Теоремы существования для динамических задач (Da) и (Та)

Теоремы существования для задач ( i) и (Вг). Случай равных постоянных Пуассона. Уравнения динамических задач ( j и (В ), как показано в 3 гл. IV, имеют вид (4.11) и (4.13). Считая в этих уравнениях = получим [c.217]

Пользуясь этой теоремой и повторяя рассуждения 1, мы получаем теоремы существования для задач (В,) и В в динамическом случае, если отлично от собственных частот колебаний области В и постоянные Пуассона для тел 5, и В равны. При этом полученное решение следует понимать в обобщенном смысле, когда оно не. является решением в обычном смысле (см. конец 1, стр. 212). [c.218]

Геометрическая теорема Пуанкаре . Пуанкаре показал, что существование бесконечного множества периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел и других динамических задачах тотчас следует из некоторой геометрической теоремы, с которой лемма 1 тесно связана. [c.172]

Существование второго динамического тензора Грина вытекает из существования решения задачи (Г,) для тех значений ш. которые отличны от собственных частот второй однородной задачи (Т ) для области В соответствующая теорема существования доказывается в гл. VI, 8. [c.89]

I 12] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАН. ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (Л ) И (Г ) 199 [c.199]

Теоремы существования для динамических задач О [c.199]

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАН. ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ iD ) И (Г ) 201 [c.201]

Теоремы существования для динамических задач ()Bi) и (Ва). Уравнения этих задач в общем случае, как показано в 3 гл. IV, являются функциональными уравнениями (4.11) и (4.13). Разыскивая решения в виде рядов типа (7.25) и сравнивая коэффициенты при степенях т так же, как в предыдущем параграфе, получим уравнения и формулы, аналогичные (7.26q), (7.26i). .. (7.26 ), (7.27), с той лишь разницей, что теперь матрица (х. у) заменяется тензором G(x, у) в уравнениях задачи (B ) и тензором fi(x, у) в уравнениях задачи (Bg)- Уравнения, соответствующие (7.26q), будут иметь [c.228]

В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных [c.7]

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерра [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого явного решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с решениями Кёттера [234, 236] для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134]. [c.157]

Современная наука весьма часто бывает перегружена ворохом специальной терминологии и обозначений. Я стремился свести терминологию до минимума и в случае необходимости объяснять смысл новых терминов. Теоремы и методы изложены так, чтобы их можно было применять к конкретным задачам, т. е. приведены конструктивные доказательства, а не чистые теоремы существования. Стремясь использовать понятия общей теории динамических систем, я пытался следовать конструктивному подходу. В большинстве частей книги мне удалось осуществить свои намерения. Трудности возникли лишь в связи с квазипериодическими процессами. Я включил эти тонкие проблемы (например, бифуркацию торов) и мой подход к их решению не только пото.му, что они находятся на передовом рубеже современных математических исследований, но и потому, что с ними приходится то и дело сталкиваться при рассмотрении как естественных, так и искусственных систем. Главы, посвященные рассмотрению этих сложных проблем, так же, как и другие трудные главы, отмечены звездочкой. При первом чтении их можно опустить. [c.17]

В. А. Бабешко [13]. И. И. Воровичем дана общая постановка динамических контактных задач для анизотропных сред, доказаны теоремы о существовании обобщенных решений. В. А. Бабешко разработаны методы исследования широкого класса динамических контактных задач для по-луограниченных сред, в том числе и для анизотропных, в основе которых лежит метод факторизации функций и матриц-функций. Как правило. [c.303]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Что же касается условий существования и единственности траекторий системы, то дополнительно отметим весьма полную теорему существования, изложенную в уже упоминавшейся работе Немыцкого и Степанова [19], а также теорему Лефшеца [21,22] и теоремы [23], определяющие достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши с фазовыми ограничениями. Отметим, кроме того, работу [24], в которой обсуждаются достаточные и необходимые условия асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем при рассмотрении необходимых условий вводятся функции, отличные от функций Ляпунова. [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...