Компоненты вектора системе

При одновременном изменении знаков и компонент вектора система уравнений (2.16) не изменяется. Знак же скалярного произведения (Гй, 18 ) изменяется на противоположный. Поэтому равенству (2.15) можно всегда удовлетворить выбором знака в гамильтониане (2.1) и соответствующей нормировкой собственного вектора е . [c.35]

Упорядоченная система чисел a , а , однозначно связана с вектором а и составляет систему компонент вектора а относительно выбранного базиса. [c.16]

При изменении координатной системы меняются также ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Изменение координат определяется системой трех соотношений типа [c.19]

Как мы видели при обсуждении компонент вектора, векторный базис, вообще говоря, связан с некоторой координатной системой. Используя естественный базис и дуальный, ему базис е можно определить следующие типы тензорных компонент [c.23]

Уравнения преобразования компонент тензоров от одной системы координат к другой аналогичны соответствующим уравнениям для компонент векторов (см. уравнения (1-2.10) и (1-2.11)). [c.25]

При выбранной системе координат скалярное поле / (X) можно представить функцией трех переменных / (ж ), где ж - суть координаты вектора X. Тогда можно показать, как компоненты вектора V/ связаны с функцией / (л ). [c.30]

Выбирая координатную систему, можно найти соотношение между компонентами тензора Va и вектора а. Это соотношение оказывается более сложным, чем соотношение для градиента скалярной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, компоненты тензора Va вовсе не являются производными по координатам компонент вектора а, как это можно было бы предположить на основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1). Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда система координат является декартовой. [c.32]

Например, при изучении процесса прядения и скручивания нити в прядильной машине в качестве системы отсчета можно выбрать пространство, неподвижное относительно стенок лаборатории. Таким образом, будут индивидуализированы скорость частицы и другие рассматриваемые векторы и тензоры. Для проведения определенных вычислений может оказаться удобным выбрать некую координатную систему, скажем декартову. Вследствие цилиндрической симметрии нити можно вместо этого выбрать цилиндрическую систему координат или из-за некоторых других причин можно выбрать какую-либо другую систему координат, но каждый такой выбор будет влиять только на компоненты векторов и тензоров, а не на сами векторы и тензоры. [c.37]

Очевидно, что уравнение состояния должно быть инвариантным при изменении системы координат выбор последней фактически является соглашением, используемым для определения компонент векторов и тензоров. Если это уравнение записано в тензорной форме, оно всегда инвариантно при изменении системы координат. Действительно, в системе отсчета, избранной для наблюдения, тензоры остаются неизмененными при изменении системы координат, хотя их компоненты могут изменяться. Это становится очевидным сразу же, когда тензоры определяются как линейные операторы, поскольку такое определение не зависит от выбора системы координат. [c.58]

Криволинейное течение определяется следующим образом. Пусть — ортогональная система координат, и пусть контра-вариантные компоненты вектора скорости имеют вид [c.181]

Периодическое винтовое течение [6] описывается в цилиндрической системе координат г, 9, z следующими уравнениями для физических компонент вектора скорости [c.200]

Тензором называют физический или геометрический объект, который в трехмерном пространстве аналитически определяется системой 3 чис л — компонент тензора. Число п определяет ранг тензора. Так, например, вектор аналитически определяется системой трех чисел — проекций вектора на оси координат или компонент вектора, а потому он является тензором первого ранга, так как 3" = 3 п /1=1. [c.110]

Если триэдр 1тп принять за оси косоугольной системы координат, то векторы j, а , а будут косоугольными составляющими (компонентами) вектора а по осям I, т, п. При этом равенство (18) [c.26]

Теперь надо найти какое-либо решение системы уравнений (2.101). Положим для определенности четвертые компоненты векторов е вещественными и равными единице. Тогда действительные и мнимые части собственных векторов получаются такими [c.131]

Скаляры й называются компонентами вектора. В прямоугольной системе декартовых координат они равны проекциям вектора а на оси координат. Действительно [c.39]

Рассмотрим преобразование компонент вектора а при ортогональном преобразовании системы координат Х . [c.41]

Пусть прямоугольная система координат хг переходит в прямоугольную систему координат х / . Координатные векторы новой системы обозначим е), компоненты вектора а в новой системе координат обозначим а. [c.41]

Будем различать среди скаляров абсолютные скаляры, или инварианты, не зависящие от выбора координатных систем. Существуют также скаляры, зависящие от выбора координатной системы. Примером таких скаляров являются компоненты вектора. Абсолютные скаляры полностью характеризуются одним числом. Векторы по сравнению со скалярами являются величинами высшего порядка. [c.42]

Формулы преобразования скаляров, векторов и тензоров линейны относительно их компонент в новой и старой системах координат. Количество компонент скаляра равно единице, или 3 , количество компонент вектора равно трем,т. е. 3 количество компонент мультипликативного тензора (1.37) или (1.38) равно девяти, или 3 . Следовательно, количество N компонент скаляров, векторов и простейших тензоров в трехмерном пространстве определяется общей формулой [c.45]

Покажем, что при ортогональном преобразовании координатной системы числа С преобразуются, как компоненты вектора. Чтобы. это доказать, рассмотрим некоторые вспомогательные соотношения. Предположим, что взаимная ориентация осей не изменяется при преобразовании координат, т. е., например, правая система координат переходит в правую новую систему. [c.47]

Коэффициенты преобразования а), являются контравариантными компонентами векторов нового координатного базиса в старой системе координат. Коэффициенты обратного преобразования являются контравариантными компонентами вектора е в новой системе. [c.51]

Рассмотрим теперь иной способ получения формул (II.22), исходя из общих формул преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой. На основании формул (1.36) имеем [c.80]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Проекции вектора ускорения полюса иа осп подвижной системы координат можно найти, пользуясь формулами преобразования компонент вектора при ортогональных преобразованиях системы декартовых координат, а также выражениями коэффициентов этих преобразований через функции углов Эйлера (II.10.5b). [c.129]

Формулы (I. 55) являются частными случаями общих выражений компонент вектора Ьо в произвольной криволинейной системе координат. На основании равенства (I. 52) находим [c.57]

Базис Са далее называется неголономным, а базис е , определенный формулами (Ь), — голономным. Контравариантные компоненты вектора дг в неголономной локальной системе отнесения определяются формулами [c.152]

Предположим, что метрика выбрана ). Тогда можно найти все контра-вариантные или ковариантные компоненты вектора бг на основании соотношений 24 первого тома. Вычисления, связанные с этим определением, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений с 2Л1 неизвестными. Предположим, что это вычисление выполнено. Пусть найдены контравариантные компоненты вектора бг Ьг> = ЬхК Предположим, что форма [c.389]

Если система координат х криволинейна, то величины w не будут компонентами вектора смещения. Лишь в то.м случае, когда координаты х являются декартовыми, можно положить [c.503]

Как известно, дифференциальные уравнения движения материальной системы содержат компоненты векторов механических сил. Ограничившись изучением лишь поля сил тяготения, А. Эйнштейн установил связь между геометрическими свойствами физического пространства, в котором движется материальная система, и силами тяготения, приложенными к материальным точкам системы. [c.526]

Заданное поле тензора деформаций не может быть совершенно произвольным. Действительно, три компонента вектора смещения удовлетворяют системе шести дифференциальных уравнений [c.12]

Из формулы (3.24) легко усмотреть и правило вычисления вектора правой части 6 в системе (3.22) через компоненты векторов Заметим, что по граничным условиям Цо = бо = 0 [c.134]

Здесь г — радиус-векторы точек по отношению к системе координат, общей для всех тел и —вектор перемещения точки г, Оу (и) — компоненты тензора напряжений, связанные с вектором и = а г) с помощью уравнения состояния, вид которого пока фиксировать не будем v — компоненты вектора единичной нормали V к S, внешней к Q (/ ) —заданные на S перемещения, ниже для простоты предполагаемые нулевыми Р —заданные на So поверхностные усилия. [c.289]

В указанной системе координат -компоненты векторов Sjx равны нулю, а х-компоненты можно выразить через углы ф, ф, ф следующим образом [c.472]

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естественному, называются ко вариантными. Различие между ковариан-тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по отношению к существованию какой-либо координатной системы. Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от акой бы то ни было системы координат, не существует способа оказать предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каждом из базисов не могут быть присвоены различные наименования. [c.18]

До сих пор мы не упоминали о скалярных величинах и их поведении при изменении системы отсчета. Не рассматривая таких скаляров, которые могут изменяться даже в рамках одной системы отсчета (например, компоненты векторов и тензоров), мы вновь видим, что все остальные делятся на две категории по отношению к изменению системы отсчета, а именно на нейтральные и ненейтральные. [c.39]

Простейшим примером вискозиметрического течения является линейное течение Куэтта. Оно уже встречалось в разд. 2-1 в связи с жидкостями Рейнера — Ривлина, а его кинематика рассматривалась в общем случае в примере ЗА. В декартовой координатной системе компонентами вектора скорости будут [c.179]

Эта система уравнений не изменится при одновременном изменеши знака 0у и знака компонент вектора гу. Знак же скалярного произведения (гу, / 1 изменяется на противоположный. [c.130]

Здесь ср — значение скаляра <р в повой системе координат. В фор-М улу (а) не входят направляющие косинусы осей повой системы координат. Однако можно по.дожить, то правая часть этой формулы содержит их в нулевой степени. Векто[) аналитически определяется системой трех чисел — проекцнн вектора на оси координат, или компонент вектора. Компоненты векто1)а. зависят от выбора системы координат и преобразуются при изменении системы координат но формулам (1.35) и (1.36). Эти формулы линейны и однородны относительно направляющих косинусов осей новой системы координат. Возникает вопрос о существовании физических пли геометрических объектов, аналитически определяемых более сложными системами чисел, чем векторы, но имеющих аналитические свойства, родственные свойствам скаляров и векторов. Такие объекты существуют. Они называются тензорами. Мы рассмотрим здесь аналитическое определение тензоров и убедимся, чго абсолютные скаляры и векторы являются лишь их частными случаями. [c.43]

Величины а являются контравариантными компонентами вектора а в новой системе координат. Из сравнения формул (1.50а) и (1.49) видно, что прямое преобразование коитравариантных компонент осуществляется при посредстве коэффициентов р обратного преобразования векторов координатного базиса. Этим объясняется возникновение термина контравариантный . [c.51]

Теперь мы можем обобщить понятие тензора, введенное нами первоначально в ортогональной системе декартовых координат. Рассмотрим сначала тензоры второго ранга. Применяя контрава-риантные и ковариантные компоненты векторов а и Ь, можем построить четыре мультипликативных тензора второго ранга. Эти тензоры имеют следующие компонешы [c.55]

Проекции скорости По . оц. связаны с Оох, оу и Voz формулами преобразования компонент вектора при ортогональном преобразовании системы координат (ч. I). Коэс )фнциенты преобразования — косинусы углов между направлениями осей старой и новой систем координат. Их выражения через функции углов Эйлера — фор.мулы (П.105Ь). [c.128]

Добавление 1.3. Решим задачу об изменении площади элемента поверхности в теле при его деформации. Для этого рассмотрим два вектора daj и dttj, исходящих из одной и той же точки о. Площадь элементарного параллелограмма, построенного на векторах йа, и равна модулю векторного произведения daiXda2 = d5o- В декартовой системе компоненты вектора dS определяются по формуле (см. приложение I) [c.11]

В силу линейности исследуемых систем уравнений можно разыскивать решение, соответствующее системе вне1лних нагрузок, эквивалентных Р и М в виде суммы частных решений, соответствующих отдельным компонентам векторов Р н М. Решение, соответствующее компоненту Рз, — известное решение элементарной задачи о растяжении стержня продольной силой. Задача, соответствующая компоненту М , называется задачей кручения, две различные задачи, одна из которых соответствует компоненту Р или Ра. а вторая —Ajj или М , называют задачами об изгибе стержней концевой силой и моментом. [c.64]

Вспомним теперь, что часть компонентов вектора б —заданные величины, равные значениям пере.мещений на S , и перенесем произведения их на соответствующие элементы матрицы [/(] в правую часть системы уравнений (3.71) веномним также, что уравнения, соответствующие узлам на S , незаконны и вычеркнем их из системы (3.70). R результате этих преобразований получим новую систему уравнений с матрицей размерности 2х У М,, — М ,Х где — количество лежащих на вершин. [c.142]

Напомним, что для гамильтоновой механической системы эта дивергенция равна нулю согласно теореме Лиувнлля компонентами вектора х являются при этом обобщенные коордшшты q и импульсы р системы. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...