Теорема существования предельных циклов

Существование предельного цикла будет доказано, если будет найдена замкнутая кривая, охватывающая точку О, которая обладает тем свойством, что вектор F в каждой ее точке направлен внутрь области, ограничиваемой этой кривой. При этом, как и в 20.6, существование предельного цикла будет следовать из теоремы Пуанкаре — Бендиксона. Однако, мы приведем здесь другое доказательство, которое одновременно будет гарантировать и единственность решения. [c.396]

Отыскивая распределение напряжений в предельном цикле (когда деформации еще упругие) с помощью условий равновесия и критерия текучести, мы исходим из предположения о существовании соответствующего поля остаточных напряжений. Эти напряжения сами не фигурируют в расчете, но они обеспечивают приспособляемость к циклическому нагружению и согласно теореме Мелана должны возникнуть при первых циклах, которые сопровождаются пластической деформацией. [c.93]

Доказательства первых двух теорем связано с введением индекса Пуанкаре (АндрОнов и др., 1959). Доказательство последней теоремы основано на том факте, что фазовые траектории не могут пересекаться. Рис. 7 иллюстрирует это положение. Кривая, пересекающая все фазовые траектории и не касающаяся их, называется Кривой без контакта. На рис. 7 окружность R — цикл без контакта. Обнаружение предельных циклов это — основная задача в теории колебаний. Однако не существует общих аналитических методов для ее решения. Следует отметить, что если при исследовании особых точек системы обнаруживаются центры, которые нри изменении параметров превращаются в неустойчивые фокусы, то вероятность существования в этой системе предельных циклов весьма велика. [c.39]

Рассмотрение циклов без контакта или циклов однократного пересечения, а также индексов состояния равновесия позволяет в ряде случаев сделать определенное заключение относительно существования замкнутых траекторий или предельных циклов. Приведем сначала несколько простых признаков отсутствия замкнутых траекторий — признаков, вытекающих из свойств индексов Пуанкаре. Сформулируем их в виде теоремы. [c.230]

А — седла) ). Из расположения траекторий (все траектории выходят из бесконечности и из состояния равновесия 0(0, 0)) в силу теоремы 1 вытекает существование хотя бы одного предельного цикла (на рис. 72 нарисован только один цикл). [c.111]

Мы будем говорить, что предельные циклы системы (А), существование которых доказано в теореме, рождаются из предельного цикла 0. [c.144]

Замечание 2. Основным моментом существования указанной бифуркации является наличие негрубого положения равновесия (но только фокуса - аттрактора или репеллера), т.е. такого равновесия, которое меняет свой тип при малейшем шевелении параметров системы. Можно привести примеры, когда все условия теоремы выполнены кроме одного как в линейном, так и в нелинейном случае положение равновесия является центром. Последнее условие и является ключевым в данном вопросе. Оно будет противоречить рождению грубого предельного цикла. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...