Теория Формула Эйлера

Формула (92) была получена Эйлером и носит название формулы Эйлера. Она определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который осуществляется стационарный проток вещества. Из этой формулы следует, что главный вектор сил, действующих на оболочку со стороны вещества, находящегося внутри объема, отличается от главного вектора внешних сил как раз на ту дополнительную силу / доп. которую пришлось добавить к главному вектору внешних сил для того, чтобы к системам переменного состава можно было бы применять теорему об изменении количества движения. [c.113]

Чтобы доказать теорему, применим формулу Эйлера (11.108). Найдем [c.120]

Наконец, вместо тригонометрических функций можно ввести экспоненциальные, что часто облегчает математическую трактовку многих вопросов теории колебаний и волн. В основе этого лежит формула Эйлера [c.30]

Испытание деревянных образцов. Древесина — неоднородный материал значения модуля упругости, которые имеются в справочных таблицах, следует рассматривать лишь как грубо приближенные, особенно для малых образцов. Поэтому при проверке формулы Эйлера деревянные образцы следует предварительно подвергать поперечному изгибу для определения изгибной жесткости EJ образца. Из теории изгиба известно, что формула для прогиба балки (рис. 79), нагруженной сосредоточенной силой посредине, имеет вид [c.124]

Это соотношение, носящее название формулы Эйлера, является основным соотношением в теории трения гибких тел о неподвижную направляющую поверхность с учетом центробежных сил. Например, оно применяется в теории ленточных тормозов и в передаче гибкой связью. [c.318]

В основе анализа ИЦН лежит струйная теория Эйлера, которая базируется на рассмотрении струйной структуры и осевой симметрии плоскопараллельного потока идеальной жидкости. В этом случае в соответствии с рис. 1.1 основное уравнение ЦН приобретает вид формулы Эйлера [1,2,13] [c.10]

После весьма обширного обзора существующих теорий, относящихся к поведению призматических стержней прямоугольного, квадратного и круглого поперечных сечений при изгибе, растяжении, сжатии и кручении, Дюло приступает к проведению многочисленных экспериментов, проверяя результаты их различными расчетами, включая использование формулы Эйлера для продольного изгиба стоек, и меняя размеры образцов от опыта к опыту. Он также осуществил эксперименты со стержнями арочной формы, но тех же поперечных сечений, и с системами, представляющими собой ансамбль призматических стержней, проверяя такой вопрос, как трение между примыкающими друг к другу стержнями при изгибе и т. д. Кроме того, он проявил интерес к линии раздела между областями сжатия и растяжения в балках из ковкого железа (т. е. к нейтральной линии), а также линейности зависимости между напряжениями и деформациями. [c.265]

И нагруженного в точке у. Круговые диски на верхнем конце образца скользят между вертикалями АВ и EF и препятствуют верхнему концу совершать поперечные движения. Нижний конец образца опирается в точке R. Той же самой машиной пользовались и для испытаний на поперечный изгиб, заставляя нижний конец R стойки оказывать давление на середину горизонтально расположенной балки. Для того чтобы сравнить результаты испытаний стоек со значениями, вычисленными по формуле Эйлера для колонн, производилось экспериментальное определение жесткости стоек при изгибе по способу, рекомендованному Эйлером (см. стр. 46). Эти испытания обнаружили, что деревянные стойки ведут себя далеко не так, как должен был бы вести себя и идеально упругий материал. Прогибы в процессе поперечного изгиба не были пропорциональны нагрузкам и не оставались постоянными под одной и той же нагрузкой, а возрастали по мере увеличения длительности ее действия. Способы укрепления концов стоек и методы приложения нагрузки могли быть подвергнуты критике, поскольку удовлетворительного согласия между результатами испытания и теорией Эйлера не получалось. [c.76]

Здесь и в последующих главах будем применять метод комплексных величин. Его сущность состоит в том, что круговые функции, встречающиеся в некоторых задачах теории колебаний, заменяют комплексными экспоненциальными функциями по формулам Эйлера [c.17]

К 2.13. 3. Какое дифференциальное уравнение из теории изгиба лежит в основе вывода формулы Эйлера [c.588]

Если зависимость деформации материала от нагрузки нелинейна, для определения критической силы прибегают к теории касательного или приведенного модуля деформаций, которые подставляют в формулу Эйлера вместо модуля упругости. Касательным модулем деформаций Е называется тангенс угла между касательной к диаграмме зависимости напряжения от деформации в данной ее точке и осью абсцисс. Приведенный модуль деформаций (для прямоугольного сечения) равен [c.72]

Формула Эйлера в теории турбин 197 Фурье доказательство начала возможных перемещений 27 [c.360]

Эйлер рассматривает это движение, сразу выводя приближенные формулы, не переходя через точные, мы же здесь выведем эти последние,чтобы показать степень точности формул Эйлера и их связь с обш ей теорией. [c.114]

Теория Власова охватывает исследования упругой устойчивости стержней, пластин, балок, оболочек, причём формулы Эйлера, Тимошенко и др. могут рассматриваться как частные решения, вытекающие из общей теории, предложенной В. 3. Власовым. Таким образом, теория упругой устойчивости получила своё завершение в трудах проф. В. 3. Власова, создавшего мощный аппарат, применимый к решению задач проверки устойчивости во всех случаях, когда критические напряжения ниже предела упругости. [c.672]

Вывод формулы Эйлера изложен в курсе Теория механизмов и машин . [c.188]

Расчет плоскоременной передачи базируется на рассмотренной выше общей теории ременных передач и экспериментальных данных. В этом расчете формулу Эйлера, определяющую тяговую способность передачи, и формулу (8.18) для суммарного напряжения в ремне, определяющую его прочность и долговечность, непосредственно не используют. Их учитывают в тех рекомендациях по выбору геометрических параметров (а. В, а м пр.) и допускаемых напряжений [ор]о, [о ], которые используют при расчете. [c.136]

Наличие этих вспомогательных элементов, увеличивающих жесткость на кручение тонкостенных стержней, в значительной степени сближает результаты расчетов на устойчивость по формулам Эйлера и по теории изгибно-крутильных форм равновесия. [c.962]

И выражая виртуальное перемещение бг по формуле Эйлера, мы сможем вывести уравнения движения тела в различных формах, в частности, получить обобщение основных теорем динамики для свободного тела. [c.375]

Потеря устойчивости за пределом упругости. Формула Эйлера для критической силы (138.6), очевидно, применима только тогда, когда материал следует закону Г ука. Однако может случиться, что сила, определенная по формуле Эйлера, вызывает в материале сжимающие напряжения, превышающие предел пропорциональности. Этим, в частности, объясняется плохое совпадение с опытом, обнаруженное в ранних экспериментах по проверке эйлеровой теории устойчивости. Чтобы судить о пределах применимости формулы Эйлера, придадим ей несколько иной вид. Для этого разделим обе части формулы (138.6) иа площадь поперечного сечеиия стержня Р. Слева мы получим критическое напряжение а . Величина представляет собою квадрат радиуса инерции I сечения (см. ПО). [c.307]

Из теоремы о сложении движений вытекает следствие всякое движение твердого тела складывается из поступательного переносного движения и относительного движения — вращения тела вокруг начала подвижной системы координат. В самом деле, пусть начало подвижной системы координат точка С совпадает с точкой Р твердого тела, а оси Сух, Су- , Су параллельны во все время движения соответствующим осям неподвижной системы координат 04i 2 3. Тогда Vp =0, 2e = ii = 0. Переносная скорость точки Л/а относительная = i xPM, т.е. соотношение А/ = V/. + 2 X РМ (формула Эйлера) выражает теорему сложения движений. [c.34]

Пример 2.7.1. Найдем формулы для параметров Эйлера, используя теорему 2.7.5. Выполнив умножение биномов [c.109]

Теперь применим формулы (II. 27) —(II. 28с) и теорему Эйлера об однородных функциях. Получим [c.133]

Если в эту формулу подставить выраженные в виде линейных комбинаций компонент то упругая энергия будет представлена как квадратичная функция величин Снова применяя теорему Эйлера, будем иметь [c.24]

С помощью формулы Эйлера (см. теорему 2.12.1) выразить скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, если радиус-вектор г точки тела имеет начаило в точке О, а ось вращения через точку О не проходит. [c.151]

При м с ч а н и я. 1. Эту -теорему мы доказали, не пользуясь формулой Эйлера (11.108). Доказательство, по существу, не основывается на предварительном предположении, что угловая скорость является вектором. Оно, наоборот, позволяет утверждат ), что направленные отрезки, которыми всегда можно изображать угловые скорости,— векторы независимо от аналитических соображений, приведенных в 63. [c.154]

История определения критической силы для сжатого стержня берет начало от работ Г Эйлера. Определенная им критическая сила кр.з была подвергнута экспериментальной проверке, и было сделано заключение, что она дает сильно завышенные результаты. Однако, как выяснилось позже, ее применяли для случая X < Х,пред.э. что было ошибкой. Когда же стали брать гибкости %, не выводящие материал за пределы пропорциональности, то результаты теории, т. е. значения кр. ) = п Е]х/Р, хорошо согласовались с экспериментом. Теперь встал вопрос об определении теоретическим путем критической силы для случая работы материала -la пределом пропорциональности. В конце XIX в. Энгессером было предложено заменить в формуле Эйлера модуль Е касательным модулем Е(. Это дало хорошее совпадение с экспериментом, но такая замена не была обоснована теоретически. При изучении вопроса появилась мысль о двух зонах деформирования Ах и. 42, которая была высказана Ясинским (1894) и затем Карманом (1910). Формула Ясинского — Кармана хотя и приблизила теоретический результат к эксперим( нту, однако давала стабильно завышенный результат. [c.360]

Как было указано выше, теоретические и экспериментальные результаты для времени квазиуиругого выпучивания рези- ювых и пластиковых стержней хорошо согласуются, однако утверждение о конечности времени выпучивания противоречит точной линейной теории (которая дает для него экспоненциальную зависимость). Чтобы выяснить этот момент, рассмотрим поведение стержня с заделанным концом. Предположим, что функция ползучести описывается степенным законом (76). Критическое значение силы Per определяется по формуле Эйлера [c.164]

Немецкий ученый Ф. Энгессер, работая над границами применения формулы Эйлера, пришел к выводу, что можно расширить эти границы, если заменить в ней постоянный модуль упругости переменной величиной, которую он назвал касательным модулем упругости. Эта величина, в свою очередь, выражала отношение напряжения материала к относительной его деформации, т. е. изменению длины стерншя по сравнению с его первоначальными размерами [40, с. 351, 352, 356—359]. Касательный модуль дал Энгессеру возможность вычислять критические напряжения для стержней из материалов, не подчиняющихся закону Гука, а также из строительной стали при напряжениях выше предела упругости. В связи с этим предложением у Энгессера возникла дискуссия с Ясинским, который утверждал, что сжимающие напряжения на выпуклой стороне стержня при его выпучивании уменьшаются и что испытания, проведенныеБаушингером, доказывают необходимость пользоваться в этой области поперечного сечения постоянным модулем упругости, а вовсе не касательным модулем [43, с. 214]. Этот спор закончился тем, что Энгессер признал правоту Ясинского, переработал свою теорию и ввел для двух областей поперечного сечения два различных модуля. Исследуя влияние поперечной силы на величину критической нагрузки в стойках, он нашел, что эта величина для сплошных и сквозных решений различна. В сплошных ее влияние мало и им можно пренебречь, а в сквозных оно может оказаться значительным. Энгессер вывел формулы для определения того отношения, при котором [c.254]

Методика расчета передачи. Расчет плоскоременцой передачи базируется на рассмотренной выше общей теории ременных передач и экспериментальных данных. В этом расчете формулу Эйлера (12.11), определяющую тяговую способность передачи, и формулу [c.284]

Мусшенбрук ранее, в XVIII веке, уже использовал свои остроумные испытательные машины для изучения явления продольного изгиба. Оценив должным образом своего предшественника, Дюло исследовал тот же вопрос на очень большом количестве образцов. Для различных значений отношения длины стержня к размеру его поперечного сечения, находящихся в пределах от 200 до 24, он получил среднее значение отношения наблюденной в опыте критической силы к вычисленной по формуле Эйлера, равное 1,16. Дюло не считал, что его результаты обязательно должны вызвать сомнения в применимости теории Эйлера. Дюло отмечает, при описании этих первых, достаточно хорошо выполненных экспериментов, истину, прекрасно известную каждому современному экспериментатору, исследующему проблему потери устойчивости, состоящую в том, что трение и проблема закрепления образцов делают эти испытания чрезвычайно затруднительными для проведения [c.272]

Формулы (16) и (17) основаны на тех предположениях об изгибе, которые сделали Яков Бернулли (1705), Даниил Бернулли и Эйлер (1742 1744) в задаче об эластике (ср. гл. XIII), Основанная на этих предположениях приближенная теория (обычно известная как теория Бернулли-Эйлера ) широко используется в технике. Область применения этой теории и степень ее [c.63]

Первые надежные испытания колонн были выполнены Бау-шингером ). Применив для своих образцов конические наконечники, он обеспечил возможность свободного вращения концов и центрального приложения нагрузки. Его эксперименты показали, что при этих условиях результаты, полученные для гибких тержней, удовлетворительно согласуются с формулой Эйлера. Более короткие образцы выпучивались при сжимающих напряжениях, превосходивших предел упругости, и так как теория Эйлера к ним была неприменима, необходимо было установить для них эмпирическое правило. Баушингер выполнил лишь небольшое число испытаний, недостаточное для установления практической формулы, которой можно было бы пользоваться в проектировании колонн. [c.352]

Работая в области теории продольного изгиба, Энгессер ) предложил расширить область применения формулы Эйлера, введя в нее вместо постоянного модуля упругости Е, переменную величину Et = dalds, которую он назвал касательным модулем упругости. Определяя касательный модуль из опытной кривой сжатия для какого-либо частного случая, он получил возможность вычислять критические напряжения для стержней из материалов, в своем поведении отклоняющихся от закона Гука, а также для стержней из строительной стали при напряжениях выше предела упругости. В связи с этим предложением возникла дискуссия между ним и Ясинским. Последний указал"), что сжимающие напряжения на выпуклой стороне стержня при выпучивании уменьшаются и что в соответствии с испытаниями Баушингера для этой области поперечного сечения следует пользоваться постоянным модулем упругости Е, а не касательным Впоследствии Энгессер переработал свою теорию, введя в нее два различных модуля для двух областей поперечного сечения ). [c.357]

Фактически, ввиду парадокса Даламбера, этот результат ме-Яве интересен сам по себе, а интересен в качестве иллюстрации важного метода. Однако приведенные рассуждения равным образом применимы к течениям Жуковского ( 8), к следам ) Кирхгофа ( 39), к течениям Гельмгольца — Бриллюэна ( 47) и к теории вихревых дорожек Кармана ( 56). Принцип инерциального моделирования справедлив также для примитивной ньютоновой кинетической теории сопротивления воздуха и для квазиэмпирической формулы Эйлера, выражающей лобовое [c.141]

Отсюда следует, что критические силы, шчислениые по формулам Эйлера, будут обычно больше, чем найденные по теории Власова, что подтверждается и опытом. [c.666]

J. Н. Gaines и Е Volterra [1.168—1.171] (1966—1968) дали приближенные формулы для верхней и нижней оценок трех первых собственных частот поперечных колебаний консольных балок Тимошенко переменного поперечного сечения. Для балок типа усеченного конуса и с постоянным сечением результаты сравниваются с данными, вытекающими из теории Бернулли—Эйлера, [c.93]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...