Доказательство теорем существования в общем случае

Доказательство теорем существования в общем случае. В предыдущих параграфах теорема существования решений гранично-контактных задач была доказана при соблюдении гипотезы Коши, т. е. при допущении неизменности коэффициента Пуассона для всех упругих тел. Теперь мы отказываемся от этой гипотезы и, считая коэффициенты Пуассона различных тел произвольными, но достаточно близкими друг к другу, покажем, что из предыдущего получается доказательство теорем существования для всех гранично-контактных задач и в этом случае. [c.496]

Одна из трудностей возникает на самом первом этапе теории. Дело в том, что у бесконечной системы всегда существует бесконечное число начальных условий, приводящих к катастрофическому коллапсу всей системы (например, если скорости всех частиц направлены в одну точку). Поэтому для доказательства хотя бы существования оператора эволюции 41 (t) необходимо показать, что эти патологические начальные условия имеют, в некотором смысле, меру нуль. Но как это сделать в общем случае, нам пока неизвестно. [c.269]

Лауэ [39 — 41] показал также, как может быть произведено нелинейное обобщение теории. В этом случае (7,10) должно быть заменено общим функциональным соотношением между G и j,. Этот вариант был вызван появлением теории Гейзенберга, указывающей на возможность существования нелинейных эффектов в сильных полях. В настоящее время имеются доказательства того, что нелинейные эффекты малы. [c.692]

Во всяком случае при каждом достаточно малом фиксированном значении постоянной М наше конструктивное доказательство гарантирует существование и единственность симметричного потока около симметричного препятствия произвольной формы. В самом деле, при симметричных условиях решение (7.1) должно быть симметричным, так как любое несимметричное решение в результате отражения (о- и — о) дало бы еще одно решение, что противоречит единственности. Далее, легко показать, применяя общую теорию ограниченных операторов, удовлетворяющих условию (7.4), что функции Х(о) и /(о) изменяются непрерывно с изменением М, если МЛ <1. Так как [c.198]

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате Аналитическая механика (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих оскулирующих переменных. [c.21]

В статьях, упомянутых среди ссылок к 305—307, применяются три различных, хотя принципиально эквивалентных, аналитических. метода для доказательства существования периодических решений простого типа в случае общей динамической системы ( ) метод аналитического продолжения, опирающийся на теорему Коши о локальном существовании [c.517]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Те, кого запутала нечеткость и неупорядоченносгь представлений традиционной термодинамики — т. е. фактически почти все, — иногда неправильно понимают эту теорему, считая, что она дает термодинамическое доказательство существования функции запасенной энергии , т. е. того, что все упругие материалы являются гиперупругими. Ничего подобного. Во-первых, существование функции запасенной энергии представляет собой чисто механическое условие, относящееся ко всем полям деформации, а не только к тем, которые соответствуют определенным температурным и калорическим условиям. Во-вторых, чтобы вывести (24) и (25), нам пришлось принять допущения термодинамического характера, а теория упругости представляет собой чисто механическую теорию, в которой температура или плотность калории даже и не упоминаются а fortiori с помощью термодинамики мы не можем ничего доказать относите,чьно теории упругости. В-третьих, функции, о которых доказано, что они ведут себя как запасенная энергия, являются различными в различных процессах для одного и того же термоупругого материала, тогда как функция запасенной энергии гиперупругого материала определена однозначно с точностью до аддитивной постоянной. Таким образом, эта теорема ставит в соответствие данному термоупругому материалу не один гиперупругий материал, а бесконечное множество. В-четвертых, и это наиболее важно, нет никаких причин предполагать, что деформация общего вида будет изотермической, либо изокалорической, так что, если бы эта классическая теория и была применима к теории упругости, мы не знали бы в общем случае, когда ее можно применять. [c.448]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Проблема прочности жидкостей на разрыв имеет много общего с проблемой прочности твердых тел. В последнем случае для объяснения ряда явлений и особенно пластичности реальных твердых тел развивается теория дефектов и теория дислокаций, которая имеет большое количество убедительных экспериментальных подтверждений. Значительно хуже обстоит дело с теорией прочности жидкостей. Экспериментальные результаты указывают на то, что прочность жидкостей на разрыв для многих жидкостей на порядок меньше теоретической. Для объяснения этого вводится гипотеза зародышей, которая пока что не нашла еще достаточно убедительного экспериментального доказательства. В настоящее время остается открытым вопрос о пр1гчинах стабильного существования зародышей. Это одна из задач, которая свидетельствует о несовершенстве наших представлений о жидкости. Отметим в этой связи, что в случае аморфных твердых тел (застеклован-ных жидкостей) теоретическая прочность на разрыв существенно ближе к экспериментальной, чем для жидкостей [5]. Проблемы прочности жидкостей возникают при объяснении звуковой кавитации, которая ни в теоретическом, ни в экспериментальном плане не может считаться завершенной областью нелинейной акустики. [c.283]

Прежде чем вывести из уравнений Эйлера общий интеграл, Лагранж доказывает следующую теорему, доказательство которой мы приведем после если существует потенциал скоростей для какого-нибудь данного времени, то этим свойством жидкость обладает во все время движения если силы имеют силовую функцию. Если, например, в начальный момент времени при i = О частицы жидкости не имели скоростей, т. е. и = = —О, то существовал для этого времени потенциал скоростей F = onst, и во все время движения будет существовать потенциал скоростей. Движение с потенциалом скоростей имеет место во многих случаях. При существовании потенциала скоростей уравнение Эйлера допускает интеграл Лагранжа в самом общем виде. Обратимся к его выводу. [c.703]

Современная наука весьма часто бывает перегружена ворохом специальной терминологии и обозначений. Я стремился свести терминологию до минимума и в случае необходимости объяснять смысл новых терминов. Теоремы и методы изложены так, чтобы их можно было применять к конкретным задачам, т. е. приведены конструктивные доказательства, а не чистые теоремы существования. Стремясь использовать понятия общей теории динамических систем, я пытался следовать конструктивному подходу. В большинстве частей книги мне удалось осуществить свои намерения. Трудности возникли лишь в связи с квазипериодическими процессами. Я включил эти тонкие проблемы (например, бифуркацию торов) и мой подход к их решению не только пото.му, что они находятся на передовом рубеже современных математических исследований, но и потому, что с ними приходится то и дело сталкиваться при рассмотрении как естественных, так и искусственных систем. Главы, посвященные рассмотрению этих сложных проблем, так же, как и другие трудные главы, отмечены звездочкой. При первом чтении их можно опустить. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...