283 — Уравнения Формы собственные

Функция ф (j ), устанавливающая закон распределения максимальных амплитудных отклонений точек оси стержня, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня, как известно, бесконечное множество, и каждой из них соответствует определенное значение частоты (И, которая называется собственной частотой. Эти частоты и соответствующие им собственные формы определяют с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи. [c.573]

Система дифференциальных уравнений малых собственных колебаний (63) примет форму [c.447]

Это выражение является идентичным по форме с уравнением вынужденных колебаний простого осциллятора. Идентификация между реакцией формы колебания и реакцией системы со сосредоточенными параметрами позволяет рассматривать параметр формы колебания М (Л) как приведенную массу системы и определять приведенную жесткость и приведенное демпфирование через этот параметр. Соответствущие эквивалентные сосредоточенные параметры п формы собственных колебаний определяются как [c.227]

Вторая форма собственных колебаний кососимметрична, ввиду чего Zi = —Zg, Z2 = О (фиг. 6. 36, б). Уравнение колебаний для этой формы имеет вид [c.245]

Способ вычисления частоты и формы собственных колебаний, который мы применили для вала с тремя дисками, можно применить в более общем случае. Однако практически при большом числе дисков этот способ оказывается неудобным, так как вычисление определителей высших степеней и решение характеристического уравнения для Q довольно затруднительно. [c.265]

Поскольку на практике в вибрационные расчетах интерес представляет лишь определенная (как правило, низшая) часть спектра частот и форм собственных колебаний, определяемая числом р < и, где п - полное число уравнений (3.59), рассматривается частная проблема собственных значений. Среди многочисленных методов решения такой задачи [c.108]

Динамические спектральные методы применяют разложение динамического решения (О) линеаризованного уравнения (3.59) по ортогональным формам собственных колебаний ( uj [c.113]

Определив нормальные формы колебаний системы как дискретную бесконечную систему функций, которые удовлетворяют однородному уравнению движения, собственные значения — как систему дискретных значений частот, при которых эти движения могут существовать, следует обратить внимание на некоторые полезные свойства нормальных форм и собственных значений. Во-первых, вновь обращаясь к уравнению движения, видим, что [c.25]

Эти уравнения являются достаточно точными для определения частот и форм собственных колебаний системы с жидким заполнением. [c.100]

Первое уравнение имеет вид уравнения (И.1), и, следовательно, движение носит колебательный характер с частотой р. Второе уравнение определяет собственную форму колебаний. Решение уравнения (11.199) соответственно его порядку содержит четыре постоянные и может быть записано в виде [c.121]

Частотное уравнение и собственные формы. Развернутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных С , С , Сд и С . [c.122]

Формы собственных колебаний можно без труда получить из системы уравнений (29). Пусть требуется определить форму колебаний, соответствующую частоте v . [c.12]

Резонансные частоты демпфированной системы приблизительно равны собственным частотам, поэтому, подставляя в полученные уравнения значения собственной частоты, можно получить резонансные значения векторов т) и r n Y и определить форму колебания системы на резонансе [c.12]

При отыскании вынужденных колебаний ротора под действием сосредоточенной неуравновешенности Q,r, расположенной на 1 от левой опоры, коэффициенты разложения правой части дифференциального уравнения по формам собственных колебаний имеют вид [c.153]

Эти уравнения при выбранных точках 1 , 1 ,. . ., 1 являются уравнениями относительно величин грузов Q , Q ,. . ., Q . Решение системы существует, если детерминант ее отличен от нуля, т. е. выбор точек /j, 1 , Ig,. . ., довольно свободен. Первые (к — 1) уравнений означают, что система грузов Qx, Q ,. . ., ортогональна по отношению к первым/с—1 формам колебаний ротора. Если увеличивать число грузов в уравновешивающей системе и предъявлять требования относительно равенства нулю не только к — 1) основных составляющих рабочего диапазона частот, но и относительно других составляющих, начиная с (к + -f 1), то получим в пределе распределенную систему грузов, ортогональную со всеми формами колебаний, за исключением к-й, т. е. не что иное, как систему грузов, распределенных по закону к-й формы собственных колебаний. [c.154]

Формы собственных колебаний гибкого вала, вращаюш,егося в подшипниках с зазорами, как это видно из решений (26), представляют собой пространственные кривые, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Каждой форме колебаний соответствует своя собственная частота колебаний, определяемая частотным уравнением (20). Оно является обш,им для любого вида закрепления концов гибкого ротора. Из этого уравнения получаются все известные частотные уравнения для частных случаев опирания гибкого ротора на подшипники. Корнями уравнения (20) являются величины к,/, зависяш,ие от квазиупругих коэффициентов щ и Кц опор ротора. Эти коэффициенты, в свою очередь, определяются также изгибной деформацией вала. Определение Kj и Кц из уравнений (25) и подстановка их в уравнение (20), а затем решение частотного уравнения относительно к1 вызывает большие трудности и громоздкость. Однако значительные упрощения в решении частотного уравнения (20) достигаются при рассмотрении частных случаев опирания ротора на подшипники. [c.206]

Для симметричных и кососимметричных форм колебаний уравнения (2) являются уравнениями частот собственных совместных колебаний [c.230]

Одинаковая форма записи уравнений для собственного излучения твердых тел и газовых объемов представляет большие удобства при расчетах. [c.279]

В теории деформирования стержней, пластин и оболочек важную роль играют формы собственных поперечных колебаний прямолинейных стержней. Выражения для собственных форм следуют из уравнения МГЭ (3.10) после определения начальных параметров. Для некоторых случаев условий опирания функции собственных колебаний в безразмерной форме представлены в таблице 3.2. [c.130]

При решении линейных задач динамики для сложных роторных систем можно использовать различные методы — методы динамических податливостей или жесткостей, метод разложения по формам собственных колебаний, метод интегральных уравнений и др. [3, 14, 19, 23, 32, 70, 73]. Ниже изложены основные идеи метода, являющегося развитием метода начальных параметров и позволяющего с единых позиций рассматривать различные задачи о свободных и вынужденных колебаниях роторов при учете разнообразных конструктивных факторов и внешних нагрузок [46]. [c.182]

Значения параметра со , при которых операторное уравнение (3) имеет решения, отличные от ф = О, называют собственными значениями уравнения, а соответствующие ненулевые решения ф (х) — собственными элементами уравнения. Совокупность собственных значений называют спектром уравнения. Положительные значения квадратных корней из собственных значений уравнения (3) имеют смысл собственных частот, а собственные элементы совпадают с собственными формами колебаний упругой системы. [c.168]

Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных уравнений наиболее часто решают методом прогонки в различных модификациях, в частности, методом матричной прогонки [30, 95]. В случае периодических решений (полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95]. [c.187]

Определение собственных частот и форм продольных колебаний. Подстановка (5) в краевые условия дает систему линейных однородных уравнений для определения С,. Из условия существования ненулевого решения этой системы (равенство нулю ее определителя) следует уравнение частот. Формы собственных колебаний определяются ненулевым решением j при ы = ы ., где — одна из собственных частот. Для различных случаев закрепления концов стержня собственные частоты или уравнения для их определения и выражения для форм собственных продольных колебаний стержней представлены в табл. 1. [c.191]

Собственные частоты и собственные формы колебаний. Для получения частотного уравнения необходимо привлечь краевые условия (см. табл. 6 гл. VI И). Подстановка в краевые условия одного из видов общих решений (15), (16) или (20) с учетом (22) приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных, входящих в эти решения. Условия существования ненулевого решения для постоянных дает уравнение частот. Ненулевое решение определяет форму собственных колебаний. Для некоторых основных видов краевых условий частотные уравнения и их корни, а также формы собственных колебаний представлены в табл. 4. [c.195]

Схема закрепления стержня Уравнение частот Корин уравнения частот Формы собственных колебаний [c.195]

Система уравнений (30) разрешима, когда частота о) не совпадает ни с одним из корней уравнения det [сд. — (л а,/,] = О, которое служит для определения собственных частот колебаний по методу Бубнова—Галеркина. Если базисные элементы в (28) совпадают с формами собственных колебаний системы, т. е. if =(pk, матрицы С и А становятся диагональными. Для случая, когда система ifi, ifj,. ..—полная, решение системы (30) переходит в точное решение (27). [c.237]

Разделение системы уравнений относительно обобщенных координат происходит вследствие ортогональности форм собственных колебаний системы, вычисленных без учета диссипации. [c.316]

Собственные значения уравнений 168 Собственные формы 59, 60, 170, 171, 215—218 — Дифференциальные уравнения 218 [c.349]

При использовании метода разложения по формам собственных колебаний составляют характеристическое уравнение, порядок которого определяется числом учитываемых форм колебаний. Далее характеристическое уравнение анализируют с помощью критериев Рауса - Гурвица или Зубова (см. гл. 7.2). [c.506]

Разделив уравнение на Кп (Л) и заменяя MJKn (Л) на М (А), введем эту постоянную в параметры форм собственных колебаний системы [c.226]

А. Непосредственное уравновешивание с учетом форм собственных колебаний ротора. Для упрощения рассмотрим ротор с тремя симметрично расположенными на нем массами т , /Па и /Пх и произвольными по величине и направлению векторами неуравновешенности midi, т а yl (фиг. 6. 35). Уравнение колебаний ротора [c.244]

Отличительным свойством некоторых задач о со. ственных значениях является их самосопряженность [37], из которой непосредственно вытекает ортогональность собственных функций (основных форм колебаний). Еслн, согласно Л. Коллатцу, придать данному дифференциальному уравнению форму M[y]=XN y), где X является параметром, который при нулевых решениях урап-иения приобретает собственные з) ачения, то 7акого рода задачу называют самосопряженной. [c.83]

Пример 4, Определение критических частот и форм собственных колебаний валов на жестких опорах на машинах <чСтрела и Урал (30]. Система роторов переменного диаметра подлине разбивается на ряд упругих участков, массы которых приводятся к концам. Задаются длины участков Ах., массы гибкости участков р.. Программа позволяет рассчитывать валы, имеющие до 13 опор. Количество участков в пролете не свыше 32, а всего не более 115. Точность определения частот 2—3% при 10 — 15 участках на каждом роторе. Дифференциальное уравнение 4-го порядка решается численным интегрированием. [c.615]

Вопрос о влиянии начальных усилий на частоты и формы собственных колебаний конструкций рассматривался и ранее (см., например, [15,34,49], Исследовались, однако, конкретные конструкции (пластинки, оболочки определенной формы и т.п.). Влияние же начальных перемещений, возникающих при действии статических нагрузок, на динамические, характеристики тонкостенных конструкций практически не изучено. В первой главе выведены уравнения, пригодные для расчета частот и форм собственных колебаний конструкций любых типов (одно-, двух- и трехмерных) с учетом их напряженно-деформированного состояния (уравнение (1.63)). Ния рассматривается реализация этого уравнения для пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций произвольной конфигурацтаК Класс тонкостенных конструкций выбран по той причине, что именно в h№ i как следует из предшествующих исследований (см. цитированные выШ работы), влияние стагических нагрузок оказывается наиболее значительным. [c.122]

Использование главных нормальных координат. Основной идеей введения главных нормальных координат является представление двим ения в виде разложения по формам собственных колебаний, С математической точки зрения введение главных нормальных координат заключается в преобразовании переменных, приводящем одновременно к главным осям матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Следствием этого является расчленение исходной системы на отдельные, независимые уравнения. [c.107]

Пример. Рассмотрим процесс решения задачи определения частот и форм собственных колебании консольного стержня с сосредоточенной массой М на свободном конце х = I) Из краевого условия при х = й следует, что С, = 0. Из условия при х = 1 (см табл 3 гл VIII) приходим к уравнению [c.191]

Моментные функции обобщенных координат находятся из уравнений (41) при помощи методов, изложенных в гл. XVIII. Эти функции выражают через моментные функции обобщенных сил ( ), которые можно вычислить, если известны простран-ственно-времепная корреляционная функция нагрузки и формы собственных колебаний системы. [c.316]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...