Якоби метод итераций

При решении задачи численным методом использовалась прямоугольная сетка с постоянными шагами. Аппроксимирующая система алгебраических уравнений, как обычно в методе сеток, получалась заменой производных в уравнении Чаплыгина центральными разностными формулами второго порядка точности на гладких решениях. Решение алгебраической системы проводилось методом итераций по явной двухслойной схеме Якоби. Интегральное граничное условие на звуковой линии заменялось разностным условием для двух соседних итераций, аппроксимирующим исходное условие в сходящемся итерационном процессе. [c.106]

В большинстве задач скорость сходимости удается увеличить, применяя релаксационные методы, когда требуется такое упорядочение уравнений, чтобы диагональные элементы матрицы Якоби были отличны от нуля. На очередной (гЧ-1)-й итерации вектор неизвестных [c.227]

Метод Ньютона, характеризуемый высокой скоростью сходимости, широко распространен в процедурах автоматизированного проектирования. Однако по сравнению с предыдущими методами реализация метода Ньютона связана с увеличенными затратами памяти, требующимися для размещения матрицы Якоби. Кроме того, увеличивается трудоемкость вычислений на одной итерации. [c.228]

Решение систем нелинейных АУ выполняется итерационными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби решаемой системы уравнений. [c.233]

В методе простых итераций И может достигать неприемлемо больших значений, поэтому целесообразно ввести на И ограничение Игр сверху. Если принять Ягр=1,5-10 , то из соотношения Ягр = —0,5 Ц Ige при е=10" получаем, что метод простых итераций можно применять только к решению системы уравнений, у которых матрица Якоби имеет Ц< 0. Методы Зейделя, Якоби, последовательной верхней релаксации (ПВР) имеют аналогичный характер зависимости И от Ц, хотя скорость сходимости у них часто оказывается несколько выше, чем в методе простых итераций. [c.234]

После того как при очередной итерации будут определены величины Хг, Xi, 1133, Рз и 3 и вычислены параметры в точке 4, решают систему (4.23) методом Ньютона с переменной матрицей Якоби. При этом определяют а,з, Т , W3. Далее по формуле (4.21) вычисляют Лз и Рз, а по формуле (4.19) — аз и Рз. На этом очередную итерацию заканчивают. [c.120]

Система (7.45) является нелинейной системой уравнений относительно a,(n+i), t=l, 2,..., N. Решение ее методом простой итерации нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят к ограничению на шаг h (hxx) такому же, как при использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо иной метод, например метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, элементами которой являются dfi/dak- Эту матрицу удобно находить, используя аналитические выражения для производных dfi/dak. Неизвестные адп+1) находят итерациями по формуле [c.207]

Поскольку применение метода Ньютона приводит к значительным затратам машинного времени, особенно с увеличением числа компонентов, что, как отмечалось, связано с вычислением и обращением матрицы Якоби, развиваются методы простой итерации для решения системы (7.45), в которых не требуется вычисления и обращения матрицы Якоби . [c.209]

Метод простой итерации называют методом Якоби, если элементы матрицы В и вектора с в преобразованной системе (5.9) вычисляются по формулам 6,у = - /о , при i +j, Ьц = О, с, = 6, /а,,, [c.128]

Частными случаями обобщенного метода являются такие методы, как узловой, контурный, переменных состояния. Различия между методами заключаются в способе упорядочения фазовых переменных, в разделении фазовых переменных 1) на предварительно исключаемые на этапе формирования ММС и 2) на исключаемые на каждой итерации при решении уравнений ММС. Исключение производится по методу Гаусса, но первые переменные исключаются аналитически, а вторые — численно. Предварительное исключение части неизвестных может заметно снизить порядок системы уравнений в итоговой ММС. Так, порядок ММС, формируемой узловым методом, оказывается в 4...6 раз меньше, чем у ММС, получаемой обобщенным методом. Однако выигрыш в затратах машинного времени от применения узлового метода не очень большой по следующим причинам предварительное исключение заметно увеличивает количество ненулевых элементов в матрице Якоби итоговой ММС доля затрат на решение системы (2.6) незначительна по сравнению с общими затратами. Поэтому выигрыш по затратам машинного времени от применения узлового метода составляет [c.32]

Элементы матрицы Якоби можно вычислять аналитически и численно. Практика показала, что метод Ньютона наиболее эффективен при аналитическом вычислении элементов. Численное дифференцирование соответствует дискретному методу Ньютона, который в общем случае не обладает квадратичной скоростью сходимости итераций. [c.40]

Способ взвешенных ветвей [4]. Каждую нелинейную зависимость вектор-функции F(X) умножим на f, в результате при =0 получим линейную систему Н(Х,0)=0, легко решаемую за одну итерацию по методу Ньютона и дающую Xq(0). Изменяя от О до 1, получим решение Х. Матрица Якоби [dH/(3X] зависит от i. [c.41]

Эта формула эквивалентна (6.9). Полученные системы (6.10) и (6.11) решаются методом Ньютона относительно векторов У,-, 1=1, 2,..., т+1. Основное достоинство рассмотренного алгоритма состоит в том, что матрица Якоби для метода Ньютона конструируется непосредственно из подматриц [ Р/(9У], которые вычисляются аналитически в программах анализа электронных схем. При выполнении итераций учитывается структурная разреженность матрицы Якоби. [c.146]

После того как при очередной итерации будут определены величины Хз, x , -фа, Рз и Сз и вычислены параметры в точке 4, решается система (2.38) методом Ньютона с переменной матрицей Якоби так, как описано в 2.1. При этом определяются з, Гз, 11 з. Далее по (2.36) вычисляются /гз и рз, а по (2.34)—аз и Рз. На этом очередная итерация заканчивается. [c.74]

Алгоритм метода Ньютона обладает меньшими Na, Пд и А а по сравнению с алгоритмом метода итераций, однако составление в процессе вычислений матрицы Якоби по dfJdXj (г, / = 1, 2,. . п) приводит к необходимости пользоваться внешней памятью при реализации алгоритма на средних машинах типа Минск-2 и М-20 . [c.185]

Для нелинейных ОДУ (6) это преобразование приводит к системе нелинейных АУ, для линейных ОДУ (7)—к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Нелинейные АУ решаются итерационными методами. Стрелка 8 соответствует решению методом Ньютона, основанному на линеаризации уравнений, стрелка 9 — методами Зейделя, Якоби, простой итерации и т. п. Решение системы ЛАУ сводится к последователыюсти элементарных операций (10) с помош,ью методов Гаусса или 7-разложения. [c.23]

Этот метод известен также как метод Якоби (Сальвадори и Барон [1961]), как метод - итераций полными этапами (Кренделл [1956]) и как метод одновременных смещений (Янг [1954]) последнее название связано с тем, что каждое значение вычисляется в точке, которую можно брать независимо в любом порядке из последовательности точек (1,1), и поэтому все точки можно в известном смысле рассчитать одновременно. Такое свойство алгоритма очень важно при оценке методов для вычислительных машин с параллельными процессорами. [c.179]

При численном решении данной задачи, записанной для переменных со и (где ю = = Эи /ЭК = Э Ч /ЭУ ), использовалась независимая переменная 5 = (2/я)агс1 2. Полученная в результате система уравнений аппроксимировалась конечно-разностными схемами второго порядка точности, а система нелинейных конечно-разностных уравнений решалась методом Ньютона - Канторовича с использованием метода матричной прогонки для обращения матрицы Якоби на итерации. Более подробно об используемых конечно-разностных схемах и методах решения получаемых систем нелинейных конечно-разностных уравнений см. [17, гл. 7]. [c.131]

Экономичность метода решения систем АУ определяется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п ячеек памяти. Поэтому если для одного слова используется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п = 500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вывод о необходимости учета разреженности при решении задач с п>п р, где Ппр зависит от характеристик используемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десятков. В задачах анализа распределенных моделей, в которых п может превышать 10 , экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важнейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использованием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода. [c.234]

Некоторые модификации явных схем интегрирования началыюй задачи. по параметру, связанные с уточнеююм традиционной схемы метода последовательных нагружений, предложены в работах [231, 256,321]. В первый из них, по существу, предлагается процесс интегрирования по методу Эйлера дополнить одной итерацией метода Ныотона-Рафсона. Позже такая модификация шагового процесса использовалась в [290]. В статье [256] обратнзпо матрицу Якоби линеаризованной пошаговой задачи предлагается строить также путем продолжения на основе разложения ее в ряд Тейлора в окрестности предыдущего значения параметра. Такой подход позволяет не обращать матрицу Якоби на каждом шаге интегрирования. [c.185]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

К сожалению, эти достоинства обесценивак)тся крайне медленной сходимостью. По сравненик1 с другими итерационными методами, описанными ниже, процедуры Якоби и Гаусса —Зейделя требуют большего числа итераций для достижения той же самой точности, Таким образом, для больших задач методы Якоби и Гаусса —Зейделя совсем не подходят. Для малых задач, прямыми методами можно обеспечить эквивалентную точность при гораздо меньшем объеме вычислений. Например, для ленточной системы из 100 уравнений лучшая из двух подпрограмм-Гаусса — Зейделя требует при существенно худшей тЬч-иости в 25 раз больше машинного времени, чем самая быстрая из программ, основанных на прямом методе [4], Сравниваемые программы были специально предназначены для разреженных матриц и использовали только оперативную память. [c.238]

Приближенными собственными значениями будут Уг, а новая матрица Х , состоящая из приближенных собственных векторов, равна произведению матрицы Уп на квадратную матрицу порядка I, образованную из собственных векторов Q задачи (55). Бас и Парлетт детально изучили две вычислительные задачи решение небольшой задачи (55), для которой они используют исключение типа Якоби, как только матрицы становятся почти диагональными, и выбор начальной матрицы Л о. При выборе I допускается компромисс — при больших I требуется мало итераций, но каждая из них довольно дорога. При вычислении первых р собственных значений они брали I = т п 2р, р - - 8) и обнаружили, что восемь итераций дают отличные результаты. Этот способ эффективен даже для задач, слишком больших, чтобы работать только с оперативной памятью ЭВМ, и его можно с успехом применять к задачам на собственные значения, возникающим в методе конечных элементов. [c.278]

Простая модификация метода Ньютона позволяет значительно сократить время счета, затрачиваемое на решение матричных уравнений. В модифицированном методе матрица Якоби вычисляется и факторизуется только через каждые т итераций. Значение т определяется в программе FIELDAY и уточняется по мере выполнения решения. Таким способом можно получить значительную экономию например, при проведении тестовых расчетов на шести задачах удалось сократить полное время счета почти вдвое. Фактически, экономия тем больше, чем больше размерность задачи, так как значительная доля времени тратится на решение матричных уравнений. Можно получить дополнительную экономию, используя модифицированный метод Ньютона в последовательности аналогичных задач, например для нестационарных или стационарных задач с одинаковыми граничными условиями. В этих условиях можно использовать матрицу Якоби с предыдущего [c.471]

При теоретическом исследовании используется численный подход [3, 4], позволяющий моделировать отрывные течения на основе нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса. Аппроксимирующая система уравнений Навье-Стокса получается на основе неявной конечно-разностной схемы при этом для аппроксимации конвективных и диффузионных членов дифференциальных уравнений в полуцелых узлах используются TVD-схема второго порядка точности и схема центральных разностей соответственно. Для решения нелинейных разностных уравнений применяется модифицированный метод Ньютона-Рафсона с пересчетом матрицы Якоби на усеченном шаблоне. На итерации по нелинейности используется итерационный GMRES-метод для решения системы линейных алгебраических уравнений. [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...