Локально максимальное гиперболическое множество

Эта простая теорема является прообразом нетривиальных теорем о спектральном разложении локально максимального гиперболического множества и о спектральном разложении А-диффеоморфизма (теорема 3.5 из [Б1]). [c.206]

Локально максимальные гиперболические множества. Мы переходим теперь к описанию гладких динамических систем, для которых поведение траекторий напоминает случайное. Как н выше, мы ограничиваемся только формулировками, отсылая читателя к основополагающей монографии Ан], обзору [С], лекциям [ГДС] и книге [Н] (вместе с приложением 8 к пей). [c.210]

Если f является У-диффеоморфизмом, то М — локально максимальное гиперболическое множество. В силу следствия 5.1 периодические точки плотны во множестве неблуждающих точек (1). Известна следующая нерешенная проблема верно ли, что = М [c.214]

Предложение 6.4.21. Компактное локально максимальное гиперболическое множество имеет локальную структуру произведения. [c.277]

Постройте пример такого локально максимального гиперболического множества Л, что периодические точки отображения не плотны в Л. [c.278]

В этой части книги мы построим систематическую теорию локально максимальных (базисных) гиперболических множеств для гладких динамических систем (см. определения 6.4.1 и 6.4.18). Мы будем исследовать и топологические, и метрические свойства сужений динамических систем на такие множества либо на их окрестности, а также и стохастические свойства различных важных инвариантных мер с носителями на локально максимальных гиперболических множествах. [c.532]

Покажите, что если Л — компактное локально максимальное гиперболическое множество потока то периодические орбиты плотны в NW( p f ). [c.572]

Другое непосредственное применение теоремы о семействах е-траекто-рий — конструкция марковской аппроксимации, согласно которой компактное локально максимальное гиперболическое множество является фактором топологической цепи Маркова. [c.573]

В 18.7 мы покажем, что выполнения этих свойств для любого локально максимального гиперболического множества можно добиться с помощью конструкции марковских разбиений. [c.575]

Следствие 18.3.3. Диффеоморфизм f, суженный на компактное локально максимальное гиперболическое множество, топологически транзитивен тогда и только тогда, когда перестановка а из теоремы 18.3.1 является циклической. [c.576]

Теорема 18.3.9 (теорема о спецификации). Пусть Л — топологически перемешивающее компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /. Тогда /[д обладает свойством спецификации. [c.580]

Предложение 18.3.10. Если А — компактное локально максимальное гиперболическое множество / м / Л —> Л — топологическое перемешивание, то для а>0 существует такое N eN, что для х, у еА и п N выполнено условие f"(W (x)) n WJ(y) 0. [c.580]

Теорема 18.3.12. Пусть А — топологически транзитивное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /. Тогда существует такое N eN, что для любого е >0 и каждой конечной совокупности С отрезков орбит / существует М-разделенная спецификация S, параметризующая С, разделение которой зависит только от е и которая е-приближается точкой из А и е-приближается орбитами периода qN для всех g (М L(S))/N. [c.581]

Приведите пример такого локально максимального гиперболического множества Л диффеоморфизма / M->Af компактного многообразия М, что NW( f ). [c.582]

Рассмотрим компактное локально максимальное гиперболическое множество Л потока tp. Покажите, что имеется разложение Л = JVW(v) 1a) конечное число непересекающихся топологически транзитивных множеств А . [c.582]

Докажите, что образ любой п-кратной топологической цепи Маркова (определение 1.9.10) под действием сопряжения полного сдвига Оз с множеством Л подковы, рассмотренной в п. 2.5 в, является локально максимальным гиперболическим множеством подковы. [c.584]

Теорема 18.5.1. Пусть М —компактное риманово многообразие, множество U сМ открыто, f U М — диффеоморфизм и Ас U — компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /. Тогда р(/ л) = ор(/1л)- [c.584]

Спектральное разложение (теорема 18.3.1), свойство спецификации (теорема 18.3.9), следствие 6.4.10 и второе утверждение предложения 3.1.7 позволяют нам применить только что доказанное предложение и, таким образом, получить (18.5.1) (для всех п 6 N) для / = л. где Л — локально максимальное топологически перемешивающее гиперболическое множество диффеоморфизма F или, более общим образом, локально максимальное гиперболическое множество, все топологически транзитивные компоненты которого являются топологически перемешивающими. Для произвольного локально максимального множества можно найти такое число N, что отображение обладает последним свойством (из теоремы 18.3.1). Тогда, принимая во внимание третье утверждение предложения 3.1.7, легко видеть, что соотношение (18.5.1) выполнено для такого множества Л при всех neN, кратных N. Таким образом, мы доказали следующее утверждение. [c.587]

Теорема 18.5.6. Пусть А — компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, все топологически транзитивные компоненты которого являются топологически перемешивающими. Тогда существуют такие числа с,, j > О, что соотношение (18.5.1) имеет место для всех п 6 N. Если А —компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, то существует такое число iV 6 N, что соотнош,ение (18.5.1) выполнено для всех п = AiV е N. [c.587]

Лемма 18.6.4. Суш,ествует такое топологически транзитивное компактное локально максимальное гиперболическое множество А отображения /, что к(А) = Т". [c.590]

Доказательство. Если утверждение неверно, то у диффеоморфизма / есть топологически транзитивная компонента, отличная от множества Л, из спектрального разложения, полученного в лемме 18.6.4. Таким образом, для некоторого I существует точка д е 1х Р ) к 1х(/ / )), для которой I является минимальным положительным периодом. Здесь такое же, как выше. Нетрудно видеть, что Л =Лп ( д ) — локально максимальное гиперболическое множество, потому что любая орбита из достаточно малой окрестности отображается под действием к в малую окрестность орбиты д и, следовательно, в силу разделения, в орбиту д. Так как по следствию 3.3.5 неблуждающее множество / д непусто и по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в нем, существует периодическая точка рЕК. По условию I не является периодом р, так что р / р) ф р, в то время как к(р ) = д. Выберем А N так, что / (р) =р. Введем проекцию тг К"—>Т". Если 7г(а)=р, к Ь) — р и 7г(с) = д, то отображения [c.590]

Определение 18.7.1. Пусть Л — компактное локально максимальное гиперболическое множество. Выберем числа е, 5 и отображение [х, у] такими, как в предложению 6.4.13, и пусть г] = г. Тогда множество Л с Л называется прямоугольником, если диаметр К меньше чем 77/Ю и [х, у] 6 Л при условии, что X, у К. Прямоугольник К называется собственным, если [c.593]

Теорема 18.7.3. Компактное локально максимальное гиперболическое множество допускает марковское разбиение произвольно малого диаметра. [c.594]

Теорема 18.7.4. Пусть Л — компактное локально максимальное гиперболическое множество, И = Л,,..., R — разбиение достаточно [c.596]

Предложение 18.7.7. Если А — компактное локально максимальное гиперболическое множество отображения /, то топологическая цепь Маркова ст , полученная в результате кодирования из теоремы 18.7.4, топологически транзитивна (соответственно перемешивающая), если / д топологически транзитивно (соответственно перемешивающее). [c.597]

Предложение 18.7.8. Пусть А — вполне несвязное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма / и М. Тогда / д топологически сопряжено топологической цепи Маркова. [c.597]

Следствие 20.1.4. Если К—локально максимальное гиперболическое множество для отображения / и- М и сужение / д топологически транзитивно, то / д обладает единственной мерой максимальной энтропии. [c.621]

Предложение 20.1.7. Если А — компактное локально максимальное гиперболическое множество для отображения / и М и/ л — топологическое перемешивание, то мера Боуэна / д является перемешивающей. [c.622]

Хотя локально максимальные гиперболические множества являются гладким объектом, но при построении для них символической динамики дифференцируемая структура многообразия М непосредственно ие используется. Эго позволяет аксиоматизировать условия, при которых построение марковского разбнення и символической динамики оказывается возможным для гомеоморфизма метрического компакта (обобщение на случай потоков нетрудно извлечь из работы [БЗ] настоящего сборника, см. также (28]). Эти условия сформулированы ниже в аксиоме А . [c.220]

Следствие 6.4.20. Пусть А —локально максимальное гиперболическое множество от.ображения / II — М. Тогда периодические точки плотны в NW f ). [c.277]

Нетрудно показать, что на самом деле локально максимально, так что для любой окрестности V множества существует такое инв иантное локально максимальное гиперболическое множество Л, что Лц с Л С V. [c.278]

Теорема 18.2.5. Любое компактное локально максимальное гиперболическое множество Л диффеоморфизма / является фактором топологической цепи Маркова. Кроме того, для любого е > О можно выбрать А таким, что образы базисных цилиндров = П С, под действием полусопряжения к —>М имеют диаметр, меньисий чем е, Кор(< л) < Kpif ) + е- [c.573]

Теорема 18.3.1 (спектральное разложение). Пусть М — риманово многообразие, множество IIсМ открыто, / II- М — диффеоморфизм и Аси — компактное локально максимальное гиперболическое множество /. Тогда существуют такие непересекающиеся замкнутые множества Л,,..., и такая перестановка а элементов 1,..т , что [c.575]

Следствие 18.3.2. Если компактное локально максимальное гиперболическое множество А является топологически перемеиливаю-w,UM, то периодические точки плотны в А и неустойчивые многообразия каждой периодической точки плотны в А. [c.576]

Следствие 18.3.4. Пусть А —такое связное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, 4moA = NW f f (или, что равносильно, периодические точки которого плотны в А). Тогда / д — топологическое перемешивание. [c.576]

Заметим, что после сведения к топологически перемешивающему случаю мы использовали только свойство спецификации. Таким образом, мы показали, что для разделяющих отображений со свойством спецификации (определение 18.3.8) топологическая энтропия равна скорости роста числа периодических орбит. Полезно отметить, что, хотя локально максимальные гиперболические множества диффеоморфизмов представляют собой основной пример разделяющих отображений со свойством спецификации, существуют и другие важные классы таких преобразований. Отметим в этой связи транзитивные топологические марковские цепи, а также более общие классы символических систем типа софических систем (см. упражнение 20.1.2). [c.585]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Самое непосредственное следствие этого результата — существование полусопряжения компактного локально максимального гиперболического множества с топологической цепью Маркова. [c.596]

Теорема 19.2.1 (теорема Лившица). Пусть М — риманово многообразие, и сМ — открытое подмножество, / U М — гладкое вложение, Ас С/ — компактное топологически транзитивное локально максимальное гиперболическое множество и А—гёльдерова функция. Предположим, что для каждого такого х Л, что /"(х) = х, мы име- [c.611]

Следствие 19.2.3. Пусть А — компактное локально максимальное гиперболическое множество отображения f и М цЛ = 7УТУ(/(а). Предположим, что функция уз Л— К является гёльдеровой и для каждо- [c.612]

Объединяя полученную характеризацию меры максимальной энтропии с результатами, полученными для марковских разбиений, мы находим асимптотическую оценку экспоненциальной скорости роста числа периодических орбит (см. (3.1.1)) для компактного локально максимального гиперболического множества, основанную на следствии 1.9.12 и предложении 3.2.5, которая гораздо более точна, чем оценка, полученная в теореме 18.5.6. [c.621]

Следствие 20.3.8. Пусть А — топологически транзитивное компактное локально максимальное гиперболическое множество для гладкого вложения f и - М и ip А- Ж — гёльдерова функция. Тогда существует единственное равновесное состояние для функции уз, которое мы обозначим р, . [c.636]

Предложение 20.3.10. Пусть Л — топологически транзитивное компактное локально максимальное гиперболическое множество для гладкого вложения f U M и fp, Л— К —такие гёльдеровы функции, что равновесные состояния и для риф совпадают. Тогда ф x) = p x)- - + h f x)) — h x) для некоторой гёльдеровой функции h. [c.637]

Теперь мы обобщим некоторые широко используемые в теории локально максимальных гиперболических множеств методы для мер с отличными от нуля показателями. Эти технические средства не только важны для приложений, но также задают определенную геометрическую структуру на мерах с отличными от нуля показателями. Мы покажем, как замкнуть возвращающиеся орбиты, приблизить е-псевдоорбиты, построить почти марковские покрытия и определить класс когомологий гёльдеровых коциклов по периодическим данным. [c.673]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...