Задача двух центров

Ясно, что потенциал задачи двух центров может с принятой точностью (до членов порядка (/ // ) ) совпадать с потенциалом объемного тела только в том случае, если коэффициент h у этого тела положителен такое тело должно быть вытянуто. Но в действительности все планеты (кроме разве что некоторых астероидов) сжаты в результате собственного вращения, так что потенциал (7) в качестве приближения для них не пригоден. Зато используется [c.24]

Предельный вариант задачи двух центров и его применение в космической баллистике. Другое применение задачи двух неподвижных центров в современных исследованиях по космической баллистике связано с так называемым предельным вариантом этой задачи считается, что одна из масс бесконечно велика и расположена на бесконечно большом расстоянии от другой массы. Фактически это означает, что к обычному ньютоновскому притяжению добавляется вектор ускорения [c.40]

При п = 1 и п = 2 имеем интегрируемые задачи Кеплера и Эйлера. В задаче Кеплера дополнительным интегралом является интеграл момента, а задача Эйлера интегрируется разделением переменных (в эллиптических координатах). Задача Кеплера вполне интегрируема и в многомерном евклидовом пространстве [220]. Наиболее интересный с точки зрения релятивистской механики случай пространства Минковского рассмотрен в работе [93]. В литературе, по-видимому, не отмечалась полная интегрируемость многомерной задачи двух центров. [c.48]

Эйлерова задача двух центров [c.338]

Замечание 1. Движение частицы в поле одного ньютоновского и одного гуковского центра будет интегрируемым, что является следствием обобщения Лагранжа задачи двух центров, при котором посередине между ними добавляется упругая пружина (оно также справедливо на 3" ). При этом интенсивность одного ньютоновского центра необходимо устремить к нулю. [c.339]

Первые интегралы. Явные алгебраические выражения для первых интегралов задачи двух центров можно получить, используя разделение (11.10), (11.11). [c.340]

Отметим, что выражение для интеграла (11.12), приведенное в [209], неправильно. Неправильный вид дополнительного интеграла указан также для плоской задачи двух центров в книге [141]. Этот интеграл в канонических переменных (р, q) имеет вид [c.341]

Таким образом, для возмущающей функции будем иметь простое выражение, если исходить из задачи двух центров, и после этого варьировать произвольные постоянные этой задачи. [c.534]

Постоянная Су является функцией только i и Остальные члены в (27) суть периодические функции от t]i и tJj, которые легко вычисляются после того как Xi, Xj, у у, у выражаются через 11. 1г. Лх. Лг- Таким образом, возмущающую функцию очень легко получить, после того как координаты задачи двух центров представлены в функциях времени, что необходимо для различных исследований и что до сих пор не было сделано ). Весьма замечательно то, что при использовании этой промежуточной орбиты в пертурбационную функцию не входит величина, обратная расстоянию между возмущающим и возмущаемым телами. Отсюда следует, что задача двух неподвижных центров должна иметь тесную внутреннюю связь с задачей трех тел. [c.534]

Эту задачу можно решить, не прибегая к формуле (1) — зависимости между главными моментами пространственной системы сил, определенными относительно двух центров. [c.190]

Что можно сказать о движении центра масс системы в задаче двух тел (см. 3.11) Тот же вопрос для задачи п тел. [c.439]

Интеграл энергии в задаче двух тел. Кинетическая и потенциальная энергия точки Р в ее движении относительно притягивающего центра О определяются равенствами [c.199]

Пример. Я задаче двух тел. Пусть S — Солнце, Р — планета, О — центр масс Солнца и планеты (рис. 109). Имеет место закон о движении центра масс Солнца и планеты, причем в уравнениях движения центра маос силы взаимодействия сократятся, так как они — внутренние. Ряс. 109 Значит, центр масс О движется равно- [c.146]

Задача двух тел. Рассмотрим Солнце и определенную планету, как две материальные точки, совпадающие с их центрами тяжести. Так как массы остальных тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца, то в первом приближении мы положим их равными нулю. Другими словами, допустим, что солнечная система состоит из Солнца и одной единственной планеты. Мы приходим таким образом к простой задаче двух тел, для которой можно найти все интегралы. В небесной механике исследуется, каким образом, после того как эти интегралы будут вычислены, надо их изменить, чтобы рассчитать действия остальных тел солнечной системы. [c.349]

Вернемся опять к задаче двух тел и вспомним, что планета Р массы т движется относительно осей, имеющих неизменные направления и проведенных через центр S Солнца так, как если бы Солнце было неподвижным, но имело массу, равную своей истинной массе М, увеличенной на т. Планета движется тогда вокруг Солнца как [c.354]

Это относится к трехмерному случаю. В случае двух измерений, например, в астрономической задаче двух тел, имеется только один момент импульса (направленный перпендикулярно к общей плоскости траектории обоих тел) и 2 2 постоянных, содержащихся в законе движения центра тяжести (это движение происходит в плоскости траектории) таким образом, вместе с одной постоянной из закона сохранения энергии имеется [c.107]

Если пренебречь действием на систему Солнце—планета или планета—спутник других небесных тел, то к этой задаче двух тел можно будет отнести также и задачу о движении систем Солнце— планета или планета—спутник, которую мы уже рассмотрели в предыдущем параграфе, приводя ее при помощи соответствующих предположений к случаю движения точки, притягиваемой неподвижным центром. Как мы увидим из последующего изложения, эта новая постановка указанных задач, являясь менее схематичной, чем постановка, изложенная в предыдущем параграфе, приводит к приближению, несколько лучшему, чем то, которое было достигнуто при изучении движения точки, притягиваемой неподвижным относительно звезд центром (или центром, находящимся в прямолинейном и равномерном движении). [c.200]

Движение электрона в поле положительно заряженного ядра можно рассматривать как классическую задачу двух тел. Так как внешние силы равны нулю, то выполняются условия предыдущего примера и движение разделяется на две независимые составные части. Введение внешнего магнитного поля изменяет это положение дел, так как внешняя сила, отнесенная к единице массы, не будет уже одинакова для каждой материальной точки и невозможно будет выразить внешние силы как функции только от радиуса-вектора Я центра масс двух материальных точек. [c.42]

Переменные действие-угол в задаче двух тел. Задача двух тел изучалась в 1 гл. 8. Здесь будут рассмотрены переменные действие-угол в этой задаче. Будем использовать обозначения из 1 гл. 8. Орбиту считаем эллиптической (или, в частности, круговой). Расстояние г точки Р от притягивающего центра О удовлетворяет неравенствам Г1 г Г2, где Г1 = а 1 — е), Г2 = а 1 + е) (а — большая полуось орбиты, е — ее эксцентриситет). Отсюда и из формул 1 гл. 8 следует, что [c.381]

В задаче двух тел (если Вселенную считать состоящей всего из двух частиц) центр масс G движется равномерно и прямолинейно. Если известно движение центра масс G, а также движение Рг относительно G, то можно определить движение Рг в пространстве совершенно так же, разумеется, мо кно определить движение частицы Р . Поскольку точка G движется равномерно, можно воспользоваться ньютоновой системой отсчета (часто так и поступают) центр масс в ней будет находиться в покое. [c.74]

ЗАДАЧА ДВУХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ. [c.23]

О. (-матрицы, родственной О. 5, на простейшем примере задачи двух тел (задачи рассеяния) модифицирует падающую из бесконечности на рассеивающий центр И у = Ф(г) плоскую волну фр(г) в расходящуюся волну [c.415]

Рассмотрим сначала двоякопериодические задачи. С центром Од каждой полости связываем систему декартовых координат, которая выбирается так, чтобы оси Oxi qs при фиксированном ди —oo< s< oo находились на одной прямой. Плоскость, в которой лежат центры полостей, совпадает с координатными плоскостями a i,<)s = 0. Таким образом, центры полостей образуют двумерную решетку с параметрами с, d и у (с—расстояние между центрами двух соседних полостей на оси Oxs, d—расстояние между осями Ox3,qs и Ол з, ,+1,8, Y—угол между линиями центров полостей). [c.202]

Однако Гамильтон и Мёбиус не рассматривали годографы с этой точки зрения (которая, очевидно, имеет более недавнее происхождение) они нашли и использовали замечательные свойства годографов как средство геометрического выражения динамических связей, определяющих траекторию в небесной механике. Интересно отметить математическую сторону вопроса работа Гамильтона опиралась на дифференциальные соотношения,ВТО время как Мёбиус использовал для наглядности отображения метод конечных разностей. В частности, Гамильтон пришел к понятию годографа естественным путем в результате своей классической работы по кватернионам [4]. Как следствие вполне объяснимый энтузиазм Гамильтона по поводу потенциальных возможностей годографов привел его к открытию множества фундаментальных теорем, которые имеют широкое применение в задаче двух тел. Общая теория годографов космических траекторий остается справедливой для движения в присутствии любых произвольно заданных притягивающих центров и для любых ускорений от приложенных сил (например, от силы тяги бортового двигателя или от сил атмосферного сопротивления). [c.41]

Подробное исследование см. С о г Ь е п and S t е h 1 е [3], стр. 258—264 см. также Аппель [2], I, стр. 349—352 G г а т-m е 1 [8], стр. 321 Peres [20], стр. 243, 244. Лагранжево решение задачи двух центров см. Уиттекер [28], стр. 112—114. [c.259]

Примером применения комплексных чисел для описания массы является представление нецентрального гравитационного поля в задаче о движении искусственного спутника [33]. Классическая задача двух центров в небесной механике (Эйлер, Н. Е. Жуковский [38]) в случае комплексных масс двух притягивающих центров принимает обобщённую трактовку. Отметим, что комплексные массы вводятся одновременно для двух точек и используется комплексное пространство в котором для вычисления расстояния принято эрмитово скалярное произведение. Ограничения на комплексные числа выводятся из требования, чтобы силовая функция [c.18]

Такое сведение можно сделать, например, в задаче С. В. Ковалевской, в задаче двух центров, в системах Лиувилля (гл. IX). Приведение системы дифференциальных, уравнений (1) к виду ф1 = LJi, ф2 = UJ2, i 2 = onst, выполненное е 1, фактически является эффективным способом введения переменных угол . [c.171]

В итоге переменные р.1 и Л2, М2 разделяются, поэтому задача двух неподвижных центров интегрируема. Лагранж показал, что интегрируемость сохранится, если на точку будет дополнительно действовать упругая сила, направленная на середину отрезка, соединяющего притягивающие центры. Качественное исследование задачи двух центров можно найти в книге Шарлье [173]. Отметим еще, что гамильтониан (7.10) (с учетом формулы (7.11)) имеет вид гамильтониана лиувиллевой системы (7.5). [c.103]

Если в плоском случае возможно получить явное решение задачи двух центров с помощью эллиптических функций, то для задачи в искривленном пространстве такое решение непосредственно получить не удается. Качественное исследование задачи двух центров в плоском случае имеется в трактате Шарлье [182], в пространственном — в [1], для искривленного пространства соответствующие исследования проведены в [118]. [c.340]

В итоге переменные Я-ь щ и Лг, цг разделяются и, согласно предложению 5, задача двух неподвижных центров интегрируема. Лагранж показал, что интегрируемость сохранится, если иа точку будет дополнительно действовать упругая сила, направленная на середину отрезка, соединяющего притягивающие центры. Качественное исследование задачи двух центров можно найти в книге Шарлье [24]. [c.143]

В небесной механике задача о движении двух материгипьных точек под действием сил всемирного тяготения называется задачей двух тел. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. В задаче двух тел относительное движение точек описывается уравнением движения, справедливым для одной материальной точки в поле центргичьной ньютонианской силы (теорема 3.11.2), когда в неподвижном центре помещена притягивающая масса, равная сумме масс взаимодействующих тел. [c.258]

При рассмотрении задачи двух тел необходимо перейти в систему коор-динал, связанную с центром масс. Все вычисления сохраняют силу, только при этом массу электрона т надо заменить приведенной массой ц [c.90]

В краевых задачах теории упругости границы тела обычно задаются. Однако центр дислокации в кристалле мои<ет перемещаться по нему, подобно тому, как внутренняя граница круга (г=а) может переноситься, тогда как внешняя (г = Ь), остается неподвижной. Если одновременно существуют две дислокации, одна положительная (т. е. с положительным б), а другая отрицательная (т. е. с отрицательным б), то пока их центры раздельны, сущес твует результирующая полная энергия деформации. Если же эти центры совпадают, то обе дислокации аннулируют друг друга. В этом случае не возникают ни напряжения, ни деформации не происходит и изменения энергии. Очевидно, сближение двух центров [c.259]

Введем дальнейшее упрощение в задачу, предполагая, что движение отдаленной точки Р известно с этой целью ограничимся наиболее замечательным случаем, в котором движение точки Р можно строго или, по KpaflHefr мере, приближенно рассматривать так, как если бы эта точка притягивалась только одной Землей. Тогда, если имеются в виду отдаленные тела, мы приходим к задаче двух тел, одно из которых есть точка Р, а другое — Земля, масса которой предполагается сосредоточенной в центре тяжести О в пп. 4 и 21 гл, 111 мы видели, что при таких условиях всегда возможны круговые движения (частный случай так называемого кеплерова движения), угловая скорость которых п связана с радиусом орбиты соотношением [c.321]

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = Q. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеюш ими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы и m2 планет малы по сравнению с массой М Солнца, так что членами третьего порядка относительно mjM и m lM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (М), планеты (т) и ее спутника ( i), то отношения тп1М и [i/M всегда малы и, кроме того, [i/m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости ml М. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60). [c.562]

Т. е. задача двух тел сводится к уже рассмотренной задаче Кеплера. Всюду дальше N>-3- система координат связана с центром масс, который движется равномерно и прямолинейно (поскольку Р = onst). Иначе говоря, мы считаем, что [c.193]

Рис. 25. Классическая задача двух тел. Рассматривается система из двух материальных точек, притягивающихся по закону обратных квадратов силы притяжения равны (по модулю) и направлены от точки к точке выполняется третий закон Ньютона. Система замкнута и, более того, галилеево инвариантна. Использование интегралов движения позволяет описать орбиты точек относительно центра масс или относительно друг друга (в системах координат с невра-щающимися осями) точки движутся по коническим сечениям

Рассматривая процессы рассеяния, мы предполагали до сих пор, что рассеиваюпдай центр неподвижен. В реальных экспериментах по рассеянию происходит рассеяние одной частицы на другой. В этом случае мы сталкиваемся с ситуацией, подобной той, какая рассматривалась несколько раньше в этом же параграфе речь идет о задаче двух частиц, взаимодействующих между собой. Мы видели там, что относительное движение частиц выглядит так, как если бы центр масс всей системы покоился, а частица, масса которой равна приведенной массе, двигалась бы в силовом поле, порождаемом тем самым потенциалом, из которого получались силы, действующие между частицами. [c.32]

Предполагалось, что задачи контроля качества также будут включены в систему сбора данных о надежности OFE . Если масштабы организации и уровень деятельности оправдывают это, то рекомендуется создать отдельный центр для сбора данных по контролю качества. Чтобы установить четкую границу между областями ответственности двух центров, можно условно принять, что внутренние производственные операции будут рассматриваться как дея тельность, аналогичная деятельности поставщика. Все проблемы, [c.153]

В ньютоновской теории тяготения чисто Г. з. в задаче двух тел невозможен. Частица, прилетающая нз бесконечности, имеет неотрицат. иолную энергию, движется относительно тнготею1цего центра по параболе или гиперболе и скова улетает в бесконечность. [c.529]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...