Граничные дуги траекторий

Лемма 3. Если какая-нибудь отличная от угловой точка граничной дуги траектории или угловой дуги является граничной точкой некоторой ячейки, то и все точки этой дуги являются граничными для той же ячейки. [c.288]

Замечание 1. Пусть угловая точка В является со-концом граничной дуги траектории I и концом элементарной дуги без контакта X. Легко видеть, что если X является со-дугой, то X и область 6 лежат но [c.470]

Лемма 13. Пусть конец простой а-дуги а является концом граничной или угловой дуги 1(, или угловой полутраектории Ь, причем дуга а лежит по положительную сторону о или соответственно Тогда либо ш-конец дуги о или соответственно точка полутраектории является концом сопряженной с а дуги Ь, лежащей по положительную сторону о ( о), или циклической, либо в случае дуги 1о существует начинающаяся с /о конечная цепочка из чередующихся угловых и граничных дуг траекторий 1о, 1, 21 -I й-1 таких, что [c.475]

Лемма 6. Все точки угловой дуги и угловой траектории, а также все точки орбитно-неустойчивой полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта, могут быть граничными не более, чем для двух ячеек. [c.289]

Доказательство. Покажем сначала, что угловая дуга, угловая полутраектория и орбитно-неустойчивая полутраектория, пересекающая граничную дугу, не могут быть предельными для траектории, целиком лежащей в С, отличной от той, пз которой они выделены. Для угловой дуги и угловой полутраектории это непосредственно вытекает из определения нормальной границы (см. условие 3)). [c.289]

Лемма 13. а) Вокруг каждой точки неособой целой дуги траектории А, отличной от концов этой дуги., существует окрестность, через все точки которой проходят неособые целые дуги траекторий, пересекающие те же граничные дуги без контакта, что и дуга Л. б) Вокруг каждой точки неособой полутраектории Ь+, конец которой лежит на граничной дуге или цикле) без контакта, существует окрестность, через которую проходят неособые положительные полутраектории, концы которых лежат на той же дуге или цикле) без контакта, что и конец полутраектории (Такое же утверждение справедливо и для отрицательной полутраектории.) [c.296]

Определение XXX. Мы скажем, что задана схема (или полная схема) граничной кривой Гу, если 1) указано, является ли она внешней или внутренней граничной кривой области С т. е. наверху у нее помечен знак -г или —) 2) указано, является ли кривая Г - циклом без контакта, замкнутой траекторией или состоит из дуг траекторий и дуг без контакта 3) если кривая Г - — цикл без контакта, то указано, [c.449]

Если дана произвольная седловая область g , то всегда мои но указать такую седловую область g , являющуюся частью области g , что граничная для ее дуга траектории е является дугой особой траектории или полутраектории. [c.457]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

Доказательство. Для доказательства предположим противное, т. е. предположим, что сопряженные циклы С и С лежат один вне другого. Каждый из цикла С is. С либо является граничной кривой Г, либо не является ею. Если какой-либо из циклов С и С но является граничной кривой Г, то все его точки в силу того, что он свободный, принадлежат одной и той же ячейке w. В зтом случае внутри такого цикла непременно должен лежать граничный для ячейки w континуум. Пусть какой-нибудь из циклов С и С, например С, является граничной кривой Г. Тогда точки области G лежат либо только внутри цикла С, либо тол о вне С. Но цикл С сопряжен с циклом С, лежащим вне пего, т. е. дуги траекторий, принадлежащие области G, соединяют точку цикла С с точками, лежащими вне него, цикла С. Отсюда очевидно, что точки области G лежат вне цикла С, а так как цикл С является свободным, то все течки, лежащие вне него и в достаточно малой его окрестности, принадлежат одной и той же ячейке го. В этом случае сам цикл С является граничным континуумом ячейки ги. В обоих рассмотренных случаях все [c.463]

Лемма 9. Каждый из концов граничной дуги I траектории является концом в точности одной элементарной дуги, именно, концом нециклической граничной со- или а-дуги. Внутренние точки дуги I не являются концами со- или а-дуг. [c.469]

Рассмотрим теперь случай, когда конец одной из сопряженных дуг а и Ь, именно, простой а-дуги а, является концом граничной угловой дуги траектории или концом угловой полутраектории. [c.474]

Траектории, дуги без контакта, дуги траекторий и циклы без контакта, входящие в границу, будем называть граничными траекториями, граничными дугами траектори , граничными дугами без 1 0нтакта и граш1Ч-пыми циклами без контакта. [c.286]

Общую точку граничной дуги без контакта и граничной дуги траектории мы называ.ли угловой точкой границы, а дугу траекторни или полутраектории, имеющую своим концом угловую точку и [c.447]

Сохраняя прежние обозначения для угловых полутраекторий и но-угловых особых полутраекторий соответствехшо и Ь , будем обозначать граничные дуги траекторий через lq, грапичпые дуги без контакта через kq и угловые дуги — через /р, а граничную целую траекторию через Ьо. Будем замкнутую кривую Г, граничную для С, обозначать через Г+ [c.447]

ИЛИ Г" В зависимости от того, лежит ли область С внутри пли вне ее. Граничную дугу траектории входящую в какую-то граничную кривую Г, будем обозначать через 1 , если нанравление по I на этой дуге совпадает с направлением, индуцированным положительным обходом кривой Г, и через 1 в противном случае. Конец граничной дуги соответствующий наибольшему значению параметра I, будем называть ш-кон-цом этой дуги и обозначать через М , а конец соответствующий наименьшему значению I, будем называть а-концом и обозначать через Л/ . Будем также угловую точку, являющуюся концом положительной угловой полутраекторпи, называть се а-концом, а конец отрицательной угловой полутраекторип— ее ш-концом. [c.448]

Очевидно, внутренняя угловая точка М, являющаяся ы (и)-коицом граничной дуги /, является в то же время а (сз)-концом углово11 ду1 и илп угловой траектории (также принадлежащей траектории Ь). Мы будем называть такую угловую дугу или полутраекторию сз (а)-продолженисм граничной дуги траектории Ь. В свою очередь граничную дугу I мы будем называть а (ш)-продолжением указанной угловой дуги или полутраектории. Таким образом, каждая угловая точка М является либо ы- или а-виешней, либо сз- или а-внутренней. [c.448]

Для угловых точек границы мы сохраним введеипые в 26, н. 1 обозначения. Именно, угловую точку, являющуюся <о (а)-концом граничной дуги траектории I, мы будем обозначать через М (Л/ ), совокупность угловых точек мы будем обозначать через М). [c.481]

Ог) = 01, 0 (Li) = И Т. Д. Из самого определения тождествениостп схем динамических систем В и В следует, что соответствие между особыми элементами этих систем порождает взаимно однозначное соответствие 1) между со-, а- и О-предельными континуумами этих систем, составленными из соответствующих друг другу по схеме особых элементов, а также между простыми замкнутыми кривыми 81, из которых оти континуумы составлены 2) между граничными кривыми, составленными из соответствующих друг другу по схеме граничных дуг траекторий и дуг без контакта, а также являющихся соотвегствующими друг другу по схеме граничными циклами без контакта. [c.485]

Рассмотрим дугу траектории с концами, являющимися точками граничных дуг без контакта, у которой все отличные от концов точки принадлежат области а. Такая дуга называется угловой дугой, если хотя бы один из ее концов является угловой точкой границы (см. дугу ЛМ на рис. 173) и целой пеособой дугой, если ни один из ее концов, являю- [c.286]

Приведем еще одну лемму, касающуюся неособых пелых дуг, т. е. дуг траекторий, концы которых лежат на граничных дугах без контакта, причем не являются угловыми точками границы, а все отличные от концов точки принадлежат области С (см. 16, п. 1), и неособых полутраекторий, концы которых лежат на граничной дуге (или цикле) без контакта. Справедливость этой леммы непосредственно следует из леммы 5 3. [c.296]

Теорема 46. Если внутри какой-нибудь ячейки существует неособый элемент, являющийся целой траекторией (или полутраекторией, пересекающей граничную дугу без контакта, или дугой траектории, коицы которой лежат на граничных дугах или циклах без контакта), то все пеособые элементы этой ячейки также являются целыми траекториями или соответственно полутраекториями, пересекающими граничную дугу [c.299]

Доказательство. Предположим противное, т. е. что внутри какой-нибудь ячейки, содержащей целую (неособую) траекторию Ь, существует пеособый элемент другого характера, например, неособая полутраекторияпересекающая грапичпую дугу без коптакта. Соединим какую-нибудь точку А траектории Ь и какую-нибудь точку В полутраектории простой дугой %, це.чиком лежащей внутри рассматриваемой ячейки. На дуге Я существуют точки двух типов через точки первого типа проходят целые неособые траектории, через точки второго типа целые траектории пе проходят и, следовательно, проходят неособые полутраектории, пересекающие граничную дугу без контакта (или дуги траектории, пересекающие граничную дугу). [c.300]

В силу лемм 8, 11, 12 точками первого типа заведомо являются все достаточно близкие к точке А точки дуги %, а точками второго типа — все достаточно близкие к точке В точки дуги Я. Двигаясь по дуге к от точки А к точке В, мы переходим от точек первого типа к точкам второго типа. Следовательно, на дуге к должна существовать некоторая точка С, являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой второго типа. Но последней точки первого типа (т. е. последней точки, через которую проходит неособая це.чая траектория) в силу лемм 8, 11 и 12 существовать не может. Следовательно, точка С является первой точкой второго типа. Через эту точку проходит неособый элемент, по являющийся целой траекторией, т. е. либо по.чутраектория, пересекающая граничную дугу без коптакта, либо дуга траектории, концы которой лежат па граничных дугах без контакта. Но в обоих этих случаях в силу леммы 13 точка С не может быть на дуге к первой точкой второго типа. Следовательно, все неособые элементы рассматриваемой ячейки являются целыми траекториями. Совершенно такое же рассуждеш1е справедливо также в случае, когда в данной ячейке существует полутраектория или дуга траектории, пересекающая граничную дугу без контакта. Теорема доказана. [c.300]

Замечание. Из доказанной теоремы и замечания к лемме 13 вытекает, что среди граничных точек ячейки, заполпецпоп целыми траекториями, заведомо не могут быть точки граничных дуг без контакта, не являющиеся угловыми точками. [c.300]

Принимая во внимание лемму 8, нетрудно видеть, что граница ячейки, заполненной целыми траекториями, либо состоит из целых орбитнонеустойчивых траекторий, целиком лежащих в области С, либо является замкнутой траекторией (орбитно-устойчивой), образующей один из граничных континуумов области С, либо является замкнутой траекторией, состоящей из угловых и граничных дуг (см., например, рис. 180, а, б и в). [c.304]

Рассмотрим часть граничной дуги без контакта с концами, принадлежащими угловым дугам или особым полутраекториям, у которой все точки кроме концов принадлежат неособым дугам или неособым полутраекториям. Будем называть такую часть граничной дуги особой со-дугой или особой а-дугой, в зависимости от того, выходят ли из области G все пересекающие ее полутраекторип или дуги траекторий при возрастании или убывании t. [c.313]

Нетрудно видеть, что в этом случае 0-предельный континуум либо является замкнутой (орбитно-устойчивой) траекторией, составляющей один из граничных для области С континуумов, либо является одной замкнутой (орбитно-устойчивой) траекторией (целхшом лежащей в О ), состоящей 113 граничных и угловых дуг. В первом случае со-перечисление такого 0-предельного континуума заключается в указании замкнутой траектории о во втором случае со-иеречислением континуума будем называть перечисление в ш-направлении (т. е. в направлении возрастания 1) входящих в него угловых и граничных дуг, так что в этом случае со-не-речисление имеет вид [c.422]

Пусть теперь К и К 0-предельные коитипуу.мьг, в состав которых не входят угловые и граничные дуги, а у и у их канонические окрестности, в границы которых входят соответственно замкнутые траектории Ь а Ь. [c.431]

Пусть М — угловая точка, являющаяся концом граничной дугп I траектории Ь. Предположим, что дуга I есть дуга траектории Ь областц О и что точка М соответствует значению 0 параметра 1 (при выбранном на Ь движении). Предположим также для определенности, что М является сз-концом дуги I. Легко видеть, что могут представиться только две возможности. [c.448]

Рассмотрим дугу без контакта Я. Все траектории, проходящие через внутренние точки дуги Я при возрастании I либо выходят из области С, либо все они входят в область С. В первом случае мы будем назшзать А положительной граничной дугой без контакта, во втором — отрицательной граничной дугой без контакта. Аналогично онределяется поло-жителъный граничный и оуприцателъный граничный цикл без контакта. [c.448]

Замечаиие 1. Первая из таблиц, описывающая схему граничной кривой, т. е. таблица (1), позволяет определить, какие из дуг без контакта Я являются положительными и какие отрицательными дугами без контакта. Дехгетвительно, пусть Я — одна из этих дуг, — угловая точка, являющаяся общим концом дуг Я и д. Если точка МУ входит в запись вида (1), то она является внутренней угловой точкой, если нет — то внешней. Кроме того, относительно точки указывается, является ли она ю- или а-концом дуги траектории /. Таким образом, если задана локальная схема, то относительно всякой угловой точки известно, является ли она ш- или а-внутренней или со- или а-внешне11. А тогда лемма 1 позволяет заключить, является дуга без контакта положительной или отрицательной дугой без коптакта. [c.450]

Доказательство. Докажем сначала, что условие а) всегда может быть выполнено. По определенгпо нормальной гранщы входящие в нее дуги траекторий, а следовательно, и их продолн ения — угловые дуги не могут принадлежать орбитно-неустойчивым траекториям или полутраекториям, целиком лежащим в С. На границе не лежит, в частности, ни одно состояние равновесия. Множество Е, состоящее пз точек, принадлежащих граничным и угловым дугам, очевидно, является замкнутым множеством. Любое состояние равновесия 0 находится, следовательно, на ненулевом расстоянии от него, и всякая каноническая окрестность, содержащаяся в достаточно малой 11 (О,), очевидно, не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Лемма 3. а) Всякие два сопряженных со- и а-предельных континуума являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной целыми траекториями, б) со а)-пределъный континуум и сопряженный с ним граничный цикл без контакта являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной полутраекториями. в) Два сопряженных граничных цикла без контакта являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной дугами траекторий. [c.465]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

Лемма 14. Пусть через конец прострой а-дуги а, не являющейся граничной, проходит, угловая полутраектория Ь , причем дуга а лежит по положительную сторону L . Тогда либо конец угловой полутраектории 0 является концом сопряженной с а дуги Ь, являющейся граничной дугой и лежащей по положительную сторону L , либо существует послебова-тельность из чередующихся граничных и угловых дуг траекторий Iq, [c.476]

R), и, кроме того, сущестеует либо еще одна граничная или угловая дуга траектории 1ц, являющаяся ( -продолжением дуги Ir-i, которая сама уже не имеет продолжения, либо угловая полутраектория Ьи, являющаяся продолжением дуги 1и-й 2) все элементарные дуги, отличные от дуг а и Ь, имеющие своими концами концы дуг Iq, li,. . ., lu-i, не являются циклическими и расположены с отрицательной стороны этих дуг 3) если ( -продолжение дуги lu-i — граничная или угловая дуга 1и, то ее оа-конец является концом сопряженной с а ( -дуги Ь, являющейся граничной ( -дугой, либо лежащей по положительную сторону 1и, либо циклической. [c.476]

Лемма 18. Множеспгво Пц(, есть область, граница которой состоит из точек сопряженных дуг а и Ь и точек цепочки, соединяющих концы этих дуг. При этом каждая цепочка, соединяющая концы рассматриваемых дуг а и Ь, может состоять либо из точек орбитно-неустойчивых траекторий или полутраекторий (е частности, одной орбитно-неустойчивой траектории) (см. лемму 12), либо из граничных и угловых дуг траекторий и угловых полутраекторий (см. леммы 13, 14 и 15), либо из дуги траектории, образующей петлю. [c.479]

Покажем, что кроме точек у области П ь больше нот других граничных точек. Предположтш, что существует граничная для области Пц , точка В, не принадлежащая множеству Гд(, и находящаяся, следовательно, на отличном от нуля расстоянии д. (й > 0) от точек множества Г г, (Г ь — очевидно, замкнутое множество). Так как В — граничная для области ПоЕ, точка, то существует последовательность точек этой области ( , стремящаяся к точке В. Каждая точка Qi ио самому оиределению области Паь принадлежит некоторой дуге траектории заключенной между дугами а и Обозначим через У ,- конец дуги являющийся точкой дуги а. Без ограничения общности можно предпо-тюжить. [c.479]

Полностью аналогичное утверждение справедливо также и относительно других соответствующих друг другу по схеме особых элементов, точки которых являются концами элементарных и седловых дуг, т. е. относительно орбитно-неустойчивых полутраекторий 1 и = 0 (W), с концом на границе областей G и G . угловых иолутраек-торий W и — 0 (L - ), граничных и угловых дуг траекторий / и Z = 0 (I), I и = в (2), а также относительно соответствующих друг другу по схеме эллиптических дуг. В сплу леммы 17 28 один конец всякой эллиптической дуги всегда является концом а-дуги, а другой концом м-дуги. [c.488]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...