Максвелла — Больцмана распределение вывод

Распределение Больцмана см. Распределение Максвелла — Больцмана Распределение Максвелла — Больцмана 141, 43, 44 и невырожденные полупроводники П 207, 208 сравнение с распределением Ферми — Дирака 143—44 Распределение Пуассона 140, 41 Распределение Ферми — Дирака 143, 44, 53-55 в пространстве скоростей 143, 63, 64 вывод 143, 44, 53—55 классический предел 168 [c.436]

Рассуждение, которое мы приведем, в математическом отношении весьма напоминает вывод распределения Максвелла - Больцмана методом ящиков и ячеек, но принципиальные его основы радикально отличны. [c.312]

Как мы отмечали, распределение Максвелла — Больцмана обладает интересным свойством оно не зависит от конкретного вида взаимодействия между молекулами, если таковое существует. Благодаря этому факту распределение Максвелла — Больцмана обладает универсальностью. Поэтому можно предположить, что если мы интересуемся только равновесными свойствами газа, то должен существовать такой способ получения распределения Максвелла — Больцмана, в котором явно не учитывалось бы взаимодействие между молекулами. Рассмотрим этот метод. Благодаря ему легче понять значение распределения Максвелла — Больцмана. Мы придем к следующему выводу. Если выбрать наугад какое-нибудь состояние газа среди всех возможных состояний, удовлетворяющих определенным макроскопическим условиям, то вероятность того, что выбранное состояние окажется состоянием с распределением Максвелла—Больцмана, будет подавляюще велика по сравнению с вероятностью какого-либо другого распределения. Но предварительно введем некоторые новые понятия. [c.89]

Предложенный здесь вывод распределения Максвелла — Больцмана никак не связан с данным ранее выводом, основанным на уравнении переноса Больцмана. Ни один из этих выводов не является строгим. В настоящем выводе сделаны предположения, которые мы не доказали, а в более раннем использовалось предположение о молекулярном хаосе, которое осталось недоказанным и не связано с использованными здесь предположениями. Настоящий способ вывода распределения Максвелла — Больцмана представляется более удовлетворительным, поскольку он яснее показывает статистическую природу этого распределения. Однако метод наиболее вероятного распределения не дает информации о неравновесном состоянии газа, в то время как уравнение переноса Больцмана позволяет получить ее. Следовательно, основная ценность уравнения Больцмана состоит в возможности его применения для описания неравновесных явлений. [c.99]

Как было показано в гл. 8, 1, канонический ансамбль может быть выведен из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что средняя по всем системам энергия равна данному числу 1У. Найдем наиболее вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае Ж->-оо. По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми. Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем, решением является распределение Максвелла — Больцмана значение энергии Е встречается среди систем с относительной вероятностью где р определяется средней энергией С/. Такой ансамбль является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике. [c.229]

Дадим теперь более строгий вывод, не опирающийся на формулу Стирлинга, которая необходима при обычном выводе распределения Максвелла — Больцмана. Цель нашего рассмотрения будет состоять не только в непосредственном выводе канонического ансамбля. Мы хотим также дать представление об интегрировании методом перевала, который представляет собой полезный математический прием в статистической механике. Все последующие рассуждения справедливы и в квантовой, и в классической статистической механике. [c.229]

В некоторых случаях, если можно рассматривать силы, действующие на частицу приближенно, как внешние силы (считая распределение других частиц заданным), можно все же пользоваться формулой Больцмана (13.2) для распределения частиц но скоростям и координатам как приближенной формулой. В противоположность этому, выражение для распределения Максвелла но скоростям остается справедливым во всех случаях, т. е. и для жидкостей, и для твердых тел. Действительно, кинетическая анергия всегда равна сумме кинетических энергий отдельных частиц. Поэтому, если мы будем интересоваться только распределением по скоростям, то предыдущие выводы остаются в силе во всех случаях. [c.211]

Систему уравнений для вывода критериальных зависимостей исследуемого класса дисперсных теплоносителей получим, используя предложенную выше модель гетерогенной элементарной ячейки. Этот подход, по-види-мому, связан с минимальными физическими погрешностями, что существенно для теории подобия. Возникающая при этом математическая некорректность вывода соответствующих дифференциальных уравнений связана с тем, что к рассматриваемому молю гетерогенной системы в силу конечности его размеров и дискретности его 1компонентов неприменимы точные математические методы. Мож но полагать, что для дисперсных систем в принципе невозможно получить полностью корректную (одновременно с физической и формально-математической точек зрения) систему дифференциальных уравнений пока не будут предложены соответствующие функции распределения, аналогичные функциям Максвелла и Больцмана для газа. Поэтому в дальнейшем воспользуемся приближенным методом конечных разностей, дополнительно учитывая следующее [c.33]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

Сделаем в заключение этого параграфа следуюшее замечание. Вывод распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака методом яши-ков и ячеек предполагает, что в ходе процесса установления термодинамического равновесия частицы могут менять энергию, переходя из яшика в яшик. В противном случае любое начальное неравновесное распределение частиц в //-пространстве оставалось бы неизменным и не релаксировало бы к равновесному состоянию, а процедура максимизации In W не имела бы смысла. Очевидно, возможность переходов частиц из яшика в яшик возникает благодаря взаимодействию частиц с окружаюшей средой (друг с другом частицы не взаимодействуют). Эта окружаюшая среда обязана быть термостатом (Т = onst) с непроницаемыми (N = onst) стенками. Это следует из того, что при выводе статистических распределений мы считаем фиксированными полное число частиц N я полную энергию U, которая при фиксированном N зависит для идеального газа только от температуры. Таким образом, распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а также распределение Максвелла - Больцмана, которое мы получим в следуюшем параграфе, представляют собой наиболее вероятные распределения частиц идеального газа в //-пространстве при условии, что этот газ помешен в термостат. [c.184]

Достойна восхищения прозорливость Гиббса, предвосхитивщего еще в конце XIX в. современную концепцию неразличимости частиц. Однако с логической точки зрения прием, использованный им для устранения парадокса энтропии, ни в какой мере не может считаться последовательным. Действительно, в этом рассуждении сначала, при выводе распределения Максвелла - Больцмана, частицы газа рассматриваются как различимые и лищь в окончательном результате вводится поправка , учитывающая тождественность состояний, отличающихся перестановками молекул. Логически последовательный способ рассуждения основан на гипотезе неразличимости частиц и приводит к распределениям Бозе - Эйнщтейна или Ферми - Дирака. Распределение же Максвелла - Больцмана появляется при этом лищь как приближенное в предельном случае малых чисел заполнения. [c.188]

При этих условиях вывод статистических распределений, основанный на применении формулы Стирлинга для вычисления Л , и gil, становится некорректным. Тем не менее, результаты, полученные вследствие применения этого метода — распределения Бозе - Эйнщтейна и Ферми - Дирака, так же как и распределение Максвелла -Больцмана при малых числах заполнения ячеек Ni/gi, оказываются верными. Это видно из сравнения следствий, вытекающих из этих формул, с экспериментом и подтверждается тем, что все три распределения могут быть выведены другими методами, отличными от метода ящиков и ячеек и не опирающимися на предположение о том, что числа Ni и gi велики по сравнению с единицей. Один из этих методов — общий метод Гиббса, приложимый не только к идеальным газам, но и к системам взаимодействующих частиц, будет подробно изложен в главе VI. Распределения Бозе - Эйнщтейна, Ферми - Дирака, Максвелла - Больцмана получаются при этом как частные случаи. [c.188]

Вариационный способ вывода плотностей вероятности для стационарных случайных процессов в нелинейных колебательных системах может быть распространен на уравнения более высокого порядка. Для рдномассовой системы таким образом получается распределение Максвелла—Больцмана [c.46]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

При установлении связи между статистической механикой и термодинамикой Гиббс предполагает (и это предположение в выводе Гиббса не может быть отброшено), что при адиабатическом изменении внешних параметров ансамбль систем все время находится в состоянии, описываемом канонической функцией распределения. Как и в некоторых названных выше пунктах, это предполоя ение выражает тенденцию сохранить полную аналогию между общей теорией систем в Г-пространстве и больцмановской теорией идеального газа, описываемого при помощи [ .-пространства известно, при адиабатическом изменении внешних условий можно предполагать, что газ проходит через ряд состояний, в каждом из которых осуществляется распределение Максвелла-Больцмана. В противоположность этому, предположение Гиббса в общем случае ошибочно. Как уже отмечалось, если в начальный момент ансамбль изолированных систем имел по энергиям каноническое распределение, то при адиабатическом изменении внешних параметров энергия систем изменяется так, что, вообще говоря, каноническое распределение теряется. [c.49]

Другой тип коррекции БГК-моделп получается при выводе модельного уравнения, приводяпхего к таким же уравнениям Навье — Стокса, что и полное уравнение Больцмана. Действительно, как будет показано в гл. V, БГК-модель дает значение числа Прандтля Рг = 1, т. е. значение, которое отличается от получаемых и из уравнения Больцмана, и из эксперимента для одноатомных газов (которые, согласуясь друг с другом, дают Рг 2/з). Чтобы получить правильное значение числа Прандтля, требуется дополнительный подгоночный параметр, кроме уже имеющейся частоты V. Это ведет [25, 26] к обобщению БГК-модели путем подстановки локального анизотропного трехмерного гауссовского распределения вместо локального максвеллиана (который представляет собой изотропное гауссовское распределение) [c.114]

Лоренц ) получил логические следствия из постулатов Друде и использовал их для более точной и широкой трактовки задачи. Он предположил, что скорости электронов в металле при постоянной температуре и отсутствии внешнего поля подчиняются закону распределения Максвелла-Больцмана, и при помощи остроумного метода нашёл, как изменяется это распределение при наличии электрических полей и тем пературных градиентов. Используя эти результаты, можно было про извести вычисления проводимостей более точно, чем это делал Друде Кроме того, оказалось возможным рассмотрение различных термоэлек трических эффектов. Как это иногда бывает в таких случаях, резуль таты Друде находились в несколько лучшем согласии с экспериментом чем результаты Лоренца. Однако эта разница имеет меньшее значение чем два следующих основных возражения к теории 1) применение ста тистики Максвелла-Больцмана приводит к выводу, что электроны принимают большее участие в удельной теплоёмкости металлов, чем это допустимо, если справедлива теория Эйнштейна-Дебая для атомных колебаний решётки 2) для объяснения исчезновения сопротивления прн абсолютном нуле необходимо было предположить, что средняя длина свободного пробега электрона при абсолютном нуле превращается [c.154]

Эти соотношения образуют систему замкнутых дифференщ1альных уравнений в частных производных. Уравнение Пуассона, являющееся одним из уравнений Максвелла, описывает распределение заряда в полупроводниковом приборе. Уравнения непрерывности описывают локальное равновесие между приходом и уходом электронов и дырок. Выражения для токов задают абсолютное значение, направление и ориентацию электронного и дырочного токов. Уравнения непрерывности и формулы для токов совсем не тривиально выводятся из уравнения Больцмана. Из-за ограниченности места привести здесь этот вывод нет возможности. Интересующихся читателей можно отослать к [15.172] и к литературе или монографиям по полупроводниковым приборам, например [15.18, 15.78, 15.136, 15.148]. [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...