Теорема гиперболическая периодическая

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Далее мы покажем, что диффеоморфизмы общего положения имеют только гиперболические периодические точки. Это часть утверждения теоремы К)шки — Смейла 7.2.6. [c.298]

Доказательство. Рассмотрим А для некоторого фиксированного 5 > О, и пусть р = р 6) определено из следствия Д 4.6. Таким образом, если х , оо е Ag таковы, что B(Xi, е) П АЛ > О для е > О, г = 1, 2, и (i,, а ) < р/2, то в силу доказательства теоремы Д 5.3 существуют такие гиперболические периодические точки г(а,), z(x ), что W z x )) пересекает W z x )) трансверсально и W (z(a ,)) пересекает РУ (г(а )) трансверсально. Это есть отношение эквивалентности для гиперболических периодических точек. Подобным образом мы определяем отношение эквивалентности на Aj г, если е Aj и эти точки принадлежат замыканию множества трансверсальных гомоклинических точек одной и той же периодической точки X. Следовательно, остается доказать, что существует лишь конечное число таких классов на Ag. Заметим, что если а , 6 Aj, то все то> у е В х, р 2)П Ag содержатся в одном классе, так что в силу компактности найдется лишь конечное число классов эквивалентности. Следовательно, по предложению Д 5.7 мы получаем утверждение теоремы. [c.689]

Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2). Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С. В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий, двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях теоремы 1 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по этому поводу гл. V). [c.156]

При п = 1 теорема 3 установлена в работе [71]. Точнее, при всех у ф О из плоскости TTj резонансные двумерные торы невозмущенной задачи распадаются при добавлении возмущения, причем для малых Ф О возмущенная задача имеет четное число невырожденных периодических решений. Половина из них имеет гиперболический тип, а половина—эллиптический. [c.249]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Покажите, что инвариантное множество Л в подкове из п, 2.5 в содержит совершенное подмножество, на котором наше отображение минимально. Выведите отсюда, что периодические точки, существование которых гарантирует лемма Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), могут не принадлежать гиперболическому множеству. [c.278]

В случае потоков устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек и периодических орбит могут быть определены с помощью соответствующей модификации теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, как предложено в упражнении 6.2.5. Соответственно можно говорить о трансверсальности относительно этих многообразий. Заметим, что такие многообразия состоят из орбит потока, так что трансверсальное пересечение может возникнуть только при условии, что сумма их размерностей строго больше размерности многообразия. [c.301]

В п. 3.2 д было отмечено, что в большом количестве случаев экспоненциальный рост числа p(f) периодических орбит равен топологической энтропии /ц р(/). В 18.5 мы покажем, что равенство величин p f) и — общее свойство динамических систем с гиперболическим поведением. Для более общих классов систем периодические орбиты могут не быть изолированными, так что можно ожидать лишь неравенства p(f) Наша главная цель теперь состоит в том, чтобы показать, что для отображений отрезка топологическая энтропия в самом деле является нижней границей скорости роста числа периодических орбит. Кроме того, мы покажем, что энтропия аппроксимируется энтропией инвариантных множеств, подобно тому как это происходит в теореме 15.1.5. Условимся, что в дальнейшем слово интервал может означать одну точку, а также собственно интервал, полуинтервал или отрезок. [c.496]

Доказательство. Если СГ с [0,1 ] Л — окрестность множества критических точек, то из первого утверждения теоремы 16.2.1 следует существование такого ЛГ е N. что все периодические точки периода по крайней мере N из множества [0,1 ] СГ являются гиперболическими отталкивающими. Остающиеся периодические точки образуют компактное множество и, следовательно, существует окрестность V множества Л, которая не содержит критических точек, равно как и негиперболических периодических [c.523]

Исключительно важная особенность гиперболических систем состоит в необычайно чувствительной зависимости орбиты от начальных условий. Тем самым возникает проблема извлечения осмысленной информации из приблизительного знания отрезка орбиты. Мы уже видели, что почти периодическая орбита всегда приближается периодическими (лемма Аносова о замыкании, теорема 6.4.15). Теперь посмотрим, как обстоит дело с непериодическими орбитами. [c.566]

Теорема 19.2.9. Предположим, что p М - М и ф М - М — потоки, орбитально эквивалентные на гиперболических множествах Л и К соответственно и такие, что периоды соответствующих периодических орбит в А. и К согласованы. Тогда и -ф эквивалентны как потоки. [c.615]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

Отметим, что в приводимом случае заключение леммы 3 вытекает из теоремы 3 настоящего параграфа. Торы, о которых шла речь в лемме 3, можно назва1ь гинерболимескимщ они являются прямым обобщением гиперболических периодических решений из 8. [c.237]

В следующем параграфе будет показано, что некоторое свойство, присущее гиперболическому поведению, а именно гиперболичность всех периодических точек, является общим свойством, т. е. свойством, истинным для плотного в С -топологии множества С-диффеоморфизмов типа Gj (теорема Купки — Смейла 7.2.6). Так как локальное топологическое поведение диффеоморфизма в окрестности гиперболической периодической точки хорошо изучено (благодаря теореме Хартмана — Гробмана 6.3.1), вышеопи- [c.295]

Из утверждения леммы следует плотность в С-топологии множества диффеоморфизмов, имеющих только гиперболические периодические точки данного периода в силу плотности в С -топологии множества диффеоморфизмов / имеющих только трансверсальные периодические точки периода п (теорема 7.2.4), мы получаем плотность в С-топологии множества диффеоморфизмов / б01ГГ (М), имеющих только гиперболические периодические точки периода п. Мы уже знаем, что это последнее множество открыто в С-топологии, а следовательно, и в С-топологии, так что оно открыто и плотно в С-топологии. Взяв пересечение по всем натуральным п, по теореме Бэра П 1.22 мы опять получаем плотное множество. [c.299]

Теперь выберем множество В сВ х , a/4)nAj, диаметр которого меньше чем , имеющее положительную меру. По теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 для почти всех хеВ существует такое положительное целое число п(х), что е и, следовательно, d(x, >(х)) < . Применяя лемму о замыкании, мы получаем, что существует такая гиперболическая периодическая точка z периода п(х), что d x, z) < 3a/(12Ai))Aj = а/4, и ясно, что z) < d x , а) + d x, z) < а/2. [c.686]

Теорема Д 5.3. Пусть / 6Diff (JW), а>0 и поверхность М компактна. Если — эргодическая непрерывная гиперболическая мера, то supp содержится в замыкании трансверсальных гомоклинических точек гиперболической периодической точки р. [c.686]

Д 5 в. Теорема о спектральном разложении. Благодаря теореме Д 5.3 мы знаем, что если ц — эргодическая гиперболическая мера, то ее носитель либо представляет собой притягивающую периодическую орбиту, либо содержится в замыкании множества трансверсальных гомоклинических точек гиперболической периодической орбиты. Как мы сейчас покажем, из этого следует существование такого хеМ, что supp СО(х). В данном пункте будет приведено частичное обобщение этой теоремы на случай неэргодических гиперболических мер. [c.688]

Теорема. Гиперболические отображения. Рациональное отображение степени (1 2 динамически гиперболично тогда и только тогда, когда замыкание посткритического множества Р отображения / не пересекается со своим множеством Жюлиа или тогда и только тогда, когда орбита каждой критической точки сходится к притягивающей периодической орбите. На самом деле, если / гиперболично, то каждая орбита в его множестве Фату должна сходиться к притягивающей периодической орбите. [c.240]

В теореме о расщеплении сепаратрис утверждается, что функция 1 а) имеет на периоде два простых пуля (в которых I ф 0). Пусть о — простой пуль и l ao) > 0. Тогда периодические решения, о которых идет речь в теореме из работы [17], будут гиперболическими и, следовательно, неустойчивыми. Если же sI ao) < О, то получим бесконечное семейство эллиптических периодических решений. С помощью результата работы [11] С. А. Довбыш показал, что при выполнении дополнительного условия [c.245]

Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно 9, при малых > О инвариантные торы являются гиперболическими. При п = 1 они превращаются в периодические решения, и теорема 1 становится частным случаем теоремы Пуанкаре из п. 5 8. Действительно, условие 3) теоремы 1 при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием невырожденности кевозмущенной системы. Далее, невырожденность матрицы УК ПК эквивалентна двум условиям det V О и det(/i n/< ) ф 0. Первое из них сводится к условию невырожденности критической точки функции h, а второе эквивалентно второму из неравенств (8.15). Следовательно, применима теорема Пуанкаре. [c.240]

Условие 2) теоремы 1 существенно для наличия невырожденных инвариантных торов возмущенной системы. Дело в том, что при малом возмущении функции Г амильтона изоэнергетически невырожденные периодические решения не исчезают, а переходят в периодические решеиия того же периода. Для инвариантных торов размерности m 2 это уже не так. В работах В. К. Мельникова [128], Ю. Мозера [129], С. Граффа [198] показано, что гиперболические приводимые горы с сильно несоизмеримым набором частот (условие (Ю.4)) сохраняются при возмущении уравнений Гамильтона. Однако аналогичный результат для негиперболических инвариантных торов (например, устойчивых) в общем случае не удается получить даже на формальном уровне (исключение составляют случаи, когда т=1и п=п — 1). Обсуждение этих вопросов можно найти в работе Ю Мозера [129]. [c.240]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Периодические решения Пуанкаре из теоремы 1 зависят от двух параметров непрерывного е и дискретного п. В предположениях теоремы 1 возмущенная система имеет 2тг7г-периодическое решение при фиксированном п и малом , В зависимости от знака произведения / (Ао) это решение может быть эллиптическим или гиперболическим. Возникает естественный вопрос о поведении возникающих невырожденных периодических решений при увеличении . Эта задача рассмотрена в работе [50. Оказывается, найдется такая положительная постоянная с, что с возрастанием < с/п мультипликаторы А, A периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки А = A = 1 при = О, либо монотонно движутся в противоположных направлениях положительной вещественной по- [c.296]

Прежде чем перейти к общему доказательству ограниченности числа периодических точек числом Лефшеца, посмотрим, что происходит с возмущениями линейных отображений. По предложению 1.1.4 любая периодическая точка PJ сохраняется при достаточно малых С -возмущениях и ее индекс также не меняется. Замечательно, что если преобразование А гиперболическое, то достаточно малое возмущение сохраняет индексы всех периодических точек. Это можно показать следующим образом в силу структурной устойчивости (теорема 2.6.3 для двумерного случая, которая дословно переносится на случай произвольной размерности) число Р (/) точек периода п постоянно для любого отображения /, достаточно близкого к и по следствию 6.4.7 они все гиперболические и, следовательно, все имеют одинаковый индекс, поскольку L(/) = L( ). [c.339]

Длинная ось симметрии соответствует гиперболической точке периода два, и орбиты, проходящие через каждый из фокусов, образуют две ветви вырожденной инвариантной кривой, содержащей такую орбиту (упражнение 9.2.5). Эти ветви переставляются биллиардным отображением, и каждая из них состоит из ветви устойчивого многообразия одной из точек этой периодической орбиты и ветви неустойчивого многообразия другой. Поэтому все орбиты на этой кривой являются нетрансверсальными гетероклини-ческнми орбитами, и возмущения данного биллиардного отображения в соответствии с теоремой Купки — Смейла дают примеры сложного поведения (сравните с примером в конце 7.2). Короткая ось симметрии соответствует эллиптическим орбитам. Заметим, что индекс гиперболической орбиты как неподвижной точки квадрата отображения возвращения равен -1, а индекс эллиптической орбиты равен +1 (см. таблицу в 8.4). [c.351]

Чуть более длинные вычисления (по-прежнему несложные, поскольку все кривые, относительно которых мы осуществляем отражение, являются либо отрезками, либо дугами окружностей см. упражнение 9.2.7) показывают, что орбита 7, соответствует случаю гиперболической седловой орбиты индекса -1, а орбита 73, вопреки ожиданиям, не эллиптична, но соответствует случаю обратного седла (пятая строка таблицы из 8.4), индекс которого равен единице. Тогда сумма индексов по-прежнему равна нулю, как и в случае изолированной орбиты периода два в эллипсе, хотя структура второй орбиты в этом случае другая. Этот факт следующим образом согласуется с формулой Лефшеца (теорема 8.6.2). В окрестности границы, которую не посещает ни одна периодическая орбита данного периода, можно возмутить биллиардное отображение таким образом, чтобы получилось тождественное отображение. Затем, отождествляя компоненты границы получившегося кольца, мы получим тор, на котором биллиардное отображение порождает некоторое отображение, гомотопное линейному преобразованию [c.354]

Поскольщг первый пункт теоремы 16.2.1 доказан, зафиксируем окрестность V сУ си множества критических точек и начиная с этого момента будем считать, что все периодические орбиты в множестве [0,1] V гиперболические. Кроме того, обозначим через В объединение областей непосредственного притяжения периодических точек, орбиты которых содержатся в[0, 1] У. Для X с [0,1] пусть [c.525]

Аносова о замыкании (теорема 6.4.15) и теорема о спецификации 18.3.9 представляют собой сильные утверждения о плотности, тогда как теоремы 18.5.1 и 18.5.6 показывают, что скорость роста числа периодических орбит отражает полную динамическую сложность гиперболического множества. В этом пункте мы покажем, что решения когомологических уравнений с гёльдеровыми данными на гиперболическом множестве полностью определяются данными на периодических орбитах. Это дает новый метод нахождения решений когомологических уравнений и доказательства их регулярности в дополнение к двум методам решения неподкрученных когомологических уравнений, предложенным в 2.9 (см. также конструкцию патологических кограниц из 12.6). Метод состоит в том, чтобы попросту [c.611]

Теорема 19.2.4. Пусть М — риманово многообразие, уз — гладкий поток, Л с М — компактное топологически транзитивное гиперболическое множество и функция д А—гёльдерова и такова, что для каждой периодической точки х = уз (х) мы имеем з(уз (х))й< =0. Тогда [c.612]

Объединяя полученную характеризацию меры максимальной энтропии с результатами, полученными для марковских разбиений, мы находим асимптотическую оценку экспоненциальной скорости роста числа периодических орбит (см. (3.1.1)) для компактного локально максимального гиперболического множества, основанную на следствии 1.9.12 и предложении 3.2.5, которая гораздо более точна, чем оценка, полученная в теореме 18.5.6. [c.621]

Теорема Д4.17 (теорема Лившица для неравномерно гиперболических систем). Пусть f е Diff (M), а>0 иМ —компактное риманово многообразие. Предположим, что р, — гиперболическая мера для f и (р М— Ж—такая гёльде-ровская функция, что для каждой периодической точки р, f (p) = p, мы имеем [c.684]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...