Лг-волна для уравнения Бюргерса

С точностью до величин второго порядка малости скорость в волне, распространяющейся влево, подчиняется полученному в задаче 1 93 уравнению (6), или уравнению Бюргерса [c.518]

При т—>-оо решение уравнения Бюргерса описывает профиль ударной волны, показанный на рис. 9-5. [c.256]

Структуру установившейся слабой ударной волны можно изучить на основе стационарных решений уравнения Бюргерса — Корт-вега де Фриза (9-47К (9-48). [c.258]

Как показано в гл. 1, распространение плоской звуковой волны в недиспергирующей среде с квадратичной нелинейностью описывается уравнением Бюргерса (см. (1.9) гл. 1) [c.33]

Разрывное приближение, справедливое при Re -> , вероятно, наиболее наглядно демонстрирует особенности эволюции акустических волн конечной амплитуды. Однако для более полного описания такой эволюции необходимо вернуться к уравнению Бюргерса в его полном виде (2.1), явно учитывающем влияние диссипативных эффектов. [c.43]

Интересно, что это решение, состоящее из ударного перепада вида (4.7) (при V2 = — i i) и волны разрежения с линейным профилем, оказьшается точным для уравнения Бюргерса, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. При Re > 1 из решений (4.8) можно (уже приближенно) составить затухающую периодическую волну с периодом 2гг, которая сперва близка к пилообразной, но по мере затухания ее профиль становится сглаженным (см. рис. 2.3). Такое периодическое решение легко представить в виде ряда Фурье, при больших значениях Re оно совпадает с точным решением Фэя [Fay, 1931] [c.45]

Рассмотрим решение уравнения Бюргерса, описывающее распространение Л -волны. Оно имеет следующий вид [c.47]

Уравнения Бюргерса и Кортевега-де Фриза. Учет линейных эффектов диссипации и дисперсии приводит к появлению в уравнении простых волн (3.15) дополнительных членов, в результате [c.31]

Свойства решений уравнения Бюргерса. Общее решение уравнения Бюргерса можно записать в квадратурах от начальных условий. Асимптотика этого решения для волн сжатия (М > 0) и волн разрежения (М < 0) при оо показана на рис. 6.6.1. [c.74]

Уравнение Бюргерса является простейшей моделью диссипирующих волн и при некоторых упрощающих предположениях помимо всего прочего охватывает следующие случаи турбулентность (где это уравнение впервые появилось), звуковые волны в вязкой среде, волны в вязкоупругих трубках, наполненных жидкостью, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью. Уравнение КдФ представляет собой простейшую модель диспергирующих волн и при определенных упрощающих условиях охватывает волны следующих типов длинные волны на поверхности [c.29]

Отсюда мы делаем вывод, что член второго порядка в уравнении Бюргерса не допускает появления крутых наклонов профиля волны. Итак, член второго порядка стремится нейтрализовать влияние нелинейности в области сжатия и сгладить разрывы. [c.39]

Таким образом, для описания рещения внутри переходного слоя в пределе получим следующую задачу найти решение типа бегущей волны, т.е.решение, зависящее от х = х - Wt, которое при X —> оо стремилось бы к однородным не зависящим от времени состояниям и , uf. Эта задача называется задачей о структуре ударной волны. Так как в рассматриваемом случае все функции щ предполагались выраженными через инвариант Римана W, а следовательно, через с, то для нахождения структуры надо найти нужное решение уравнения Бюргерса (1.53). Это решение легко находится и имеет вид (Рождественский и Яненко [c.85]

Для волн малой амплитуды получено уравнение Бюргерса ( 1.12) и с помощью него изучена непрерывная структура слабых ударных волн ( 1.13). Рассмотрен пример уравнения, в котором при стремлении к нулю членов, определяющих щирину размазывания разрывов, возникают в пределе разрывные решения с дополнительными соотношениями. [c.116]

Уравнение Бюргерса (II.1.10) позволяет детально исследовать различные эффекты, возникающие при распространении волн в диссипативных средах с квадратичной нелинейностью. Теория второго приближения, которой посвящены работы [25—46], с помощью уравнения Бюргерса может быть изложена в рамках единой точки зрения. [c.44]

Богаевский И. А. Перестройки особенностей функций минимума и бифуркации ударных волн уравнения Бюргерса с исчезающей вязкостью. Алгебра и анализ 1989, 1 (4), 1-16. [c.321]

Рис. 9-11. Результаты численного интегрирования стационарного уравнения Бюргерса—Кортвега де Фриза (расчет структуры фронта ударной волны)

К числу таких универсальных моделей относятся Кортевега — де Фриса уравнение, Шрёдингера уравнение нелинейное, синус-Гордона уравнение, Кадомцева — Петвиашвили уравнение, Бюргерса уравнение, Хохлова — Заболотской уравнение и др. Необходимо отметить еще систему ур-ннн трёх волн [c.315]

Уравнение Бюргерса - одно из основных в нелинейной акустике, как и вообще одно из наиболее изученных зволюционных уравнений теории нелинейных волн [Уизем, 1977]. Оно описывает распространение интенсивной звуковой волны с учетом влияния малых, но конечных нелинейности и диссипации. Их относительная роль характеризуется безразмерным параметром [c.10]

На зтом несложном примере видно, что происходит своего рода конкуренция между нелинейностью с одной стороны, и диссипацией и дисперсией - с другой. Сильные нелинейные искажения волны происходят в случаях, если соответствующие параметры Ке и и достаточно велики Ке > 1 и (/> 1- При зтом нелинейность в локальном смысле - величина числа Маха - всегда остается малой. Именно эти случаи и будут рассматриваться далее. Мы начнем с классического уравнения Бюргерса, полученного в предыдущей главе, и рассмотрим различные случаи формирования и эволюции пилообразных и треугольных волн, особенно характерных для нелинейной акустики. Затем обсудим более сложные случаи распространения случайных сигналов, а также распространение волн в аномальных средах, характеризуемых неквадратичной нелинейностью, — в них закономерности формирования ударных волн могут быть существенно иными, чем в классических для акустики ситуациях. В последнем разделе гл. 2 рассматриваются одномерные волны в ограниченных системах — резошторах. [c.33]

Стационарная ударная волна и периодические решения. Рассмотрим автомодельные решения уравнения Бюргерса, зависящие от некоторой заданной комбинации переменных х я у. Простейшее из них - стационарная бегущая волта вида v = и(т ), где ri у + sx, s = onst. Тогда подстановка в (2.1) приводит к уравнению в обычных производных [c.44]

Актавная среда. В заключение этого раздела кратко остановимся на усилении пилообразных волн в среде с внутренними источниками энергии. В связи с этим рассмотрим обобщенное уравнение Бюргерса в виде [c.66]

Более общий подход связан с 0Ш1санием невзаимодействующих бегущих волн, каждая из которых 0Ш1сывается уравнением Бюргерса или, при больших Re, соответствует простой волне или разрывному периодическому решению. В последнем случае, при синусоидальном шчальном условии, удобно исходить из уравнений характеристик в виде [Канер и др., 1977] [c.68]

Первой работой, имеющей отношение к НГА, можно, по-видимому, считать работу Л.Д. Ландау, который еще в 1945 г. рассмотрел сферическую и цилиндрическую волны на большом расстоянии от места взрьша с учетом одновременного действия нелинейности и сферической расходимости [Ландау, 1945]. В 60-е годы детальный анализ подобных задач был проведен С.А. Христиановичем [1956]. В этой связи следует также упомянуть работы К.А. Наугольных и др. [1963], где сферические волны рассматривались с учетом вязкости, когда использовалось обобщенное на сферический случай уравнение Бюргерса. Общая схема НГА для неоднородных сред рассматривалась К.Е. Губкиным [1958]. Однако реализации этого приближения для конкретных задач появились за редкими исключениями значительно позже. [c.75]

Эти простые формулы имеют, однако, ограниченную применимость. Прежде всего это связано с учетом диссипации хотя бы в рамках обобщенного уравнения Бюргерса (2.1). Оно уже не может быть приведено к уравне]шю с постоянными коэффициентами, и для него известны лишь некоторые приближенные решения. В решении (3.5) считается, что ударный фрош импульса близок к стациотрному, тогда его структура такая же, как в плоской волне (поскольку толщина фронта 6 = где V — кинематическая вязкость среды, заведомо мала по сравнению с радиусом его кривизны). Ясно, однако, что это справедливо лишь пока акустическое число Рейнольдса Ке //6 достаточно велико. Для плоской волны в виде одиночного импульса это условие всегда выполняется (если оно выполнялось вначале). Действительно, на больших расстояниях длина такого импульса / растет как у/У, а амплитуда падает как jyfx, т.е. 6 1/и Поэтому Ке остается постоянным, и если в начальный момент Ке > I, то ударный фронт всегда узок по сравнению с общей длиной импульса. Поэтому волна остается нелинейной до конца процесса. [c.83]

Чтобы оценить расстояние, на котором зто произойдет, обратимся к обобщенному уравнению Бюргерса. Ясно, что фронт ударной волны может оставаться ближим к стационарному только при условии, что последнее слагаемое, ответственное за сферическую расходимость, остается малым по сравнению с остальными. Поэтому полученные выше формулы теряют применимость начиная с такого радиуса г г, на котором, скажем, нелинейное слагаемое ew / будет порядка последнего слагаемого v jlr /i /2r. Отсюда, подставляя решение (3.5), получаем [c.84]

Здесь % = Гг/го, Ао = vir о lev = MRe(ro), где Re(ro) - число Рейнольдса по масштабу Го- ПриЛо < 1 это уравнение вообще не имеет решения в области i > 1, т.е. при Г2 > Го- Это озтчает, что с самого начала фронт ведет себя линейным образом. Если же Ло > 1, то из (3.6) определяется конечное значение Гг, отвечающее переходу ударной волны в акустическую, так что при г > Г2 ширит фронта растет по закону линейной диффузии, т.е. как Зтчение Гг может быть меньше Гу, и тогда задний фронт импульса по-прежнему описывается решением (3.1). Однако поскольку член ewj/ в уравнении Бюргерса в этой области меньше, чем на переднем фронте, то нелинейность не успевает проявляться и здесь, где основными слагаемыми теперь остаются си, и v/2r, так что амплитуда всей волны затухает как г", и, в сущности, она становится полностью линейной уже при Г = Г2, хотя ее фронт и остается коротким. [c.84]

Как уже говорилось, в среде без дисперсии резонансные соотношения могут вьшолняться только в случае коляинеарного, попутного распространения всех взаимодействующих волн в одном и том же направлении, зато при этом они справедливы для волн любых частот, связанных условиями синхронизма. Поэтому здесь зачастую более эффективно пространственно-временное описание, основанное на уравнении Бюргерса [c.121]

Эти результаты относятся к случаю, когда нелинейными искажениями низкочастотного поля можно пренебречь. Есть, однако, случай, когда удается построить точное решение уравнения Бюргерса, отвечающее взаимодействию произвольной нелинейной волны с волной сжатая или разре- [c.124]

Ударные волны огибающих 208 Уравнение Бюргерса 10 Дуффинга 215 Кортевега - де Вриза 31 Лайтхилла 9 [c.233]

Как и уравнение Бюргерса, уравнение БКдВ допускает решение и = и( ШоУ, соответствующее стационарной волне сжатия, распространяющейся в системе координат с постоянной скоростью без изменения формы и переводящей среду из невозмущенного состояния (1г = 1го = 0) в другое состояние (гг = = м > 0). В отличие от уравнения Бюргерса, эта волна может иметь осциллирующую структуру. Подставляя и и % — в уравнение (6.6.54), получим обыкновенное дифференциальное уравнение (ср. с (6.6.33)) для структуры волны м( ) с соответствующими граничными условиями [c.77]

Исследовательский институт им. Мехты совместно с Индийским математическим обществом с 17 мая по 15 июня 1976 г. организовал четырехнедельный курс лекций на тему Гиперболические системы уравнений в частных производных и нелинейные волны . Они были ориентированы на научных работников, желающих познакомиться с этой увлекательной и вместе с тем полезной областью современной науки, в которую за последние годы было вложено много творческих сил. Автор прочитал ряд лекций по некоторым аспектам нелинейных волн. В основном он сосредоточил внимание на стационарных решениях знаменитых уравнений Бюргерса к Кортевега — де Фриза (КдФ), на взаимодействии солито-нов, на понятии групповой скорости для нелинейных диспергирующих волн и более кратко коснулся общего уравнения эволюции, частным случаем которого является уравнение КдФ. Из многих эволюционных уравнений, привлекавших внимание выдающихся ученых последние два десятилетия, мы выделили два указанных выше модельных уравнения, поскольку уравнение Бюргерса является простейшим при изучении диссипирующих волн, а уравнение КдФ — простейшая модель для диспергирующих волн. Причем последнее уравнение особенно важно благодаря существованию решений типа уединенной волны. [c.7]

В ЭТОМ Приближении мы рассмотрим две физические задачи и приведем их волновые уравнения к общему виду. В следующем приложении (ИБ) мы опишем метод, с помощью которого это общее уравнение сводится к эталонному. Забегая вперед, заметим, что первая задача приводит к обобщенному уравнению Бюргерса, а вторая — к обобщенному уравнению КдФ. В гл. 1 и 2 было расс, ютрепо распространение волн в однородных средах. Мы умышлеппо выбрали две указанные выше задачи, в которых рассматриваются волны в неоднородных средах, чтобы подчеркнуть тот факт, что даже в случае распространения волн в неоднородной среде эталонные уравнения с переменными коэффициентами могут адекватно отобразить реальную физическую ситуацию. [c.55]

Идею применить уравнение Бюргерса для объяснения поведения волн умеренной амплитуды можно встретить в работах [50, 51], однако впервые оно было строго получено в радиофизике при изучении волн в нелинейных линиях передачи [52]. Суть асимптотического метода работы [52] заключается в предположении медленности изменения формы профиля в сопровождаюш,ей системе координат на расстояниях порядка длины волны. Этот метод был вскоре применен к проблемам нелинейной акустики уравнение Бюргерса удалось получить из системы гидродинамических уравнений, учитывающих вязкость и теплопроводность среды [53]. Дальнейшие успехи теории связаны с обобщением уравнения Бюргерса на цилиндрически- [54] и сферически-симметричные волны [55], на случай среды с релаксацией [56], на слабо-неодномерные задачи нелинейной дифракции ограниченных пучков [57] и, наконец, на задачи более высоких приближений [58] ). [c.9]

ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ (ВЯЗКАЯ ТЕПЛОНРОВОДЯЩАЯ СРЕДА) 1. Вывод уравнения Бюргерса [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...