форме, определяющей устойчивость, могут появиться перекрестные члены д Р1дЫ дЫ Ф О (см. гл. 6. 8). В этом случае необходимо сначала привести форму к главным осям. Переменная, являющаяся неопределенной в двух- [c.200]

Эллиптические координаты в евклидовом пространстве определяются при помощи конфокальных квадрик (поверхностей второй степени). Геометрия же конфокальных квадрик получается из геометрии пучка квадратичных форм в евклидовом пространстве (т. е. из теории главных осей эллипсоидов или из теории малых колебаний) переходом в сопряженное пространство. [c.436]

Левая часть уравнения (10) должна иметь положительную квадратичную форму, потому что при замене х, у -аг на компоненты вектора Е она становится равной 8лШд, а энергия должна быть положительной для любого значения вектора поля. Поэтому уравнение (10) описываег эллипсоид, и его всегда можпо привести к главным осям эллипсоида таким образо.м, существует система координат, связанная с кристаллом, в которой уравнение эллипсоида имеет вид [c.615]

Если мы предположим, что оси лс, У лежат в плоскости х, у что оси х, у, г параллельны главным осям деформации, то должно исчезать, т.е. в направлении, перпендикулярном к двум нацравлениям, связанным со сдвигом, удлинения не будет. В этом случае мы имеем квадратичную форму з х Зквишшентную форме [c.56]

Пусть задана 0-система в К" с 0-симметризатором 5, характеристической функцией Р и положительно определенным квадратичным первым интегралом Е. Существует система линейных координат (д , х") в К , в которой квадратичная форма 0 (построенная по 5) приведена к главным осям относительно положительно определенной формы [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...