Орбита эйлерова

В случае параболической орбиты к равно нулю (п. 227). Тогда получается формула, установленная Эйлером, но часто несправедливо приписываемая Ламберту. В этом случае [c.488]

Аналогично, Ji = Je + Jкинетическому моменту. Поэтому будет некоторым фиксированным углом в плоскости орбиты, таким, как, например, угол между перигелием и линией узлов. Следует заметить также, что отношение /7- 2 должно равняться косинусу угла между осью z и вектором кинетического момента. Таким образом, величины w, wi и /1//2, в сущности, являются углами Эйлера, определяющими ориентацию орбиты в пространстве. [c.334]

Области инвариантные 439 Орбиты периодические 602—627 Ориентация твердого тела, углы Эйлера и углы ф1, ф2, фз 117 Осциллятор в среде с сопротивлением 362 [c.634]

Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при изучении движения тел Солнечной системы и прежде всего Луны. Основанные на законе тяготения расчеты Клеро (1713—1765) и Даламбера, произведенные в 1745 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет, величину, вдвое превосходившую данные наблюдений. Многие ученые полагали, что закон тяготения Ньютона нуждается в поправке так думали, в частности, Клеро и Эйлер. Некоторое время спустя, однако, Клеро пришел к заключению, что причиной расхождения теории с наблюдениями является не ошибочность закона Ньютона, а недостаточная точность применявшегося метода вычислений, при которых ограничивались первым приближением. Второе приближение уже давало результаты, согласные с наблюденными. В 1749 г. Клеро сообщил об этом Эйлеру. Для окончательного решения вопроса Эйлер, в то время живший в Берлине, рекомендовал Петербургской академии паук объявить конкурс на тему Согласуются или же нет все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона Предложение Эйлера было принято, и он вошел в состав жюри. В 1751 г. премия, на основании отзыва Эйлера, вполне убежденного вычислениями Клеро, была присуждена этому французскому ученому. Его Теория Луны, выведенная из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний была издана на французском языке Петербургской академией наук (1752). [c.189]

Равенства (4.40). . . (4.42) образуют исходную систему уравнений в оскулирующих элементах, описывающих возмущенное движение спутника с произвольным эллипсоидом инерции с учетом эволюции орбиты. Эта система несколько сложнее уравнений Эйлера, но она позволяет использовать приближенные методы исследования, а вместе с этим достаточно точно характеризовать качественную и количественную картины движения спутника относительно центра масс при наличии возмущающих моментов. [c.99]

Данный подход Бесселя обсуждался во второй половине XIX века в связи с вопросами теории движения комет. К нему не раз обращался и известный русский астроном Ф.А. Бредихин, который указывал на основные существовавшие тогда гипотезы, объяснявшие возмущения в движении комет сопротивлением среды (Ньютон, Эйлер, Лаплас) и реактивным действием истекающего из комет вещества (Бессель). Бредихин отмечал наличие влияния реакции истечения кометного вещества на элементы ее орбиты, но полагал эти возмущения малыми и не выделяемыми из других возмущений. [c.40]

Замечание 3. Формула, аналогичная формуле Ламберта, была найдена для случая параболической орбиты Ньютоном (1687 г.) и, независимо от него, Эйлером (1743 г.). Согласно формуле Ньютона — Эйлера время перелета [c.128]

При заданных начальных данных Го, Уо описание центральных движений проще проводить относительно системы координат = (61,62,63), орт ёз которой одинаково направлен с вектором с, а орт ё лежит в плоскости векторов б1 и б2 исходного репера Е. При этом угол между ех и ёх обозначают О и называют долготой восходящего узла орбиты, а угол между ортами 63 и ёз обозначают / и называют наклонением орбиты. При этом так же, как при введении углов Эйлера, нетрудно показать (рис. 102), что матрица А пре- [c.272]

Формула Эйлера. Эта формула для Ai в случае Н = 0. Имеется проблема многозначности, те такая серьезная, как для отрицательных значений Н параболические орбиты не замкнуты, так что достаточно знать орбиту, чтобы узнать дугу. Мы установим формулу Эйлера, непосредственно используя уже проведенные вычисления, а затем [c.49]

В пределе при а -> оо мы получим так называемое уравнение Эйлера для параболической орбиты [c.265]

Уравнение (3.2.30), используемое при определении гелиоцентрических положений в случае параболической орбиты (см. 2.04), представляет собой некоторый аналог уравнения Эйлера. [c.265]

Поэтому / 1, 2 = 0. и интегралы , N1, А) уравнения Эйлера находятся в инволюции на каждой орбите Од,. В работах [176, 177] Мищенко и Фоменко доказали независимость интегралов а, (/И, Л) на орбитах Од,, содержащих почти все М, обобщили систему интегралов и доказали интегрируемость в квадратурах уравнений движения обобщенного твердого тела с пространством угловых скоростей — полупростой алгеброй Ли. [c.311]

Это уравнение замечательно тем, что оно не содержит д. Оно было открыто Эйлером и носит его имя. В некоторых методах определения элементов параболической орбиты из геоцентрических наблюдений оно имеет первостепенное значение. [c.147]

В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.). в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси д и у которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью и. Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования ), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна ), который закончил построение теории Луны н составил соответствующие таблицы З). используемые с 1923 г. в ежегодниках. [c.378]

Считая на первом этапе сферы действия планет бесконечно малыми, определяют параметры межпланетной орбиты в сфере действия Солнца. Для этого используют хорошо разработанные методы определения орбит, например метод Ламберта—Эйлера, ф Определив параметры орбиты, вычисляют гелиоцентрические скорости КА в момент отлета с орбиты планеты старта и в момент прилета к планете назначения. [c.122]

Определение орбиты по двум фиксированным положениям методом Ламберта—Эйлера [c.142]

Эйлера углы 225 Эйнштейн 10 Эйнштейновы орбиты 183 Электромагнитное ноле (статическое) 168 [c.432]

Из всего, что мы сказали, следует, что принцип минимальности действия имеет место в большом числе явлений природы, что среди них есть такие, как преломление и орбиты планет, к которым он прилагается с большой легкостью, и многие другие случаи, рассмотренные г. Эйлером (см. Мет. A ad. Berlin, 1751, и статья A tion ), что этот принцип прилагается ко многим другим случаям с некоторыми изменениями, более или менее произвольными, но что он всегда сам по себе полезен для механики и мог бы облегчить разрешение некоторых проблем. [c.114]

T0 есть TO значение W, дифференцирование которого дает замечательные формулы для эллинтического движения, открытые Эйлером и Ламбертом и использованные Олъберсом и Гауссом при определении олементов орбиты. Система первых интегральных уравнений дается формулами [c.170]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

Известным примером применения углов Эйлера в астрономии являются углы Д, определяющие положение плоскости орбиты и угол (О, служащий для задания направления некоторой отечетной оси в этой плоскости (рис. 5). Первый из этих углов, представляет долготу восходящего узла N планеты, он играет роль прецессии угол /, определяющий наклон плоскости орбиты к отечетной неподвижной плоскости 0 7], является углом нутации. Угол О) представляет чистое вращение и, если упомянутая отечетная ось направлена к перигею планеты П (ближайшая точка орбиты к притягивающему центру О), то О) является угловым расстоянием перигея от восходящего узла. [c.47]

Одним из таких путей оказалось использование классической задачи двух неподвижных центров, связь которой с задачей о движении в поле земного притяжения была установлена в конце 50-х годов одновременно в СССР и в США. Было показано, что потенциал Земли может быть приведен надлежащим выбором некоторых параметров к потенциалу двух неподвижных центров, имеющих комплексные массы и разделенных комплексным расстоянием. Так как задача двух неподвижных центров полностью проинтегрирована еще Эйлером, появилась возможность применить известные классические формулы к новой, более общей задаче, и тем самым построить стройную аналитическую теорию, дающую промежуточную орбиту искусственных спутников Земли, более близкую к действительной их орбите, чем ббычный кеплеров эллипс. [c.359]

Обозначая через К os q тот член, который с аргументом q войдет в выражение х и через Nsinq — тот, который войдет в выражение для у Эйлер в 90 указывает, что К должно представлять эксцентриситет орбиты Луны, величина которого хотя и известна из наблюдений, но по сути дела представляет произвольную постоянную. В 92 и 93 он показывает, каким образом неизвестная п могла бы быть определена подставив величины [c.192]

Отсюда видно, что Эйлер с полною ясностью сознавал, ч о характеристическое уравнение, соответствующее линейной системе с постоянными коэффициентами, получаемой отбрасывая в данных уравнениях вое нелинейные члены и члены с переменными коэффициентами при неизвестных, не может доставить среднего движения перигея, а что оно определяется весьма сложным уравнением, заменяющим характеристиче-скоо, и что это среднее движение зависит от величины эксцентрисжтета орбиты. [c.193]

Теорема 3. Орбиты конрисоединенного представления группыв дуальномк алгебре пространстве являются инвариантными многообразиями для потока в этом пространстве, заданного уравнением Эйлера. [c.292]

Пр и м е р. В случае обычного твердого тела орбиты копри-соединенного представления группы в пространстве моментов — это сферы М1 -Ь -Ь == onst. В этом случае теорема 3 превращается в закон сохранения квадрата момента. Она состоит в том, что если начальная точка Мс лежит на какой-либо орбите (т. е. в данном случае на сфере ЛР = onst), то и все точки ее траектории под действием уравнения Эйлера лежат на той же орбите. [c.292]

Это уравнение мы будем называть уравнением Эйлера для угловой скорости. Заметим, что орбиты конрисоединенного представления под действием оператора А переходят в инвариантные многообразия уравнения Эйлера для углювой скорости эти многообразия имеют симплектическую структуру и т. д. Однако, в отличие от орбит в д,, зти инвариантные лшогооб-разия не определяются самой группой Ли С, но зависят также и от выбора твердого тела (т. е. оператора инерции). [c.293]

ПОСТОЯННЫ на Ом (в отличие от интегралов tr (Ai )) и функционально независимы на Ом (см. [175]). Орбита Ом задается значениями интегралов tr(M ). Из предложенной Манаковым в [165] записи уравнения Эйлера в виде уравнения с независимым комплексным параметром g [c.308]

Симплектическая структура на орбитах, инволю-тивность интегралов и полная интегрируемость системы Эйлера. Любой касательный к орбите Од в точке М вектор I представим в виде = [М, а] для некоторой кососимметрической матрицы ос. На 0 есть симплектическая структура, задаваемая невырожденной замкнутой два-фор-мой (0(11, у. Форма (0( 1, У = —1г(М-[а1, а ]), где = = [М, осу], и задаваемая ей симплектическая структура были впервые использованы Кирилловым в теории представлений нильпотентных групп Ли. На пространстве кососимметрических матриц 0 (п) определено невырожденное скаля рноеХпроизведение (а, Р) = —1г(ос-Р). Значение формы (0(11, У = ( М, К, а]) = (11, аа) = —(5а, 1), где у = [М, ау], не зависит от произвола в выборе а,- по заданным 5у. Так как [а , 2] = —[а , а,], то о)( ,, У =--= —(0( 2, 11). Форма (О невырождена, так как для любого О существует такое, что 2) О, и [c.309]

Почти для любого М число интегралов a системы Эйлера, независимых при ограничении на орбиту Од,, равно половине размерности Од,. Так как интегралы а,, находятся в инволюции, то уравнение Эйлера (по теореме Лиувилля) есть вполне интегрируемая гамильторюва система на орбите Од,. [c.311]

Запись уравнения Эйлера (12) в виде (13) была предложена Манаковым [165], который заметил, что уравнения (12) получаются как частный случай рассмотренных Дубровиным систем (8) при ЛГ= 1, В = А. Из записи (13) уравнения (12) вытекает существование набора интегралов движения (см. 1) и полная интегрируемость уравнений движения п-мерного твердого тела, являющихся гамильтоновой системой на орбитах коприсоеди-ненного представления ортогональной группы SO(n) (см. 1). Из формул для интегралов движения а,, пока не удалось получить явные формулы для траекто зий системы (12). Дубровин получил явные формулы для траекторий общего вида системы (8), и, в частности, для траекторий уравнения Эйлера (12) (см. [108]). Вопрос о том, как выделить из полученных рмул для траекторий системы (12) формулы, отвечакнцие движениям п-мерного твердого тела (т. е. вещественным кососимметрическим М, Q), остается открытым. [c.335]

В последнее время в связи с интенсивным изучением и освоением космического пространства значительно возрос интерес к знаменитой классической задаче трех тел (точек), движущихся под действием их взаимного гравитационного притяжения. Так как эта задача в общем виде неинтегрируема, то большой интерес престав-ляет изучение ее частных решений. В 1767 году Л. Эйлер [124] обратил внимание на то, что задача трех тел имеет три частных решения, для которых гравигирующие точки во все время движения расположены на одной прямой. Через пять лет, в 1772 г., Ж. Лагранж показал [148], что существуют еще два частных решения, соответствующие таким движениям, для которых три тела образуют равносторонний треугольник. Для пяти этих частных решений притягивающие тела движутся по подобным орбитам относительно своего барицентра, образуя во все время движения неизменную конфигурацию. [c.9]

Эвекция 376 Эддингтон 317 Эйлер 378 Эклиптика 24, 132 Эксцентриситет Ш Эксцентрическая апомалня 30 Эксцентрические переменимте 231 Элементы эллиптической орбиты 28 Эллиптические интегралы 146, 298, 314 [c.493]

В курсах иебесиой механики такую задачу решают с помощью хорошо разработанных методов, наибслее распространенным из которых является метод Ламберта—Эйлера. Существо и подробности применения метода будут изложены ниже (см. разд. II). Здесь же отметим, что с его помощью определяют, прежде всего, такие элементы орбиты перелета, как большая полуось а и эксцентриситет е. [c.123]

На основе использования уравнения Ламберта—Эйлера находят большую полуось а и эксцентриситет е орбиты, что является более простой вычислительной операцией по сравнетию с методом Гаусса (см. 5,4). [c.144]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...