Средние значения сумматорных функций

Средние значения сумматорных функций. [c.63]

Мы говорили уже о том, что большинство фазовых функций, интересующих статистическую механику, имеет вид сумматорных функций, т. е. таких сумм, каждое слагаемое которых зависит от динамических координат только одной молекулы. Среднее значение такого слагаемого, ввиду отмеченной близости законов распределения малых компонент, может быть приближенно вычислено, исходя из формул канонического распределения (именно в этом и состоял наш приближенный метод ). Но среднее значение суммы всегда равно сумме средних значений слагаемых, будут ли эти слагаемые зависимы или независимы между собой поэтому при вычислении средних значений сумматорных функций мы можем всегда, в порядке приближения, исходить из канонического распределения (64) вместо микроканонического (63) как уже замечено выше, этот переход и составляет, в сущности, содержание нашего приближенного метода. [c.76]

Мы видим теперь, как обстоит дело в действительности. Исходные законы (63) и (64) соответствуют совершенно различным идеализированным картинам если искать их разумного обоснования, а не ограничиваться ссылками на практический успех, то эргодическая теория или что-либо ей эквивалентное необходимы в обоих случаях, так как обосновать закон (64) для системы в термостате мы умеем, только отправляясь от закона (63) для изолированной системы. Наконец, утверждение, что результаты обеих теорий совпадают, даже в приближенном смысле является верным только до известных пределов (для средних значений сумматорных функций) при выходе за эти пределы мы пришли бы к грубым ошибкам, если бы стали для величин одной из этих двух идеализированных картин пользоваться приближенными значениями, заимствованными из другой картины. [c.77]

А. Я. Хинчин в своей книге Математические основы статистической механики [23], впервые объединившей, по существу, методы теории вероятностей и статистической механики и заложившей основы рационального метода получения асимптотических выражений статистической механики, посвящает несколько параграфов интересующему нас сейчас вопросу и дает одно из наиболее последовательных и математически ясных выражений рассматриваемой точки зрения. Хинчин отмечает, что значительное большинство изучаемых в статистической механике величин является так называемыми сумматорными функциями (т. е. суммами функций, каждая из которых зависит лишь от переменных одной молекулы), обладающими некоторым специфическим свойством. Это свойство заключается в том, что сумматорная функция на подавляющей части поверхности заданной энергии принимает значения, близкие к некоторой характерной для данной поверхности постоянной. Можно легко установить, что благодаря этому свойству подавляющая часть начальных состояний будет приводить к средним во времени значениям сумматорных функций, близким к этим постоянным, и следовательно, близким к фазовым средним. Таким образом, существование приближенных формул статистики, казалось бы, оказывается следствием одного лишь того свойства, что статистические системы состоят из огромного числа частиц. [c.121]

Однако, если функция, среднее значение которой мы ищем, не имеет вида сумматорной функции (если она есть, например, квадрат сумматорной функции), то замена исходного закона (63) законом (64) приводит, вообще говоря, к полному искажению результата среднее значение такой функции в микроканоническом распределении не имеет ничего общего со средним значением ее в каноническом распределении. Тривиальный пример этого рода представляет собой дисперсия полной энергии данной системы эта величина. [c.76]

В статистической механике прежде всего приходит на помощь то обстоятельство, что значительное большинство фазовых функций, интерпретирующих важнейшие физические величины, имеет (как мы кратко уже упоминали в 10) совершенно своеобразное поведение такая функция, как правило, оказывается на каждой поверхности постоянной энергии приближенно постоянной, т. е. принимает всюду за исключением множества весьма малой меры значения, весьма близкие к некоторому постоянному для данной поверхности числу, за которое можно, разумеется, принять фазовую среднюю рассматриваемой функции. Причины этого своеобразного поведения мы частично укажем немного ниже, а полностью вскроем в последующих главах здесь же заметим, что эти причины отчасти заложены в особых свойствах механических систем статистической физики (распадение на большое число компонент), отчасти же лежат в специфических чертах тех функций, с которыми приходится иметь дело (это, как правило, сумматорные функции, т. е. суммы функций каждая из которых зависит от динамических координат только одной компоненты). Без всяких вычислений очевидно, что для такой функции временные средние вдоль большинства траекторий должны иметь значения, близкие к фазовой средней. Если желать все же произвести примерный расчет, то к этому можно подойти следующим образом. [c.44]

Как мы имели случай убедиться в 13 гл. III, для принципиального обоснования всей нашей теории имеет основное значение оценка дисперсий сумматорных функций. Именно малость (относительная) средних квадратических отклонений сумматорных функций позволяет обосновать репрезентативность их средних значений, т. е. утверждать, что каждая такая функция с подавляющей вероятностью получает значение, близкое к ее среднему значению в терминах теории вероятностей можно выразить это, говоря, что сумматорные функции при безгранично возрастающем числе молекул подчиняются закону больших чисел. После расчетов предыдущего параграфа эта задача не вызывает уже существенных затруднений. [c.104]

Мы можем предвидеть до всяких вычислений, что гауссовский тип предельного закона, обнаруженный нами в 22 гл. V при исследовании энергии большой компоненты (представляющей собой одну из простейших сумматорных функций), будет здесь фигурировать в качестве общего правила. В самом деле, всякая сумматорная функция представляет собой с точки зрения теории вероятностей сумму безгранично возрастающего числа случайных величин взаимная зависимость этих величин целиком сводится к требованию, чтобы сумма энергий всех молекул была равна данному значению Е полной энергии системы. При большом числе молекул зависимость между динамическими координатами каких-либо двух из них должна поэтому становиться весьма слабой так, мы видели, что коэффициенты корреляции, связывающей молекулы попарно, при та оо стремятся к нулю. Отсюда в силу известных общих теорем теории вероятностей можно предвидеть, что законы распределения сумматорных функций при большом числе молекул, как правило, будут иметь тип, близкий к гауссовскому. Мы кратко наметим расчеты, приводящие к доказательству этого предположения заметим еще только, что так как средние значения и дисперсии сумматорных функций в их предельном поведении нами [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...