Уравнение Релея

В результате подстановки которого в уравнение движения получаем уравнение Релея [39] [c.247]

Ударное возмущение 10 Уравнение Релея 247 [c.440]

Уравнение (9.39) называется уравнением Релея. Можно показать [52], что это уравнение имеет один вещественный положительный корень, лежащий в интервале 6 < 0 < оо,а другой— равный ему по модулю, но отрицательный. Обозначим положительный корень через с и подставим его во все выражения вместо 0. Приведем окончательные результаты [c.441]

Уравнение Релея-Ламба для пульсаций пузырька в безграничной вязкой несжимаемой жидкости при наличии фазовых превращений [4] и уравнение изменения массы паровой прослойки имеют вид [c.716]

Рассмотрим уравнение Релея [1] [c.213]

В недавней статье об интегрировании уравнения Релея для случая растущего парового пузыря в перегретой жидкости мы с большим успехом использовали простое выражение для температуры стенки движущегося парового пузыря [1]. Точный анализ этого выражения еще проводится, но с точки зрения возможности дальнейших его применений к родственным задачам, особенно к задаче о разрушающемся пузыре (кавитации) и пузыре, растущем под влиянием электрических зарядов вследствие ионизирующей радиации, могут представлять, интерес те детальные соображения, которые посолили нам вывести это выражение. [c.251]

Шаф наметил в общих чертах прямой приближенный метод расчета для течения со скольжением, основываясь на уравнениях Релея для установившегося двумерного течения [c.238]

Рассмотрим развитие изложенного метода, дающее возможность применять его к системам вида уравнения Релея [c.251]

Уравнение Релея (12) определяет скорость с распространения поверхностной волны. [c.805]

В окрестности левая часть уравнения Релея (функция [c.199]

Как видно, уравнение Релея уже не является вполне гиперболическим, оно описывает распространение сдвигового разрыва с бесконечной скоростью и распространение слабого разрыва (изгибного) с конечной скоростью. [c.24]

Майер А. Г. Исследование уравнений Релея и Ван-дер-Поля. Изв. ГГУ, вып. 2 (1936). [c.908]

Как и уравнение Релея — Лэмба для пластинки, это уравнение имеет три переменные. Допустимые значения каждой из переменных определяются значениями двух других. Этими тремя переменными в безразмерной форме, которая часто используется при анализе, являются коэффициент Пуассона о, угловая частота 0 а/7 и постоянная распространения уа. [c.167]

Подставляя (2.4.15) с учетом (2.4.13) в (2.4.14), получим уравнение Релея [c.60]

В нефелометрических анализаторах интенсивность потока излучения, рассеиваемого частицами, находящимися в растворе, определяется уравнением Релея в следующей упрощенной форме [c.203]

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения [c.216]

Рассмотрим геометрическую картину волновых фронтов в области л О (рис. 52). Выражения и и У] — вклад от продольной волны Р с уравнением фронта г = т, а выражения 2 и Уг дает поперечная волна 5, которая содержит волну с круговым фронтом г = ту и головную поперечную волну с прямолинейным фронтом т — X — У 1у — 1 = = 0. Головная поперечная волна 5 порождается бегущей продольной волной Р при ее взаимодействии со свободной поверхностью. Фронт головной поперечной волны касается окружности г = ту в точке 9 = 0о, в которой соз 00 = У . Следовательно, головная поперечная волна существует при 0 < 00- Отметим, что вектор перемещения имеет особенности порядка —1/г на фронтах продольной (г = т) и поперечной (г = ту ) волн. При этом на фронте поперечной волны г — ту , идущей за головной поперечной волной (т. е. при 0 <С 0о), эта особенность появляется при подходе к фронту с любой стороны. Необходимо отметить также наличие особенности на свободной поверхности в точке х = т/р, бегущей со скоростью волн Релея. Эта особенность имеет порядок —1 и присутствует только на свободной поверхности. Ее появление связано с наличием нуля з = р в выражении Р(з) в знаменателях функций и и у. [c.482]

Выясним сущность диссипативной функции Релея Ф, для чего воспользуемся уравнениями Лагранжа [c.23]

Если в уравнении(32.14) разложить экспоненциальную функцию в ряд и пренебречь членами высшего порядка, то получим закон Релея — Джинса, представляющий закон Планка в приближенном виде [c.388]

Исследование этого уравнения показывает, что один из действительных корней лежит в пределах О < ру < Ав. Таким образом, скорость волны Релея в этом направлении меньше скорости волны сдвига (Ав/р) "- Движение является плоским, т. е. 2 = О и эллиптическим в плоскости, нормальной к поверхности. [c.279]

Если система голономна и имеет п степеней свободы и если имеются силы трения типа сил Релея ( 10.11), то уравнения движения записываются в следующей форме [c.202]

Предположение о том, что изменение давления в уравнении Релея необходимо определять из термодинамики, принадлежит Роми [9] см, также [7]. [c.213]

В табл. ПП1.3 для различных значений ц приведены значения периода Гст и четвертей колебаний Т и тг, полученные по формуле (ПП1.56). Для сопоставления со значениями, подсчитанными по асимптотическим формулам или численным методом, приведены результаты Миноре Урабе (Гму и аму ) и Ван дер Поля [41] (Гв). В той же таблице приведены значения стационарной амплитуды Ост, определенные по формуле (ПП1.55). Мы не нашли в литературе соответствующих значений, подсчитанных по точным формулам (кроме случая очень больших и очень малых ц). Однако из нашей работы [16] следует, что для периодического движения стационарная амплитуда уравнения Релея равна численно величине скорости прохождения через положение равновесия в соответствующем уравнении Ван дер Поля. [c.254]

С. П. Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделан ранее Дж. Релеем > [1.294] (1877) и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу [1.120] (1859). Уравнение поперечных колебаний стержней с учетом инерции вращения и деформации сдвига обычно называют уравнением Тимошенко или уравнением балки Тимошенко, а уравнение учитывающее только инерцию вращения, — уравнением Релея. [c.14]

Результаты, предсказываемые уточненной теорией типа Тимошенко, были подвергнуты экспериментальной проверке еще в 1931 г. Е. Goens oM [1.173] в связи с определением модуля Юнга. Он решил задачу о свободных изгибных колебаниях стержня со свободными концами и вывел приближенную формулу для определения модуля Юнга. Было обнаружено, что применение уточненного уравнения Тимошенко дает значительно лучшее соответствие с экспериментальными исследованиями, чем уравнение Релея, учитывающее только инерцию вращения. [c.95]

При такой записи дисперсионных уравнений подчеркивается безразмерность входящих в них величин. Поскольку рь и ab зависят только от уЬ, wb/V и а [уравнения (2.10) и (2.11)], написанные дисперсионные уравнения можно рассматривать как функциональные соотношения между уЬ и wb/Vg с параметром а. Эти уравнения обычно называют дисперсионными уравнениями Релея — Лэмба [5, 6]. [c.153]

На фиг. 17 частоты, соответствуюш,ие пересечениям лпнии L с предельным ветвями, связанными со значениями q, являются частотами, при которых компоненты напряжения на плоскостях,, перпендикулярных у, так же как i на плоскостях х = + равны нулю. Следовательно, на этих частотах продольн .1е и изгибные нормальные волны удовлетворяют условиям отсутствия напряжений на всех четырех сторонах бесконечно длинного стержня прямоугольного сечения. Эти частоты были открыты Ламе [45] до вывода уравнений Релея — Лэмба, и соответствующие им решен 1я называются нормальными волнами Ламе, хотя приведенное выше обсуждение показывает, что эти нормальные волны содержатся в дисперсионных уравнениях Релея — Лэмба. Частоты эт Х нормальных волн задаются пересечением лип L, уравнение которой имеет в 1Д (oft/Fg == уй, с предельными ветвями для соответствующих значений q. Уравнения этих предельных ветвей имеют вид [c.175]

Прежде чем закончить рассмотрение селективного затухания, следует рассмотреть недавнюю статью Тамма и Вейса [17]. Эти авторы рассчитали частотную зависимость затухания нормальных волн, распространяющихся в пластинке, обладающей конечным внутренним трепием. Авторы вводили потери в материале посредством задания комплексной формы упругих постоянных. Другие примеры такого подхода моячно найти в пятой главе книги Ивинга и др. [56]. В статье Тамма и Вейса затухание в среде вводится заменой обычных модулей упругости в дисперсионных уравнениях Релея — Лэмба на комплексные модули упругости. В частности, приводятся резул1>таты для случая, когда материал пластинки имеет коэффициент Пуассона /з и угол потерь 0,2 как [c.199]

Для ленточной линии задержки постоянной толщины, а также для проволочной линии постоянного диаметра характеристика задержки определяется решением частотных уравнений Релея — Лэмба пли Похгаммера — Хри для данной нормальной волны и коэффициентом Пуассона, как указано в 4 и 5. Это наклады- [c.540]

На фиг. 272 показаны картины звукового поля для круглых поршневых излучателей с радиусами =0,80 X, и / =1,75 X, вычисленные Гроссманом на основании решения уравнения Релея для потенциала скорости в звуковом поле поршневого излучателя, данного Бакхаузом [140, 141]. Жирные линии изображают волновые поверхности для звукового давления тонкие линии, нанесенные в непосредственной близости к излучателю пунктиром, соответствуют поверхностям равных амплитуд давления Р (ср, с фиг. 199 и 200, на которых изображены волновые фронты и поверхности равных амплитуд для колеблющегося кристалла кварца). Числа на фиг. 272 обозначают величину отношения Р/Ра, где Ро—амплитуда звукового давления на поверхности поршня. Как видно из сравнения с нанесенными пунктиром дугами окружностей, на большом расстоянии от колеб- [c.222]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Динамический анализ оболочек с общим характером анизотропии (т. е. оболочек из ортотропного ориентированного произвольным образом материала) был впервые проведен Кунуккассе-рилом [160], который показал, что обычные формы колебаний, узловые линии которых образуют прямоугольную сетку, не могут быть решениями уравнений движения. Причиной этого является наличие в соотношениях упругости смешанных коэффициентов с индексами 16 и 26. Представив решение в форме спиральной волны, Кунуккассерил изучил распространение волн, связанных с тремя основными формами колебаний — радиальной, осевой и крутильной. Для оболочек конечной длины было рассмотрено только два 5ида колебаний — осесимметричные (получено точное решение) и чисто изгибные (приближенное решение методом Релея). [c.240]

Диссипативная функция Релея. Если среди заданных сил имеются силы, зависящйе от скорости, то они могут оказать влияние на члены Qr в уравнениях Лагранжа (6.2.1). В некоторых случаях, когда силы являются гироскопическими (например, в задаче о движении заряженной частицы в магнитном поле, см. 10.6), они могут быть учтены путем присоединения к выражению для L соответствующих линейных членов. В этом параграфе мы рассмотрим другой класс задач, связанных с силами, зависящими от скорости. Речь будет идти о силах сопротивления, или диссипативных силах, действующих на каждую частицу в направлении, противоположном ее скорости. Мы ограничимся исследованием простого случая, когда сила сопротивления пропорциональна скорости. Уравхгения движения (2.2.12) запишутся теперь в форме [c.196]

При падении ультразвуковой волны на границе раздела двух сред с различными плотностями и скоростями ультразвука часть энергии проходит во вторую среду, а оставшаяся отражается обратно в первую. Как показывают работы [1], [3], [4], [5] и [6], энергетические соотношения при переходе волн через границы раздела в общем случае имеют довольно сложный бид. Характер отражения и преломления существеиным образом зависит от величины угла между направлением распространения волны и нормалью к поверхности раздела. Согласно уравнениям [1] Релея, выведенным им для определения интенсивности в отраженной и преломленной волнах, имеем [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...